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'''循環連分數'''是一種可表示為以下形式的[[連分數]]：

:<math>
x = a_0 + \cfrac{1}{a_1 + \cfrac{1}{a_2 + \cfrac{\ddots}{\quad\ddots\quad a_k + \cfrac{1}{a_{k+1} + \cfrac{\ddots}{\quad\ddots\quad a_{k+m-1} + \cfrac{1}{a_{k+m} + \cfrac{1}{a_{k+1} + \cfrac{1}{a_{k+2} + \cfrac{1}{\ddots}}}}}}}}}\,
</math>

前k+1個部分分母不算，後面的部分分母[''a''<sub>''k''+1</sub>,&nbsp;''a''<sub>''k''+2</sub>,&hellip;''a''<sub>''k''+''m''</sub>]會一直重覆出現。例如<math>\sqrt2</math>即可表示為循環連分數[1,2,2,2,...]。

循環連分數的部份分母{''a''<sub>''i''</sub>}可以是任何實數或虛數。

1770年，[[拉格朗日]]證明一個數字能表示成循環連分數，[[若且唯若]]此數為[[二次無理數]]<ref>Kenneth H. Rosen. Elementary Number Theory and Its Applications.</ref>。例如<math>\sqrt{3}=1.732\ldots=[1;1,2,1,2,1,2,\ldots]</math>。

在此條目以下的內容會限制在部份分母為正整數的循環連分數。
==純循環連分數以及循環連分數==

因為循環連分數的分子都是1，因此可以用以下簡化的方式記錄循環連分數：

:<math>
\begin{align}
x& = [a_0;a_1,a_2,\dots,a_k,a_{k+1},a_{k+2},\dots,a_{k+m},a_{k+1},a_{k+2},\dots,a_{k+m},\dots]\\
& = [a_0;a_1,a_2,\dots,a_k,\overline{a_{k+1},a_{k+2},\dots,a_{k+m}}]
\end{align}
</math>

第二行的[[括線]]表示循環的部份{{sfn|Pettofrezzo|Byrkit|1970|p=158}}。有些教材書會用以下的寫法

:<math>
\begin{align}
x& = [a_0;a_1,a_2,\dots,a_k,\dot a_{k+1},a_{k+2},\dots,\dot a_{k+m}]
\end{align}
</math>

循環部份的第一個數字和最後一個數字上方加上點識別{{sfn|Long|1972|p=187}}。

若循環連分數中都是循環部份，沒有不循環的第一部份，也就是k = -1, a<sub>0</sub> = a<sub>m</sub>，則

:<math>
x = [\overline{a_0;a_1,a_2,\dots,a_{m-1}}],
</math>

這樣的循環連分數稱為純循環連分數（purely periodic）。例如[[黃金比例]]φ的循環連分數是<math>[1; 1, 1, 1, \dots]</math>，就是純循環連分數，而<math>\sqrt2</math>的循環連分數是<math>[1; 2, 2, 2, \dots]</math>，是循環連分數，不是純循環連分數。
==和單位模矩陣之間的關係==
循環連分數可以和實數的[[二次無理數]]一一對應。其對應關係在{{link-en|明可夫斯基問號函數|Minkowski's question-mark function}}有提到。先考慮以下的純循環連分數
:<math> 
x = [0;\overline{a_1,a_2,\dots,a_m}],
</math>
此純循環連分數可以寫成
:<math>x = \frac{\alpha x+\beta}{\gamma x+\delta}</math>
其中<math>\alpha,\beta,\gamma,\delta</math>是整數，滿足<math>\alpha \delta-\beta \gamma=1.</math>。其確切值可以用以下方式求得 
:<math>S = \begin{pmatrix} 1 & 0\\ 1 & 1\end{pmatrix}</math>
表示移位，因此 
:<math>S^n = \begin{pmatrix} 1 & 0\\ n & 1\end{pmatrix}</math>
以下這個類似反射
:<math>T\mapsto \begin{pmatrix} -1 & 1\\ 0 & 1\end{pmatrix}</math>
而<math>T^2=I</math>。這些矩陣都是{{link-en|單位模矩陣|unimodular matrix}}，其乘積仍是單位模矩陣。針對上述的<math>x</math>，對應的矩陣如下{{sfn|Khinchin|1964|}}
:<math>S^{a_1}TS^{a_2}T\cdots TS^{a_m} = \begin{pmatrix} \alpha & \beta\\ \gamma & \delta\end{pmatrix}</math>
而
:<math>x = [0;\overline{a_1,a_2,\dots,a_m}] = \frac{\alpha x+\beta}{\gamma x+\delta}</math>
是其顯式式。因為所有的矩陣元素都是整數，矩陣也屬於{{link-en|模群|modular group}} <math>SL(2,\mathbb{Z}).</math>。
== 文內注釋 ==
{{reflist}}
==參考資料==
*{{cite book
|last= Long
|first= Calvin T.
|date= 1972
|title= Elementary Introduction to Number Theory
|edition= 3 Sub
|publisher= Waveland Pr Inc
|lccn= 77-171950
| ref = harv
}}
*{{cite book
|last1= Pettofrezzo
|first1= Anthony Joseph
|last2= Byrkit
|first2= Donald R.
|year= 1970
|title= Elements of Number Theory
|url= https://archive.org/details/elementsofnumber0000pett
|publisher= Prentice Hall
|location= Englewood Cliffs
|edition= 11
|isbn= 9780132683005
|lccn= 77-81766
| ref = harv
}}
*{{cite book
|last= Khinchin
|first= A. Ya.
|year= 1964
|title= Continued Fractions
|url= https://archive.org/details/continuedfractio00khin_0
|url-access= registration
|orig-year= Originally published in Russian, 1935
|publisher= University of Chicago Press
|isbn= 0-486-69630-8
| ref = harv
}} (This is now available as a reprint from Dover Publications.)

{{數學小作品}}

[[Category:数学分析]]
[[Category:連分數]]