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{{NoteTA|G1=Math}}
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在[[群論]]中，'''循環群'''（[[英文]]：cyclic group），是指能由單個元素所'''[[群的生成集合|生成]]'''的[[群]]。[[有限群|有限]]循环群[[同构]]于[[整数]][[同余]][[加法群]] '''<math>\mathbb{Z} \big/ n\mathbb{Z}</math>'''，无限循环群则[[同构]]于整数加法群。每個循環群都是[[阿贝尔群]]，亦即其運算是[[交換律|可交換的]]。在群论中，循环群的性质已经被研究的较为透彻，是更为复杂的代数研究中常用到的基础工具。

== 定義 ==
[[File:Cyclic group.svg|right|thumb|150px|6次[[单位根]]在乘法下形成循環群。{{mvar|z}}是本原元而 {{mvar|z}}<sup>2</sup> 不是，因為{{mvar|z}}的奇數次[[冪]]不是{{mvar|z}}<sup>2</sup>的冪。]]
设 <math>(G, \cdot )</math> 為一个群，若存在一個元素 <math>g\in G</math>，使得 <math>G = \left \langle \, g \, \right \rangle = \left\{ g^k | \; k \in \mathbb{Z} \right\}</math>，则 <math>(G, \cdot )</math> 形成一个'''循环群'''。群 <math>G</math> 內任意一个元素所生成的群都是循环群，而且是 <math>G</math> 的[[子群]]。

=== 分类 ===
令循环群 <math>G = \left\{ g^k | \; k \in \mathbb{Z} \right\}</math>。如果存在两个相異整数 <math>m,n</math> 使得 <math>g^m=g^n</math>，那么 <math>d=\vert m-n\vert</math> 满足 <math>g^d=e</math>，其中 <math>e</math> 是單位元。所以对於任意整数 <math>k</math>，<math>g^k=g^r</math>，其中 <math>r</math> 是 <math>k</math> [[带余除法|除以]] <math>d</math> 得到的余数，<math>0\leq r\leq d-1</math>。这说明 <math>G</math> 是[[有限群]]。设 <math>d_m</math> 是所有这样的正整数中最小的一个，则 <math>G</math> 可以表示为：
::<math>G = \left\{ g^k | \; k = 0,1, \ldots ,d_m-1 \right\}</math>
可以证明它[[同构]]于模 <math>d_m</math> 的加法群 <math>\left(\mathbb{Z} \big/ d_m\mathbb{Z} , + \right)</math>。事实上，對每一個正整數 <math>n</math>，都存在唯一一個（在[[同构]]的意义上）[[阶 (群论)|阶]]為此正整數 <math>n</math> 的循環群。而所有的 <math>n</math> 阶循環群都和模 <math>n</math> 的同余类构成的加法群 <math>\left(\mathbb{Z} \big/ n\mathbb{Z} , + \right)</math> 同构。如果一个循环群的阶是无限的，那么它同构于整數关于加法构成的群 <math>\left(\mathbb{Z} , + \right)</math>。因此，循環群已被完全分类，是最簡單的一种群。

例如，<math>G = \left\{ e, g, g^2, g^3 , g^4, g^5 \right\} </math>，則 <math>G</math> 為循環群。<math>G</math> [[同構]]於[[同餘|模]] <math>6</math> 的加法群：<math>\mathbb{Z}_6 = \left\{ \overline{0}, \overline{1}, \overline{2}, \overline{3}, \overline{4}, \overline{5}\right\}</math>。考虑[[映射]]：
:<math>\varphi : \; G \longrightarrow \mathbb{Z}_6</math>
::<math>\left. \; \, \right. g^k \, \mapsto \; \, \overline{k}</math>
可以证明其为[[群同态]]，而且是[[双射]]，因此是群[[同构]]。

=== 标记 ===
由于循环群必然是[[阿貝爾群]]，且与加法群 <math>\mathbb{Z} \big/ n\mathbb{Z}</math> 或整数的加法群 <math>\mathbb{Z}</math> 同构，它的运算常以加法表示並記為 <math>\mathbb{Z}_n</math>。然而數論中一般會避免使用這種標記，因為它和[[p進數|{{mvar|p}}进整数]]构成的[[环 (代数)|環]]或群的[[局部化]]的標記相衝突，容易混淆。因此，数论中一般直接记作 <math>\mathbb{Z} \big/ n\mathbb{Z}</math>，或以乘法表示運算並記為 <math>C_n</math>。

== 性質 ==
每一個循環群要么[[同構]]于整数模 <math>n</math> 的加法群：<math>\mathbb{Z}_n = \left\{\overline{0}, \overline{1}, \overline{2}, \cdots,  \overline{n-1}\right\}</math>，要么同构于整數的加法群 <math>\mathbb{Z}</math>。因此要研究循环群的性质，只需要研究 <math>\mathbb{Z}_n</math>和 <math>\mathbb{Z}</math> 作为加法群的性质即可。设 <math>G</math> 是一个 <math>n</math> 阶的循環群<ref group="N">{{mvar|n}}也可以是無限大，约定“{{mvar|n}}为无穷大”代表群同构于整数加法群。</ref>，<math>g\in G</math>，则：

* <math>G</math> 為[[交換群]]。這是因為 <math>g+h\equiv h+g \pmod n</math> 。
* 若 <math>n</math> 為正整数，則 <math>g^n=e</math>，因為<math>n \equiv 0 \pmod n</math> 。而且 <math>n</math> 是所有使得 <math>g^k=e</math> 的正整数 <math>k</math> 中最小的一个。
* 若 <math>n</math> 為無限大，則 <math>G</math> 有且仅有兩個生成元，分别对应于整数中的 <math>1
</math> 和 <math>-1</math>。
* 若 <math>n</math> 為正整数，则 <math>G</math> 的各个生成元分别对应整数模 <math>n</math> 加法群中与 <math>n</math> [[互质]]的数的同余类。例如当 <math>n=12</math> 时，<math>G</math> 的生成元有四个，分别对应着 <math>\mathbb{Z}_{12}</math> 中的<math>\overline{1}, \overline{5}, \overline{7}, \overline{11}</math>四个同余类。
* <math>G</math> 的每一個子群都是循環群。每一個 <math>G</math> 的 <math>m</math> 阶有限子群皆為整数模 <math>m</math> 的加法群。而每一個 <math>G</math> 的無限子群都可以表示成 <math>m\mathbb Z</math>，同構於 <math>\mathbb Z</math>。
*设 <math>p</math> 是[[質數]]，則阶為 <math>p</math> 的群都[[同构]]于 <math>p</math> 阶循環群。
*兩個循環群的[[直积|直積]] <math>\mathbb{Z}_n \times \mathbb{Z}_m</math>是循環群[[当且仅当|若且唯若]] <math>n</math> 和 <math>m</math> [[互質]]。故 <math>\mathbb{Z}_{12}</math> 同構於 <math>\mathbb{Z}_3 \times \mathbb{Z}_4</math>，而不是 <math>\mathbb{Z}_2 \times \mathbb{Z}_6</math><ref group="N"><math>\mathbb{Z}_2</math>和<math>\mathbb{Z}_6</math>的直積并不是一个循环群。</ref>。
*[[有限生成阿貝爾群|阿貝爾群的基本定理]]说明每一個[[有限生成阿貝爾群]]都是有限多個循環群的直積。

== 例子 ==
在二維和三維空间裡，''<math>n</math>'' 折[[旋轉對稱]]的[[空间对称群|對稱群]]為 ''<math>C_n</math>''，屬 <math>\mathbb{Z}_n</math> 抽象群類型。在三維裡，亦存在其他代數地相同的對稱群，詳見[[三維點群]]。

需留意的是，[[圓]]的所有旋轉所組成之群''S''<sup>1</sup>([[圓群]])不是循環的，甚至不是[[可數]]的。

*''<math>n</math>'' 次[[單位根]]形成一個关于乘法的 ''<math>n</math>'' 阶循環群。

*每一個[[有限域]]之[[域的擴張|有限扩张]]的[[伽羅瓦群]]是有限且循環的；相反地，給定一有限域''F''和一有限循環群 ''<math>G</math>''，則存在一個 ''<math>F</math>'' 的有限域擴張，其伽羅瓦群為 ''<math>G</math>''。

== 表示 ==
有限循環群的[[環圖]]全是有著其元素在各個角上的 ''<math>n</math>'' 邊形。下面環圖中的黑角表示是單位元素，而其他的角則為群的其他元素。一個環包括著連接著單位元之元素的接續之次方。

{| border="1" cellpadding="2" cellspacing="0" style="margin:auto;"
|-
! [[File:GroupDiagramMiniC1.png|center]]
! [[File:GroupDiagramMiniC2.png|center]]
! [[File:GroupDiagramMiniC3.png|center]]
! [[File:GroupDiagramMiniC4.png|center]]
! [[File:GroupDiagramMiniC5.png|center]]
! [[File:GroupDiagramMiniC6.png|center]]
! [[File:GroupDiagramMiniC7.png|center]]
! [[File:GroupDiagramMiniC8.png|center]]
|-
! Z<sub>1</sub>
! Z<sub>2</sub>
! Z<sub>3</sub>
! Z<sub>4</sub>
! Z<sub>5</sub>
! Z<sub>6</sub>
! Z<sub>7</sub>
! Z<sub>8</sub>
|}

== 子群 ==
所有循環群的[[子群]]及[[商群]]都是循環群。特別地，<math>\mathbb{Z}</math> 的子群為 <math>m\mathbb{Z}</math> 的形式，其中 <math>m</math> 為非负整數。对于不同的 <math>m</math> ，形如 <math>m\mathbb{Z}</math> 的子群都不同，且除了平凡群（<math>m=0</math>）外都[[同構]]於 <math>\mathbb{Z}</math> 。 <math>\mathbb{Z}</math> 的[[子群格]]同構於以[[因數|可除性]]排序之自然數格的[[對偶 (序理論)|對偶]]。除了一個平凡的反例 <math>\mathbb{Z}\backslash \{0\}</math> 外， <math>\mathbb{Z}</math> 的所有商群都是有限的。對每個 <math>n</math> 的正因數 <math>d</math> ，群 <math>\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}</math> 恰有一個元素數目為 <math>d</math> 的子群，它由 <math>n/d</math> 的剩餘類所產生。其不存在其他的子群。故其子群格會同構於以可除性排序之 <math>n</math> 的因數所組成的集合。

特別地，一個循環群是[[單群]]若且唯若其元素數目為質數。

舉一個實際的問題，給定一個 '''''<math>n</math>''''' 目之有限子群 '''''<math>C</math>'''''，其生成元為 '''''<math>g</math>'''''，並要求求得以某一整數 '''''<math>k</math>''''' 之 '''''<math>g^k</math>''''' 所生成的子群之大小 '''''<math>m</math>'''''。這裡，'''''<math>m</math>''''' 會是能使 '''''<math>mk</math>''''' 能被 '''''<math>n</math>''''' 整除之最小正整數。因此其為 '''''<math>n/t</math>'''''，其中 '''''<math>t</math>''''' 為 '''''<math>k</math>''''' 和 '''''<math>n</math>''''' 的[[最大公因數]]。換句話說，由 '''''<math>g^k</math>''''' 產生之子群之[[陪集|指標]]為 '''''<math>t</math>'''''。其理由在[[數論]]中被稱為'''[[指標計算演算法]]'''。

== 自同態 ==
阿貝爾群 '''<math>\mathbb{Z}_n</math>''' 的[[自同態環]]會[[同構]]於此阿貝爾群，且使其構成一個[[环 (代数)|環]]。在此同構之下，數字 ''<math>r</math>'' 會對應於將每個元素映射至其 ''<math>n</math>'' 次乘積之值上之 '''<math>\mathbb{Z}_n</math>''' 的自同態。此一自同態只有在''r''和''n''互質時會是個雙射函數，所以 '''<math>\mathbb{Z}_n</math>''' 的[[自同構群]]會同構於群 '''<math>\mathbb{Z}_n^\times</math>'''(見上面)。<math>\mathbb{Z}_n</math> 的自同構群有時會被稱為 <math>\mathbb{Z}_n</math> 的[[特徵群]]，且此一群的建構會直接導致對[[狄利克雷特徵]]的定義。

相似地，加法群 '''''<math>\mathbb{Z}</math>''''' 的自同態環會同構於環 '''''<math>\mathbb{Z}</math>''''' ，且其自同構群會同構於環 '''''<math>\mathbb{Z}</math>''''' 的單位群，即'''''<math>\{-1,+1\}\cong \mathbb{Z}_2</math>'''''。

== 逼肖循環群 ==
一個群稱為'''逼肖循環'''（virtually cyclic）的，如果這個群包含一個有限指數的循環子群。換言之，一個逼肖循環群的任何元素，都可表示為這個循環子群的一個元素乘以群中某個有限子集的一個元素。一個無限群是逼肖循環的，當且僅當這個群是[[有限生成群|有限生成]]並且正好有兩個[[端 (圖論)|端]]。<ref>{{citation
 | last = Stallings | first = John
 | contribution = Groups of cohomological dimension one
 | location = Providence, R.I.
 | mr = 0255689
 | pages = 124–128
 | publisher = Amer. Math. Soc.
 | title = Applications of Categorical Algebra (Proc. Sympos. Pure Math., Vol. XVIII, New York, 1968)
 | year = 1970}}. 特別見[http://books.google.com/books?id=3Lyvsc694T4C&pg=PA126 p.&nbsp;126]: "If ''G'' has two ends, the explicit structure of ''G'' is well known: ''G'' is an extension of a finite group by either the infinite cyclic group or the infinite dihedral group."</ref>逼肖循環群的一個簡單例子是 '''<math>\mathbb{Z}/n</math>''' 和 '''<math>\mathbb{Z}</math>''' 的[[直积|直積]]，因子 '''<math>\mathbb{Z}</math>''' 有有限指數 ''<math>n</math>''。任何[[雙曲群|格羅莫夫雙曲群]]的[[阿貝爾群|阿貝爾]]子群都是逼肖循環群。<ref>{{citation
 |last1        = Alonso
 |first1       = J. M.
 |last2        = Brady
 |first2       = T.
 |last3        = Cooper
 |first3       = D.
 |last4        = Ferlini
 |first4       = V.
 |last5        = Lustig
 |first5       = M.
 |last6        = Mihalik
 |first6       = M.
 |last7        = Shapiro
 |first7       = M.
 |last8        = Short
 |first8       = H.
 |at           = Corollary&nbsp;3.6
 |contribution = Notes on word hyperbolic groups
 |mr           = 1170363
 |publisher    = World Scientific
 |location     = River Edge, NJ
 |title        = Group theory from a geometrical viewpoint (Trieste, 1990)
 |url          = http://www.cmi.univ-mrs.fr/~hamish/Papers/MSRInotes2004.pdf
 |year         = 1991
 |accessdate   = 2014-04-01
 |archive-date = 2013-04-25
 |archive-url  = https://web.archive.org/web/20130425163632/http://www.cmi.univ-mrs.fr/~hamish/Papers/MSRInotes2004.pdf
 |dead-url     = yes
}}</ref>

== 注释 ==
{{Reflist|group = "N"}}

== 参考来源 ==
{{reflist}}

== 相关文献 ==
* {{Citation | last1=Gallian | first1=Joseph | title=Contemporary abstract algebra | publisher=Houghton Mifflin | location=Boston | language=en | edition=4th | isbn=978-0-669-86179-2 | year=1998 }}, especially chapter 4.
* {{Citation | last1=Herstein | first1=I. N. | title=Abstract algebra | publisher=[[Prentice Hall]] | edition=3rd | isbn=978-0-13-374562-7 | id={{MathSciNet | id = 1375019}} | year=1996 }}, especially pages 53–60.

== 另見 ==
* [[三維點群#抽象群為循環的三維對稱群|三維循環對稱群]]
* [[循環擴張]]
* [[循環模]]
* [[同餘]]

{{ModernAlgebra}}

[[Category:阿貝爾群論|X]]
[[Category:有限群|X]]
[[Category:群的性質|X]]