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{{NoteTA
|G1=Math
}}
[[File:Seventh perspective.png|thumb|300px|循環小數{{分数||1|7}}=0.142857142857…]]{{数}}
'''循环小数'''，也稱為'''無限循環小數'''，是從[[小數]]部分的某一位起，一個數字或幾個數字，依次不斷地重複出現的小數。

== 定義 ==
循環小數都為[[有理數]]的[[小數]]表示形式，例：

<math>{5 \over 4}=1.25=1.25000000\cdots=1.25\overline{0}=1.24999999\cdots=1.24\overline{9}</math>

<math>{1 \over 3}=0.3333333\cdots=0.\overline{3}</math>

<math>{1 \over 7}=0.{\color{red}142857}{\color{blue}142857}\cdots=0.\overline{142857}</math>

==性质==
*一个分母为n的循环小数的循环节位数最多不超过n-1位。若该数为[[素数]]，循环节位数一定是N-1的[[因数]]（参见：[[费马伪素数]]）。為了证明这点，可用[[反证法]]。假设<math>n</math>的循环节为m，令m>n。将1/n乘以10，循环往复操作，会得到不同的余数。根据余数定义，余数的个数等于分母本身。又因为当余数为0的时候是整数而非循环小数，所以只有n-1种循环节。若长度为m位，则必有(m-n+1)种循环节无法轮替，所以一个分母为n的循环小数的循环节位数最多不超过n-1位。
*根據分數<math>\frac{b}{a}</math>的情況分開討論
::1.除数a为<math>2^m\times 5^n\times K</math>的倍數时，<math>b\div a</math>有max(m,n)个不循环位数，其中<math>b</math>為任意自然數，<math>K</math>為非<math>2^m,5^n</math>之其他數。
::2.如果<math>1 \leqslant  b < a</math>，a不是2或5的倍数，並且a與b互質，那麼存在一個正整數e，e為<math>b\div a</math>的循環節位數，而e=<math>\operatorname{min}\left \{ e\in \mathbb{N}:10^e\equiv 1 \pmod{a}  \right \}</math>。<ref>{{cite journal|author=康明昌|title=循環小數|journal=數學傳播|volume=25|issue=3|url=http://w3.math.sinica.edu.tw/math_media/d253/25311.pdf|accessdate=2014-12-28|date=2001年9月|archive-date=2021-11-04|archive-url=https://web.archive.org/web/20211104073802/https://w3.math.sinica.edu.tw/math_media/d253/25311.pdf}}</ref>
::::<math>10^e \equiv 1 \pmod{a}</math>表示<math>10^e-1</math>可以整除a，或稱<math>10^e</math>與1同餘）
::::事實上以該參考文獻的定理一公式推導式子:<math>\frac {10^d \times b}{a} = q +\frac {b}{a}</math>來看，<math>b>a</math>也成立，例如<math>\frac{2}{7}</math>與<math>\frac{9}{7}</math>，兩者循環小數一致，因為<math>\frac{8}{7}=1+\frac{1}{7}</math>，只差別在商，餘數皆為1(同餘)故成立。
::3.承接以上兩點，當除数a可以質因數標準分解式表示成<math>(2^m\times 5^n)\times (P1^{S1}\times P2^{S2}\times </math>⋯<math>\times Pn^{Sn})</math>時，會有max(m,n)個不循環位數，和<math>E</math>個循環節位數。
::::其中，<math>P1^{S1}</math>, <math>P2^{S2}</math>,⋯,<math>Pn^{Sn}</math>分別各有{{nowrap|e<sub>1</sub>,e<sub>2</sub>,...,e<sub>n</sub>}}個循環節位數，存在一個最小公倍數<math>E=[</math>{{nowrap|e<sub>1</sub>,e<sub>2</sub>,...,e<sub>n</sub>}}<math>]</math>。
::::例：<math>\frac{11}{2^2\times3^2\times5^3\times7\times17}</math>的循環節個數？
::::答：前三位不循環（2 和 5 的最高次方為 3），循環節個數是 48（因為<math>3^2</math>的循環節位數為1，7的循環節位數為6，17的循環節位數為16，[1,6,16]=48）<ref>{{cite journal|title=質數循環節的位數|url=http://nknush.kh.edu.tw/~math/kh42thj.pdf|journal=|access-date=2008-08-18|archive-date=2017-01-12|archive-url=https://web.archive.org/web/20170112080721/http://nknush.kh.edu.tw/~math/kh42thj.pdf}}</ref>

== 化為[[分數]]的方法 ==
0.xxx...=x/((10^(上取(log(x))))-1)
(可能未約至最簡)

(⬇另一方法)
#先看有幾位「非[[循環節]]位數（<math>{\color{blue}n\,\!}</math>）」和「循環節位數（<math>{\color{red}m\,\!}</math>）」，算出後，將<math>{\begin{matrix} \underbrace{ 999 \cdots 9 } \\ {\color{red}m\,\!} \end{matrix} \begin{matrix} \underbrace{ 000 \cdots 0 } \\ {\color{blue}n\,\!} \end{matrix}}</math>擺於「'''[[分母]]'''」。
#「'''[[分子]]'''」則是將「非循環節部分」和「循環節部分」併為一個數字，將其減去「非循環節部分」，即<math>a_1 a_2 a_3 \cdots a_n b_1 b_2 b_3 \cdots b_m - a_1 a_2 a_3 \cdots a_n</math>，詳細公式如下。
#公式：<math>0. a_1 a_2 a_3 \cdots a_{\color{blue}n\,\!} \overline{b_1 b_2 b_3 \cdots b_{\color{red}m\,\!} }={{a_1 a_2 a_3 \cdots a_n b_1 b_2 b_3 \cdots b_m - a_1 a_2 a_3 \cdots a_n} \over {{\begin{matrix} \underbrace{ 999 \cdots 9 } \\ {\color{red}m\,\!} \end{matrix}}{\begin{matrix} \underbrace{ 000 \cdots 0 } \\ {\color{blue}n\,\!} \end{matrix}}}}</math>
#原理：
##令<math>x=0. a_1 a_2 a_3 \cdots a_n \overline{b_1 b_2 b_3 \cdots b_m }</math>。
##則<math>10^n x=a_1 a_2 a_3 \cdots a_n . \overline{b_1 b_2 b_3 \cdots b_m }</math>──①式。
##<math>10^{n+m} x=a_1 a_2 a_3 \cdots a_n b_1 b_2 b_3 \cdots b_m . \overline{b_1 b_2 b_3 \cdots b_m }</math>──②式。
##②－①⇒<math>\left( 10^{n+m}-10^n \right)x=a_1 a_2 a_3 \cdots a_n b_1 b_2 b_3 \cdots b_m - a_1 a_2 a_3 \cdots a_n</math>。
##<math>\begin{align}
x   & = {{a_1 a_2 a_3 \cdots a_n b_1 b_2 b_3 \cdots b_m - a_1 a_2 a_3 \cdots a_n} \over {10^{n+m}-10^n}} \\
    & = {{a_1 a_2 a_3 \cdots a_n b_1 b_2 b_3 \cdots b_m - a_1 a_2 a_3 \cdots a_n} \over {10^n\left( 10^m-1 \right)}} \\
    & = {{a_1 a_2 a_3 \cdots a_n b_1 b_2 b_3 \cdots b_m - a_1 a_2 a_3 \cdots a_n} \over {\begin{matrix} \underbrace{ 1000 \cdots 0 } \\ n \end{matrix}} \times {\begin{matrix} \underbrace{ 999 \cdots 9 } \\ m \end{matrix}}} \\
    & = {{a_1 a_2 a_3 \cdots a_n b_1 b_2 b_3 \cdots b_m - a_1 a_2 a_3 \cdots a_n} \over {{\begin{matrix} \underbrace{ 999 \cdots 9 } \\ m \end{matrix}}{\begin{matrix} \underbrace{ 000 \cdots 0 } \\ n \end{matrix}}}} \\
\end{align}</math>。
#範例：<math> 0.1 \overline{23} = \frac{123-1}{990} = \frac{61}{495} </math>。
##令<math>x = 0.1 \overline{23} </math>
##則<math>10x = 1 . \overline{23} </math>、<math>1000x = 123 . \overline{23} </math>
##兩式相減得<math>\left( 1000-10 \right)x = 123-1 </math>，<math> 990x = 122\,\!</math>
##∴<math> x = \frac{61}{495} </math>。

== 计算方法 ==

利用[[短除法]]可以将分数([[有理数]]，<math>\mathbb{Q}</math>)转化为循环小数。

例如<math>\frac{3}{7}</math>可以用短除法计算如下：

 7|<u>3.00000000000000000</u>
   0.42857142857142857...

== 表示方法 ==

循环小数在不同国家地区都有不同的表示惯例，但没有一种惯例是通用的。

{| class="wikitable" style="margin-left: auto; margin-right: auto; border: none;"

|+附有示例的不同符号

! colspan="2"|分数

! [[括线]]

! 上点

! [[括号]]

! 弧线

! [[省略号]]

|-

| style="text-align:center;border-right:none;"|{{sfrac|1|9}} || style="padding:0;border-left:none;"|

| 0.{{overline|1}}

| 0.{{overset|.|1}}

| 0.(1)

| 0.{{overarc|1}}

| 0.111...

|-

| style="text-align:center;border-right:none;"|{{sfrac|1|3}} || style="padding:0;border-left:none;"|= {{sfrac|3|9}}

| 0.{{overline|3}}

| 0.{{overset|.|3}}

| 0.(3)

| 0.{{overarc|3}}

| 0.333...

|-

| style="text-align:center;border-right:none;"|{{sfrac|2|3}} || style="padding:0;border-left:none;"|= {{sfrac|6|9}}

| 0.{{overline|6}}

| 0.{{overset|.|6}}

| 0.(6)

| 0.{{overarc|6}}

| 0.666...

|-

| style="text-align:center;border-right:none;"|{{sfrac|9|11}} || style="padding:0;border-left:none;"|= {{sfrac|81|99}}

| 0.{{overline|81}}

| 0.{{overset|.|8}}{{overset|.|1}}

| 0.(81)

| 0.{{overarc|81}}

| 0.8181...

|-

| style="text-align:center;border-right:none;"|{{sfrac|7|12}} || style="padding:0;border-left:none;"|= {{sfrac|525|900}}

| 0.58{{overline|3}}

| 0.58{{overset|.|3}}

| 0.58(3)

| 0.58{{overarc|3}}

| {{gaps|0.58|333}}...

|-

| style="text-align:center;border-right:none;"|{{sfrac|1|7}} || style="padding:0;border-left:none;"|= {{sfrac|142857|999999}}

| 0.{{overline|142857}}

| 0.{{overset|.|1}}4285{{overset|.|7}}

| 0.(142857)

| 0.{{overarc|142857}}

| {{gaps|0.142857|142857}}...

|-

| style="text-align:center;border-right:none;"|{{sfrac|1|81}} || style="padding:0;border-left:none;"|= {{sfrac|12345679|999999999}}

| 0.{{overline|012345679}}

| 0.{{overset|.|0}}1234567{{overset|.|9}}

| 0.(012345679)

| 0.{{overarc|012345679}}

| {{gaps|0.012345679|012345679}}...

|-

| style="text-align:center;border-right:none;"|{{sfrac|22|7}} || style="padding:0;border-left:none;"|= {{sfrac|3142854|999999}}

| 3.{{overline|142857}}

| 3.{{overset|.|1}}4285{{overset|.|7}}

| 3.(142857)

| 3.{{overarc|142857}}

| {{gaps|3.142857|142857}}...

|-

| style="text-align:center;border-right:none;"|{{sfrac|593|53}} || style="padding:0;border-left:none;"|= {{sfrac|111886792452819|9999999999999}}

| 11.{{overline|1886792452830}}

| 11.{{overset|.|1}}88679245283{{overset|.|0}}

| 11.(1886792452830)

| 11.{{overarc|1886792452830}}

| {{gaps|11.1886792452830|1886792452830}}...

|}

*'''括线'''：在[[美国]]、[[加拿大]]、[[印度]]、[[法国]]、[[德国]]、[[意大利]]、[[瑞士]]、[[捷克共和国]]、[[斯洛伐克]]、[[斯洛文尼亚]]、[[智利]]和[[土耳其]]，惯例是在重复的循环节上方绘制一条水平线（括线）。

*'''上点'''：在一些伊斯兰国家，如[[马来西亚]]、[[摩洛哥]]、[[巴基斯坦]]、[[突尼西亚]]、[[伊朗]]、[[阿尔及利亚]]和[[埃及]]，以及[[英国]]、[[新西兰]]、[[澳大利亚]]、[[南非]]、[[日本]]、[[泰国]]、[[印度]]、[[大韩民国]]、[[新加坡]]和[[中国]]，惯例是将点放在重复的循环节最外围的数字上方。

*'''括号'''：在[[欧洲]]的部分地区，包括[[奥地利]]、[[丹麦]]、[[芬兰]]、[[荷兰]]、[[挪威]]、 [[波兰]]、[[俄罗斯]]和[[乌克兰]]，以及[[越南]]和[[以色列]]，惯例是将重复的循环节放在括号中。这会与{{tsl|en|standard uncertainty|标准不确定性}}的符号混淆。

*'''弧线'''：在[[西班牙]]和一些[[拉丁美洲]]国家，例如[[阿根廷]]、[[巴西]]和[[墨西哥]]，括线和上点以重复的循环节上的弧线替代。

*'''省略号'''：非正式地，重复小数通常用省略号表示（三个句点，0.333…），尤其是在学校首次教授以前的符号惯例时。这种符号会带来不确定性，即哪些数字应该循环，甚至是否会发生循环，因为这种省略号也用于[[无理数]]；例如，[[pi|{{pi}}]]可以表示为3.14159…。

== 缺点 ==

=== 不唯一性 ===

使用循环小数表示有理数的缺点在于表示方式的不唯一性，例如<math>1.000000\cdots=1.\overline{0}=0.\overline{9}=0.999999\cdots</math>

=== 与[[進位制]]系統密切相关 ===

由于循环小数与進位制系統密切相关，使得一些简单的有理数在循环小数表示法中的表示形式相当复杂。如：<math>{1 \over 17}=0.{\color{red}0588235294117647}{\color{blue}0588235294117647}\cdots=0.\overline{0588235294117647}</math>

但在某些进位制当中反而因为循环节较短，使得看起来相当简单。如<math>{1 \over 17}={1 \over 11}_{(16)}=0.{\color{red}0F}{\color{blue}0F}\cdots_{(16)}=0.\overline{0F}_{(16)}</math>

又或<math>{1 \over 17}={1 \over 10}_{(17)}=0.1_{(17)}</math>

==参考资料==
{{reflist}}

== 參見 ==
*[[0.999…]]
*[[Midy定理]]

== 外部連結 ==


[[Category:数论|X]]
[[Category:算术|X]]
[[Category:有理数]]