查看“︁循序可测过程”︁的源代码

在[[数学]]中，'''循序可测'''是[[随机过程]]的一种性质。循序可测性质是随机过程研究中用到的一种重要性质，能够保证[[停时|停过程]]的[[测度|可测性]]。循序可测性比随机过程的适应性更加严格{{r|Karatzas|page1=4-5}}。循序可测过程在[[伊藤积分]]理论中有重要应用。

==定义==
设有
* [[概率空间]]<math>(\Omega, \mathcal{F}, \mathbb{P})</math>；
* [[测度空间]]<math>(\mathbb{X}, \mathcal{A})</math>，状态空间；
* [[σ-代数]]<math>\mathcal{F}</math>上的[[参考族]]<math>\{ \mathcal{F}_{t} | t \geqslant 0 \}</math>；
* [[随机过程]]<math>X : T=[0, \infty) \times \Omega \to \mathbb{X} =  \left( X_t \right)_{t\in T} </math>（[[指标集]]<math>T</math>也可以是有限时间<math>[0, T_0]</math>或离散时间<math>\mathbb{N}</math>）。

则随机过程<math>\left( X_t \right)_{t\in T}</math>是循序可测过程[[当且仅当]]对任意的时刻<math>t\in T</math>，[[映射]]
:<math>X\left|_{[0,t]} : \, \, [0, t] \times \Omega \, \, \longrightarrow  \, \, \mathbb{X} \right.</math>
::::<math>(s, \omega)  \quad \mapsto  \, \, X_{s}(\omega)</math> 
都是 <math>\mathrm{Borel}([0, t]) \otimes \mathcal{F}_{t}</math>-可测的{{r|Pasc|page1=110}}。<math>\left( X_t \right)_{t\in T}</math>是循序可测过程可以推出它必然是[[适应过程]]{{r|Karatzas|page1=5}}。 

子集<math>P \subseteq [0, \infty) \times \Omega</math>是循序可测集合当且仅当[[指示函数|指示过程]]：
:<math>X_{s} (\omega) := \mathbf{1}_{P} (s, \omega)</math> 

是循序可测过程。所有循序可测的子集<math>P</math>构成<math>[0, \infty) \times \Omega</math>上的一个σ-代数，一般记为<math>\mathrm{Prog}</math>。一个随机过程<math>\left( X_t \right)_{t\in T}</math>是循序可测过程[[当且仅当]]它（在被看作<math>[0, \infty) \times \Omega</math>上的随机变量时）是<math>\mathrm{Prog}</math>-可测的{{r|Cam|page1=190}}。

== 性质 ==
*如果一个适应随机过程是[[连续函数|左连续]]或右连续的，那么它是循序可测过程。特别地，[[右连左极函数|左极限右连续]]的适应随机过程是循序可测过程{{r|Cam|page1=191}}。
*设<math>W = \left(W_{t} (\omega) \, ; \, \, t \in T , \, \omega \in \Omega \right)</math>是一维的标准布朗运动过程，<math>H = \left(H_{t} (\omega) \, ; \, \, t \in T , \, \omega \in \Omega \right)</math>为关于<math>W</math>的参考族<math>\{ \mathcal{F}_{t}^W\}</math>的（实值的）循序可测过程，并且满足<math> \mathbb{E}[\int_T H(t)^2 \mathrm{d}t] < \infty </math>，那么我们可以定义<math>H</math>关于<math>W</math>的随机积分：<math> \int_T H(t) \mathrm{d}W_t  </math>{{r|Pasc|page1=146-147}}，而且满足
*:<math>  \mathbb{E}\left[\left(\int_T H(t) \mathrm{d}W_t\right)^2\right] = \mathbb{E}\left[\int_T H(t)^2 \mathrm{d}t\right]. </math>{{r|Cam|page1=192}}{{r|Pasc|page1=141}}。
*一个随机过程<math>X = \left(X_{t} (\omega) \, ; \, \, t \in T , \, \omega \in \Omega \right)</math>的'''修正'''（{{lang|en|modification}}）是指另一个随机过程<math>Y = \left(Y_{t} (\omega) \, ; \, \, t \in T , \, \omega \in \Omega \right)</math>，满足<math>\forall t \in T, \, \, \mathbb{P}(X_t = Y_t) = 1.</math> 可以证明，尽管不是每个可测的适应随机过程都是循序可测的，但必然拥有一个循序可测的修正{{r|Pasc|page1=110}}。

== 参见 ==
* [[圖模式]]
* [[马尔可夫链]]
* [[马尔可夫逻辑网络]]
*[[适应过程]]
*[[可预测过程]]

==参考来源==
{{reflist
|refs=
<ref name="Cam">{{en}}{{cite book | title=''Brownian Motion'' | publisher=Cambridge University Press Cambridge Series in Statistical and Probabilistic Mathematics | author=Peter Mörters, Yuval Peres | year=2010 | isbn=9780521760188}}</ref>
<ref name="Pasc">{{en}}{{cite book | title=''PDE and Martingale Methods in Option Pricing'' | url=https://archive.org/details/pdemartingalemet0000pasc | publisher=Springer | author=Pascucci, Andrea | year=2011 | location=Berlin | isbn=978-8847017801}}</ref> 
<ref name="Karatzas">{{en}}{{cite book|last=Karatzas|first=Ioannis|last2=Shreve|first2=Steven|year=1991|title=Brownian Motion and Stochastic Calculus|publisher=Springer|edition=2nd|isbn=0-387-97655-8}}</ref> 
}}

[[Category:随机过程]]
[[Category:测度论]]