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{{Differential equations}}

'''待定系数法'''是求某些[[非齐次]][[常微分方程]]和递推关系的[[特解]]的方法。它与[[微分算子方法]]密切相关，但不是使用特定类型的微分算子（annihilator）来找到特定解决方案的最佳可能形式，而是对适当的形式进行擬設或猜测，然后通过对所得方程进行微分来对其进行测试。对于复杂的方程式，零化器方法或参数变化的执行耗时较少。

待定系数不像[[參數變換法]]那样普遍，因为它仅适用于遵循特定形式的微分方程。

== 方法 ==
考虑以下形式的线性非齐次常微分方程

: <math> \sum_{i=0}^n c_i y^{(i)} + y^{(n+1)} = g(x)</math>
: 此處<math>y^{(i)}</math>表示<math>y</math>的第i个导数，<math>c_i</math>表示<math>x</math>的一個函數

待定系数法提供了一种在满足两个条件时获得此ODE解的直接方法：<ref>{{Cite book|last=Zill, Dennis G., Warren S. Wright|title=Advanced Engineering Mathematics|publisher=Jones and Bartlett|year=2014|isbn=978-1-4496-7977-4|pages=125}}</ref>

# <math>c_i</math>是常量
# ''g(x)''是常数，多项式函数，指数函数<math>e^{\alpha x}</math>,正弦或余弦函数<math>\sin{\beta x}</math>或<math>\cos{\beta x}</math>（<math>{\alpha}</math>，<math>{\beta}</math>是常數）

该方法包括寻找一般齐次解是<math>y_c</math>为互补线性齐次微分方程

: <math> \sum_{i=0}^n c_i y^{(i)} + y^{(n+1)} = 0,</math>

和一个特定的积分是p基于线性非齐次常微分方程的<math>y_p</math>。那么一般的解决方法是y到线性非齐次常微分方程将是：

: <math>y = y_c + y_p.</math><ref name="Zill2008">{{cite book|author=Dennis G. Zill|title=A First Course in Differential Equations|url=https://books.google.com/books?id=BnArjLNjXuYC&q=%22undetermined+coefficients%22|date=14 May 2008|publisher=Cengage Learning|isbn=978-0-495-10824-5|access-date=2022-11-16|archive-date=2022-11-16|archive-url=https://web.archive.org/web/20221116183855/https://books.google.com/books?id=BnArjLNjXuYC&q=%22undetermined+coefficients%22|dead-url=no}}</ref>

如果<math>g(x)</math>由两个函数<math>h(x) + w(x)</math>组成的和，我们说<math>y_{p_1}</math>是基於<math>h(x)</math>的解，<math> y_{p_2}</math>是基於<math>w(x)</math>的解。然后使用叠加原理，我们可以得到特定的积分<math>y_p</math>是<ref name="Zill2008" />

: <math>y_p = y_{p_1} + y_{p_2}.</math>

==参考资料==
{{refs}}

[[Category:常微分方程]]