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'''形式幂级数(formal power series)'''是一个[[数学]]中的抽象概念，是从[[幂级数]]中抽离出来的[[代数]]对象。形式幂级数和从[[多项式]]中剥离出来的多项式环类似，不过允许（可数）[[无穷]]多项因子相加，但不像[[幂级数]]一般要求研究是否收敛和是否有确定的取值。形式幂级数在代数和[[组合]]理论中有广泛应用。

==简介==
形式幂级数和多项式的形式定义有类似之处。对于熟悉幂级数的读者，也可以将其看作是不讨论幂级数敛散性，也就是将其中的不定元仅仅看作是一个代数对象，而不是任何具体数值的时候写出的幂级数。举例来说，以下的[[级数]]式子：
:<math>A = 1 - 3X + 5X^2 - 7X^3 + 9X^4 - 11X^5 + \cdots.</math>

如果我们把它当成幂级数来研究的话，重点会放在它的[[收敛半径]]等于1、其对应的幂级数函数是否满足某些性质等等。但作为形式幂级数来研究时，我们关注的是它本身的结构。我们甚至可以把它简写为：<math>[1,-3,5,-7,9, \cdots]</math>这样，只关注它的系数。我们完全可以考虑各种系数的形式幂级数。比如说系数为[[阶乘]]的形式幂级数：<math>[1,1,2,6,24,120,, \cdots]</math>，即使说它对应的幂级数：
:<math>A = 1 + X + 2X^2+6X^3+24X^4 + 120X^5 + \cdots.</math> 
在<math>X</math>取任何的非零实数值时都不收敛，我们仍然可以将其作为形式幂级数进行运算。

和多项式环中的元素一样，形式幂级数之间也可以做加减和乘法的运算，具体的计算方式和多项式环一样。比如说设：
:<math>B = 2X + 4X^3 + 6X^5 +8X^7 + \cdots.</math> 

那么<math>A</math>与<math>B</math>的和就是：
:<math>A + B = 1 + 3X +  2X^2+10 X^3+24X^4 + 126X^5 + \cdots.</math>
:<math>AB = 2X - 6X^2 + 14X^3 - 26X^4 + 44X^5 + \cdots.</math>
其中<math>A + B</math>里面<math>X^3</math>的系数就是<math>A</math>与<math>B</math>中<math>X^3</math>的系数的和；<math>AB</math>里面<math>X^5</math>的系数就是<math>A</math>与<math>B</math>中<math>X</math>的阶数相加等于5的项的系数乘积的和：
:<math>44X^5 = (1\times 6X^5) + (5X^2 \times 4X^3) + (9X^4 \times 2X).</math>

对每个确定的阶数<math>n</math>，这个计算是有限项（至多<math>n+1</math>项）的相加，所以在计算形式幂级数的加减法和乘法的时候，不需要像在对幂级数进行计算时一样，考虑诸如是否绝对收敛、条件收敛或是一致收敛的问题。另外，如多项式的形式运算一样，形式幂级数也满足加法的交换律、加法的结合律、乘法的交换律、乘法的结合律以及乘法对加法的分配律。

形式幂级数不仅能够定义乘法，也能定义乘法逆的运算。一个形式幂级数<math>A</math>的逆是指另一个形式幂级数<math>C</math>，使得<math>AC = 1</math>. 如果这样的形式幂级数<math>C</math>存在，就是唯一的，将其记为<math>A^{-1}</math>。同时我们也可以定义形式幂级数的除法：当<math>A</math>的逆存在时，<math>B/A = B\cdot A^{-1}.</math> 比如说，可以很容易验证：
:<math>\frac{1}{1+X} = 1 - X + X^2 - X^3 + X^4 - X^5 + \cdots.</math>

形式幂级数上的一个重要映射是系数的提取操作：将一个形式幂级数映射到它的<math>X^n</math>的系数。这个操作常常记作<math>[X^n]</math>，比如说对形式幂级数<math>A = 1 - 3X + 5X^2 - 7X^3 + 9X^4 - 11X^5 + \cdots.</math>，就有：

:<math>[X^5]A = -11</math>
对以上定义的形式幂级数<math>B</math>，也有：<math>[X^3]B = 4</math>。又比如：<math>[X^2] ( X + 3 X^2 Y^3 + 10 Y^6) = 3 Y^3 </math>，<math> [X^2 Y^3] ( X + 3 X^2 Y^3 + 10 Y^6) = 3</math>。提取映射和多项式环中的对应映射一样，都可以看做是到一个子空间的投影映射。

==形式幂级数的环结构== 
所有的不定元为<math>X</math>，系数为某一个交换[[环 (代数)|环]]<math>R</math>上元素的形式幂级数构成一个环，称为<math>R</math>上变量为<math>X</math>的形式幂级数环，记作<math>R[[X]]</math>。

===定义===
<math>R[[X]]</math>可以定义为<math>R</math>上变量为<math>X</math>的多项式环[[完备空间|完备化]]（对于特定的[[度量空间|度量]]）后得到的。这个定义自然就赋予了<math>R[[X]]</math>以拓扑环的结构（同时也赋予了完备度量空间的结构）。不过空间完备化所需要的步骤过于繁琐，而建构<math>R[[X]]</math>所需要的并没有那么多。以下将对<math>R[[X]]</math>的环结构和拓扑结构分别定义，更为明晰，容易理解。

====环结构====
首先可以定义集合<math>R[[X]]</math>的范围。作为一个集合，<math>R[[X]]</math>可以用和<math>R^{\mathbb{N}}</math>一样的方法构造。<math>R^{\mathbb{N}}</math>是所有<math>R</math>上元素构成的数列<math>(a_n)_{n\in \mathbb{N} }</math>的集合：
:<math>R^{\mathbb{N}} = \{ (a_n)_{n\in \mathbb{N} }, \, \, \, \forall n\in \mathbb{N} , \, a_n \in R \}.</math>
<math>R^{\mathbb{N}}</math>中的元素可以定义加法和乘法：
:<math>
(a_n)_{n\in\mathbb{N}} + (b_n)_{n\in\mathbb{N}} = \left( a_n + b_n \right)_{n\in\mathbb{N}}
</math>
:<math>
(a_n)_{n\in\mathbb{N}} \times (b_n)_{n\in\mathbb{N}} =
\left( \sum_{k=0}^n a_k b_{n-k} \right)_{n\in\mathbb{N}}.
</math>

其中乘法的定义方法也叫做求两个数列的系数的[[柯西乘积]]，也是一种[[卷积]]。可以证明，在以上的定义下，<math>R^{\mathbb{N}}</math>是一个交换环。环的加法零元是<math>(0, 0, 0, ...)</math>，乘法幺元是<math>(1, 0, 0,...)</math>。于是我们可以将<math>R</math>中的元素嵌入到<math>R^{\mathbb{N}}</math>之中，
:<math>
x \in R \, \, \mapsto \, (x, 0, 0,...)
</math>

并将<math>(0, 1, 0, 0, ...)</math>映射到不定元<math>X</math>，这样通过以上定义的加法和乘法就可以将<math>R^{\mathbb{N}}</math>中的有限非零元元素同构为：
:<math>
(a_0, a_1, a_2, \ldots, a_n, 0, 0, \ldots) \mapsto a_0 + a_1 X + \cdots + a_n X^n  = \sum_{i=0 }^n a_i X^i
</math>

这样的结构和多项式环是一样的。所以对于更一般的<math>R^{\mathbb{N}}</math>中元素<math>(a_n)_{n\in \mathbb{N} }</math>，就可以自然地'''希望'''将其对应到<math> \sum_{i\in \mathbb{N} }a_i X^i </math>：

但这个对应方式并不能通过有限项的加法和乘法得到，所以需要用一个约定上的映射<math>\varphi : \, R^{\mathbb{N}} \rightarrow R[[X]]</math>来做到：
:<math>
(a_0, a_1, a_2, \ldots, a_n,  \ldots) \mapsto \varphi ( a_0, a_1, a_2, \ldots, a_n,  \ldots ) = a_0 + a_1 X + \cdots + a_n X^n + \cdots = \sum_{i\in \mathbb{N} }a_i X^i
</math> 
这个映射涵盖了之前的多项式的定义，并且可以定义
:<math>
\left(\sum_{i\in \mathbb{N} } a_i X^i\right) + \left(\sum_{i\in \mathbb{N} } b_i X^i\right) =
\sum_{n\in \mathbb{N} } \left( a_n + b_{n}\right) X^n.
</math> 
以及
:<math>
\left(\sum_{i\in\N} a_i X^i\right) \times \left(\sum_{i\in\N} b_i X^i\right) =
\sum_{n\in\N} \left(\sum_{k=0}^n a_k b_{n-k}\right) X^n.
</math>
这个定义使得<math>\varphi </math>是一个[[同态]]，所以<math> R[[X]]</math>也是一个交换环。  
==== 拓扑结构 ====
以上的定义中建立了映射 
:<math>
\varphi(a_0, a_1, a_2, a_3, \ldots) = \sum_{i=0}^\infty a_i X^i, \qquad (1)
</math>

但需要注意的是这里的定义中<math>\sum_{i=0}^\infty a_i X^i</math>还是一个符号性的对象，因为我们并没有定义其中无限求和号的意义。为了更好地定义<math>\sum_{i=0}^\infty a_i X^i</math>本身，我们需要引入[[拓扑]]的结构，将其作为[[极限]]来严格地说明。需要注意的是，适合的拓扑结构不止一个。
*我们可以在<math>R</math>上定义离散拓扑的结构，然后将<math>R^{\mathbb{N}} </math>作为可数个<math>R</math>的[[积空间]]，将其上的拓扑定义为[[积空间|积拓扑]]。
*我们也可以直接在<math>R^{\mathbb{N}} </math>上定义类似于[[p进数]]拓扑的<math>I</math>进拓扑，其中的<math>I = (X)</math>是环结构中由<math>X</math>生成的[[理想 (数学)|理想]]，也就是由所有<math> \sum_{i=1}^\infty a_i X^i </math>形式的形式幂级数构成的集合。
*对不熟悉一般的[[点集拓扑学]]的读者，也可以建立一个具体的[[度量空间|度量]]（也就是定义“距离”）来定义拓扑。比如定义两个数列<math>a = (a_n)_{n\in \mathbb{N} }</math>和<math>b = (b_n)_{n\in \mathbb{N} }</math>的距离：
*:<math>d(a, b) = 
\begin{cases}
2^{-\omega(a - b)} &\quad a - b \neq 0 \\
0 & \quad a - b = 0
\end{cases} 
</math> 

其中<math>\omega(s)</math>表示数列<math>s = (s_n)_{n\in \mathbb{N} }</math>中第一个不等于0的系数的下标。这样的定义之下，我们说两个数列如果越来越“接近”，那么第一个系数不同的地方会出现的越晚，也就是说它们的距离也越小。对一个数列<math>a = (a_n)_{n\in \mathbb{N} }</math>，定义'''部分和'''数列为：
:<math>
s_k = (a_0, a_1, \ldots ,a_k , 0 , 0 , \ldots)
</math>

那么部分和<math>s_k</math>和<math>a </math>的距离就会是<math>2^{-(k+1)}</math>，所以<math>k</math>趋于无穷大的时候，部分和数列和<math>a </math>的距离趋于0. 这样，在定义了有限项非零元的数列和多项式的关系以后，就可以将任意的数列定义为部分和数列的极限。
:<math>
 (a_0, a_1, a_2, a_3, \ldots) = \lim_{k\to\infty} s_k 
</math>

然后对形式幂级数也定义类似的距离：
:<math>d'( \sum_{i=0}^\infty a_i X^i ,  \sum_{i=0}^\infty b_i X^i ) = 
\begin{cases}
2^{-\omega' } ,\, \, \omega' = \min_{n} \{ a_n \neq b_n\} & \quad  \exists a_n \neq b_n \\
0 & \quad \forall n, \, \,  a_n = b_n
\end{cases} 
</math> 

然后形式幂级数也就满足：
:<math>
 \sum_{i=0}^\infty a_i X^i =: \varphi(a_0, a_1, a_2, a_3, \ldots) = \lim_{k\to\infty} \varphi(s_k) = \lim_{k\to\infty} \sum_{i=0}^k a_i X^i 
</math>
并且可以验证加法、乘法的交换律和结合律，以及乘法对加法的分配律。于是我们定义出了一个同构于<math>R^{\mathbb{N}} </math>的[[環面|拓扑环]]，将其称为<math>R</math>上的形式幂级数环<math>R[[X]]</math>。

== 参考来源 ==
* [[Nicolas Bourbaki]]: ''Algebra'', IV, §4. Springer-Verlag 1988.

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