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在[[数学]]中，特别是[[泛函分析]]中，如果一个在[[巴拿赫空间]]中取值的[[函数]]与其所在空间的[[对偶空间]]中的任意元素的[[复合函数|复合]]是一般（强）意义下的[[可测函数]]，则该函数是'''弱可测函数'''。 对于[[可分空间]]，弱可测性和强可测性的概念是一致的。

== 定义 ==
(''X'',Σ)是一个[[可测空间]]，并且''B''是[[域 (數學)|域]]'''K'''（通常是[[实数]]空间'''R'''或[[复数 (数学)|复数]]空间'''C'''）上的[[巴拿赫空间]]，如果函数''f'':''X''→''B''满足如下条件，对于任意[[線性泛函|连续线性泛函]]''g'':''B''→'''K'''，函数
: <math>g \circ f \colon X \to \mathbf{K} \colon x \mapsto g(f(x))</math>
是关于Σ和'''K'''上一般的[[博雷爾集|波莱尔σ代数]]的可测函数，则''f''被称为是'''弱可测的'''。

[[概率空间]]上的可测函数通常被称为[[随机变量]]（或[[随机向量]]，如果它在例如巴拿赫空间''B''的向量空间中取值）。因此，作为上述定义的特殊情形，如果(Ω,Σ,'''P''')是一个概率空间，如果函数''Z'':Ω→''B''满足，对于任意连续线性泛函''g'':''B''→'''K'''，函数
: <math>g \circ Z \colon \Omega \to \mathbf{K} \colon \omega \mapsto g(Z(\omega))</math>
是在一般意义下的关于Σ和'''K'''上一般的波莱尔σ代数的'''K'''值随机变量（即可测函数），则函数''Z''被称为（''B''值）'''弱随机变量'''（或'''弱随机向量'''）。

== 性质 ==
可测性和弱可测性之间的关系由如下给出，被称为'''Pettis定理'''或'''Pettis可测性定理'''。

<blockquote style="" class="">
如果存在子集''N''⊆''X''有测度''μ''(''N'')=0使得''f''(''X''\''N'')⊆''B''是可分的，则函数f被称为[[几乎必然]]'''可分值的'''（或'''本性可分值的'''）。
</blockquote>
<blockquote style="" class="">
'''定理'''（Pettis）：一个函数''f'':''X''→''B''定义在在[[测度|测度空间]](''X'',Σ,''μ'')上在巴拿赫空间''B''中取值，它是（强）可测的（关于Σ上的波莱尔''σ''代数）[[当且仅当]]它是弱可测的且几乎必然可分值的。<ref>{{cite book |title=Monotone operators in Banach space and nonlinear partial differential equations |url = https://archive.org/details/monotoneoperator00show |last=Showalter |first = Ralph E. |publisher=American Mathematical Society |year=1997 |isbn=0-8218-0500-2 |series=Mathematical Surveys and Monographs |volume = 49 |location = Providence, RI |page=[https://archive.org/details/monotoneoperator00show/page/n108 103] |mr=1422252 }}</ref>
</blockquote>

在''B''可分的情形下，由于可分巴拿赫空间的任何子集本身是可分的，所以可以取上述''N''为空集，由此可知当''B''可分时弱可测性和强可测性的概念一致。

== 参考文献 ==
{{Reflist}}

== 参见 ==
* {{link-en|博赫纳可测函数|Bochner measurable function}}
* [[博赫纳积分]]
* {{link-en|佩蒂斯积分|Pettis integral}}
* {{link-en|向量值测度|Vector-valued measure}}

{{-}}
{{泛函分析}}

[[Category:泛函分析]]
[[Category:测度论]]