查看“︁张量 (内蕴定义)”︁的源代码

{{dablink|有关张量在广义范围内的性质和重要性的介绍，请参阅[[张量]]。}}

在[[数学]]中，处理[[张量]]理论的现代[[无分量]]（{{le|component-free|component-free}}）方法首先将张量视为[[抽象对象]]，表示多重线性概念的某些特定类型。他们一些熟知的性质可由作为线性映射或更广泛地定义得出；而张量的操作导致了[[线性代数]]扩张为[[多重线性代数]]。

在[[微分几何]]中，一个内蕴的几何论断也许可以用一个流形上的[[张量场]]表示，这样完全不必使用参考坐标系。在[[广义相对论]]中同样如此，张量场描述了[[物理性质]]。无分量方法在[[抽象代数]]与[[同调代数]]中也很常用，在那里张量自然地出现了。

==用向量空间的张量积定义==
给定[[体 (数学)|域]]<math>F</math>上一个有限[[向量空间]]集合<math>\left \{ V_1,...,V_n \right \}</math>，我们可以考虑他们的[[张量积#向量空间的张量积|张量积]] <math>V_1 \otimes \cdots \otimes V_n</math>。这个张量积中的一个元素称为一个[[张量积#向量空间的张量积|张量]]（但这不是本文讨论的张量概念）。

向量空间<math>V</math>上的张量定义成具有形式

:<math>V \otimes\cdots\otimes V \otimes V^* \otimes \cdots \otimes V^*</math>

的向量空间中的一个元素（即向量），这里 ''V''* 是 ''V'' 的对偶空间。

如果在我们的积中有<math>m</math>个<math>V</math>与<math>n</math>个<math>V^*</math>，张量称为<math>\left ( m,n \right )</math>'''型'''，具有反变（contravariant）阶数<math>m</math>与共变（covariant，也稱協變）阶数<math>n</math>，总[[张量阶数|阶数]]为<math>m+n</math>。零阶张量就是数量（域<math>F</math>中的元素），1 阶反边张量是<math>V</math>中的向量，1 阶共变张量是<math>V^*</math>中的[[1-形式]]（因此，后两个空间经常称为反变向量与共变向量）。

<math>\left ( 1,1 \right )</math>型张量

:<math>V \otimes V^*</math> 

自然同构于从<math>V</math>到<math>V</math>的[[线性变换]]空间。一个实向量空间<math>V</math>的[[内积空间|内积]]自然对应于<math>\left ( 0,2 \right )</math>张量 

:<math>V^* \otimes V^*</math> 

称为相应的[[度量张量|度量]]，一般记作<math>g</math>。

==其它记法==
文献中通常不写出完整的张量积以表示<math>\left ( m,n \right )</math>型张量的空间，而使用缩写：

:<math> \begin{matrix} T^m_n(V) & = & \underbrace{ V\otimes \dots \otimes V} & \otimes  & \underbrace{ V^*\otimes \dots \otimes V^*} \\ & & m & & n \end{matrix} .
</math>

这个空间的另外一种记法是用从向量空间<math>V</math>到向量空间<math>W</math>的线性映射来表示。讓

:<math>L(V,W)\ </math>

表示所有从<math>V</math>到<math>W</math>的线性映射的集合，這會形成一個向量空間。因此，例如对偶空间（[[线性泛函]]的空间）可以写成

:<math>V^* \cong L(V,\mathbb{R});</math>

由 universal property 可知，(m,n)-张量有如下自然的[[同構]](isomorphism)關係

:<math>T^m_n(V) \cong 
L(\underbrace{V^*\otimes \dots \otimes V^*}_{m}\otimes \underbrace{V \otimes \dots \otimes V}_{n}, \mathbb{R})
\cong L^{m+n}(V^*,\dots,V^*,V,\dots,V,\mathbb{R}).</math>

在上面的公式中，<math>V</math>和<math>V^*</math>的角色互换了。特别地，我们有

:<math>T^1_0(V) \cong L(V^*,\mathbb{R}) \cong V ,</math>
与
:<math>T^0_1(V) \cong L(V,\mathbb{R}) \cong V^* ,</math>
以及
:<math>T^1_1(V) \cong L(V,V).</math>

以下记法

:<math>GL(V,W)\ </math>

通常用来表示从 ''V'' 到 ''W'' 的可逆线性变换的空间，但对于张量空间没有类似的记法。

==张量场==
{{main|张量场}}

[[微分几何]]、[[物理学]]和[[工程学]]必须经常要处理[[光滑流形]]上的张量场。术语“张量'”实际上有时用作张量场的简称。一个张量场表达了逐点变化的张量的概念。

==張量在不同座標間的變換公式==
对任何给定向量空間<math>V</math> 我們有<math>V</math>的一组基底<math>\{\mathbf{e}_i\}</math>，以及對應的[[對偶空間]] <math>V^*</math>以及和向量基底<math>\{\mathbf{e}_i\}</math> 對應的对偶基底<math>\{\omega^{j}\}</math> （也可用<math>\{\mathbf{e}^{*j}\}</math>來表示）。上指标与下指标的区别提醒我们分量变换的方式以及向量跟[[餘向量]](covector)或是向量跟[[餘向量]]的係數的分別。

例如，取空间
:<math>V \otimes  V \otimes  V^*</math>

中的张量 <math>\mathbf{T}</math>，在我们的坐标系下分量可写成

:<math>\mathbf{T} = T^{ij} {}_k\, \mathbf{e}_i \otimes \mathbf{e}_j \otimes \omega^k ,</math>

这里我们使用[[愛因斯坦求和約定]]，这是处理張量份量的一种常見約定：即当張量分量同時出現了一組上指标与下指标时，我们对這上下指標所有可能值求和，比如說：<math>a_i dx^i</math>這符號，在這約定下即代表<math>\textstyle\sum_i a_i dx^i</math>。也就是說在在愛因斯坦求和約定下我們有<math>\textstyle T^{ij} {}_k\, \mathbf{e}_i \otimes \mathbf{e}_j \otimes \omega^k=\sum_{ijk}T^{ij} {}_k\, \mathbf{e}_i \otimes \mathbf{e}_j \otimes \omega^k</math>。在物理中我们经常使用表达式

:<math>T^{ij} {}_k\ </math>

來表示张量，就像[[向量空间|向量]]经常写成分量形式，这可以视为一个<math>n\times n\times n</math>数组。假設在另一坐标系中，有另一组[[基底]]<math>\{\mathbf{\hat{e}}_i\}</math>，則對同一向量來說兩組[[基底]]對應的分量將會不同。如果<math>(R_i^j)</math> 是兩基底間的变换矩阵（注意这不是一个张量，因为它表达一个基的变化而不是一个几何实体），也就是
:<math> \mathbf{\hat{e}}_i=\sum_j R_i^j \mathbf{e}_j</math>
，设 <math>(R^{-1})_k^l</math> 是<math>(R_i^j)</math>的[[逆矩陣]]，對同一張量在新基底的張量分量設為<math>\textstyle\hat{T}^{i'j'}\! {}_{k'}</math>，則兩者之間的變換公式為：

:<math>\hat{T}^{i'j'}\! {}_{k'} =\sum_{p,q,r} (R^{-1})^{i'}_p \, (R^{-1})^{j'}_q \, R^r_{k'} \, T^{pq} {}_r=(R^{-1})^{i'}_p \, (R^{-1})^{j'}_q \, R^r_{k'} \, T^{pq} {}_r,</math>

注意上面的第二個等式使用了[[愛因斯坦求和約定]]。
在旧教材中这个变换规律经常作为一个张量的定义。形式上，这意味这那个张量作为所有坐标变换组成的[[群]]的一个特定[[群表示|表示]]。

== 参考文献 ==
* {{Citation
| last=Abraham
| first=Ralph
| author-link=Ralph Abraham
| last2=Marsden
| first2=Jerrold E.
| author2-link=Jerrold E. Marsden
| title=Foundations of Mechanics
| edition=2
| year=1985
| publisher=Addison-Wesley
| location=Reading, Mass.
| isbn=0-201-40840-6
}}

{{張量}}

[[Category:张量|*]]