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在[[数学]]中，一个[[向量空间]]<math>V</math>的'''张量代数'''（{{lang|en|tensor algebra}}），记作<math>T(V)</math>，是''<math>V</math>''上的（任意阶）[[张量]]的[[域上的代数|代数]]，其乘法为[[张量积]]。张量代数[[伴随函子|左伴随]]于从代数到向量空间的[[遗忘函子]]，在这种意义下它是''<math>V</math>''上的[[自由代数]]；在相应的[[泛性质]]的意义下，它是包含''<math>V</math>''的“最一般的代数”（见下）。 

张量代数也具有[[余代数]]结构。

'''注'''：本文中所有代数都假设是[[有单位的]]且[[结合代数|结合]]。

==构造==
设''<math>V</math>''是[[域 (数学)|域]]<math>K</math>上一个[[向量空间]]。对任何非负[[整数]]<math>k</math>，我们定以''<math>V</math>''的'''''<math>k</math>''次张量积'''为''<math>V</math>''与自己的'''''<math>k</math>'''''次[[张量积]]：

:<math>T^kV = V^{\otimes k} = \underset{k}{\underbrace{V\otimes V \otimes \cdots \otimes V}}</math>。

这便是讲，<math>T^kV</math>由''<math>V</math>''上所有[[张量#张量秩|秩]]''<math>k</math>''张量组成。习惯上<math>T^0V</math>是基域''<math>K</math>''（作为自己的一维向量空间）。

令<math>T(V)</math>为所有''<math>T^kV</math>''（<math>k=0,1,2,\ldots</math>）的[[直和]]：

:<math>T(V)= \bigoplus_{k=0}^\infty T^kV = K\oplus V \oplus (V\otimes V) \oplus (V\otimes V\otimes V) \oplus \cdots</math>。

<math>T(V)</math>中的乘法由典范同构确定：

:<math>T^kV \otimes T^\ell V \to T^{k + \ell}V</math>

由张量积给出，然后线性扩张到所有<math>T(V)</math>。此乘法表明张量代数<math>T(V)</math>自然是一个[[分次代数]]，''<math>T^kV</math>''作为''<math>k</math>''次子空间。

此构造可径直推广到任意[[交换环]]上的[[模]]<math>M</math>上。如果<math>R</math>是一个[[非交换环]]，我们仍然可以对任意<math>R</math>-<math>R</math> [[双模]]执行这样的构造。（对通常的<math>R</math>-模不行，因为没有迭代张量积。）

==伴随与泛性质==
张量代数<math>T(V)</math>也成为向量空间''<math>V</math>''上的'''[[自由代数]]'''，并具有函子性。像其它[[自由对象|自由构造]]一样，函子<math>T</math>[[伴随函子|左伴随]]于某个[[遗忘函子]]，该函子将每个''<math>K</math>''-代数送到它的底向量空间。

准确地说，张量代数满足如下的[[泛性质]]，正式地表明它是包含''<math>V</math>''的最一般的代数：
:任何从''<math>V</math>''到''<math>K</math>''上的一个代数''<math>A</math>''的[[线性变换]]<math>f:V\rightarrow A</math>可以惟一地扩张为从<math>T(V)</math>到<math>A</math>的一个[[代数同态]]，如下[[交换图表]]所示：

[[File:TensorAlgebra-01.png|center|张量代数的泛性质]]

这里<math>i</math>是''<math>V</math>''到<math>T(V)</math>的典范包含（伴随的单位）。事实上可以定义张量代数<math>T(V)</math>为满足这个性质惟一的代数（确切地说，在惟一的一个同构意义下），但仍然要证明满足这个性质的对象存在。

如上泛性质说明张量代数的构造有自然的函子性。就是讲，<math>T</math>是从'''''<math>K</math>''-Vect'''，''<math>K</math>''上[[向量空间范畴]]，到'''''<math>K</math>''-Alg'''，''<math>K</math>''-代数范畴，的一个[[函子]]。''<math>T</math>''的函子性意味着任何从''V''到''W''的线性映射惟一地扩张为从<math>T(V)</math>到<math>T(W)</math>的代数同态。

==非交换多项式==
如果''<math>V</math>''为有限维<math>n</math>，张量代数的另一个看法是“ ''<math>K</math>''上''<math>n</math>''个非交换变量的多项式代数”。如果我们取''<math>V</math>''的基向量，它们成为<math>T(V)</math>中的非交换变量（或不定元），彼此间没有任何约束（除了[[结合律]]，[[分配律]]以及''K''-线性）。

注意''<math>V</math>''上的多项式代数不是<math>T(V)</math>，而是<math>T(V^*)</math>：''<math>V</math>''上一个（齐次）线性函数是<math>V^*</math>中的一个元素。

==商==

因为张量代数的一般性，许多其它有趣的代数可以由张量代数开始构造，然后在生成元上施以一定的关系，即构造<math>T(V)</math>一定的[[商代数]]。这样的例子譬如[[外代数]]、[[对称代数]]、[[克利福德代数]]以及[[泛包络代数]]。

==余代数结构==
张量代数上的[[余代数]]结构如下。余积<math>\Delta</math>定义为
:<math>\Delta(v_1 \otimes \dots \otimes v_m ) := \sum_{i=0}^{m}
(v_1 \otimes \dots \otimes v_i) \otimes (v_{i+1} \otimes \dots \otimes v_m)</math>
线性扩张到整个<math>TV</math>。余单位由<math>\varepsilon(v)=v</math>的0-次分量。注意到<math>\Delta:TV\rightarrow TV\otimes TV</math>保持分次：
:<math>T^mV \to \bigoplus_{i+j=m} T^iV \otimes T^jV</math>

而<math>\varepsilon</math>也与分次相容。

张量代数在这个余积下'''不'''是[[双代数]]。但下述更复杂的余积确实得到一个余代数：

:<math>\Delta(x_1\otimes\dots\otimes x_m) = \sum_{p=0}^m \sum_{\sigma\in\mathrm{Sh}_{p,m-p}} \left(v_{\sigma(1)}\otimes\dots\otimes v_{\sigma(p)}\right)\otimes\left(v_{\sigma(p+1)}\otimes\dots\otimes v_{\sigma(m)}\right)</math>
这里求和取遍所有[[(p,q)牌序|(p,m-p)-牌序]]。最后，对极映射为：
:<math>S(x_1\otimes\dots\otimes x_m) = (-1)^mx_m\otimes\dots\otimes x_1</math>

线性扩张到整个''<math>TV</math>''，这样张量代数成为一个[[霍普夫代数]]。

==参见==
*{{le|对称代数|Symmetric algebra}}
*[[幺半范畴]]
*[[:en:q:Stanisław Lem#Love_and_Tensor_Algebra|Stanisław Lem's ''Love and Tensor Algebra'']]

==参考文献==
* {{cite book|author=陈维桓|title=微分流形初步|edition=第二版|location=北京|publisher=高等教育出版社|date=2001年8月}}
* [[桑德斯·麦克兰恩|Mac Lane, Saunders]]. ''Categories for the Working Mathematician''(2nd ed.). GTM5. Spinger, 1998

{{張量}}

[[Category:代数]]
[[Category:多重线性代数]]