查看“︁弗里德曼-勒梅特-罗伯逊-沃尔克度规”︁的源代码

{{noteTA
|G1 = 物理學
}}
{{Physical cosmology |expansion}}
'''罗伯逊-沃克度规'''（{{lang-en|'''Robertson-Walker metric'''}}）是H.P.罗伯逊和沃尔克分别于1935年和1936年证明的。由于俄国数学家[[亚历山大·弗里德曼|弗里德曼]]和比利时物理学家[[乔治·勒梅特|勒梅特]]也作出了重要的貢獻，因此也稱作'''弗里德曼-羅伯遜-沃克度規'''（{{lang-en|'''Friedmann-Robertson-Walker metric'''}}，缩写为'''FRW度規'''）或者'''弗里德曼-勒梅特-罗伯逊-沃克度规'''（{{lang-en|'''Friedmann-Lemaître-Robertson-Walker metric'''}}，缩写为'''FLRW度規'''）。

FLRW度规是基于[[广义相对论]][[爱因斯坦场方程]]精确解的[[洛伦兹流形|度量]]，描述了一个[[同质|均匀]]、[[各向同性]]、[[宇宙膨胀|膨胀]]（或收缩）的[[连通空间|连通]]（不必是[[单连通]]）的[[宇宙]]。<ref>For an early reference, see Robertson (1935); Robertson ''assumes'' multiple connectedness in the positive curvature case and says that "we are still free to restore" simple connectedness.</ref><ref name="LaLu95">{{Citation |author1=M. Lachieze-Rey |author2=J.-P. Luminet |date=1995 |journal=[[Physics Reports]] |title=Cosmic Topology |volume=254 |issue=3 |pages=135–214 |arxiv=gr-qc/9605010 |doi=10.1016/0370-1573(94)00085-H|bibcode = 1995PhR...254..135L |s2cid=119500217 }}</ref><ref name="Ellis98">{{cite conference |author1=G. F. R. Ellis |author2=H. van Elst |date=1999 |title=Cosmological models (Cargèse lectures 1998) |editor=Marc Lachièze-Rey |book-title=Theoretical and Observational Cosmology |series=NATO Science Series C |volume=541 |pages=1–116 |arxiv=gr-qc/9812046 |bibcode=1999ASIC..541....1E |isbn=978-0792359463}}</ref>度规的一般形式源于均匀和各向同性的几何特性；爱因斯坦场方程只需推导出[[宇宙标度因子]]随时间的变化。这一模型也被称为现代[[宇宙学]]的“标准模型”，<ref name=Goobar>{{citation |author=L. Bergström, A. Goobar |date=2006 |title=Cosmology and Particle Astrophysics |page=61 |url=https://books.google.com/books?id=CQYu_sutWAoC&pg=PA61 |edition=2nd |publisher=[[Springer (publisher)|Sprint]] |isbn=978-3-540-32924-4}}</ref>有时也指进一步发展的[[ΛCDM模型]]。

== 一般度量 ==
FLRW度量首先假定空间是均匀、[[各向同性]]的；还假设度量的空间分量可随时间变化。满足这些条件的一般度量是
:<math>- c^2 \mathrm{d}\tau^2 = - c^2 \mathrm{d}t^2 + {a(t)}^2 \mathrm{d}\mathbf{\Sigma}^2</math>
其中<math>\mathbf{\Sigma}</math>的范围是曲率均匀的3维空间，即[[椭圆几何|椭圆空间]]、[[欧氏空间]]或[[双曲空间]]。通常写作3个空间坐标的函数，也有另几种约定俗成的写法，下详。<math>\mathrm{d}\mathbf{\Sigma}</math>不依赖于时间''t'' –所有的时间依赖都在函数''a''(''t'')之中，即所谓“[[宇宙标度因子]]”。

=== 退化圆周极坐标 ===
退化圆周极坐标中，空间度量的形式为<ref>{{Cite book |last=Wald |first=Robert |title=General Relativity |page=116}}</ref><ref>{{Cite book |last=Carroll |first=Sean |title=Spacetime and Geometry: An Introduction to General Relativity |pages=329–333}}</ref>
:<math>\mathrm{d}\mathbf{\Sigma}^2 = \frac{\mathrm{d}r^2}{1-k r^2} + r^2 \mathrm{d}\mathbf{\Omega}^2, \quad \text{where } \mathrm{d}\mathbf{\Omega}^2 = \mathrm{d}\theta^2 + \sin^2 \theta \, \mathrm{d}\phi^2.</math>

''k''是表示空间曲率的常数。有两种常见的单位约定：
* ''k''的量纲可以是<长度<sup>−2</sup>>，这时''r''的量纲是长度，''a''(''t'')无量纲。''k'' 是''a''(''t'') = 1时空间的[[高斯曲率]]。''r''有时被称为退化[[圆周]]，因为它等于以原点为圆心的（''r''值下的）周长除以2{{pi}}（类似于[[史瓦西坐标]]的''r''）。在适当的情况下，''a''(''t'')通常被选为在当前宇宙年代为1，于是<math>\mathrm{d}\mathbf{\Sigma}</math>可以测量[[共动距离]]。
* 或者，也可以认为''k''属于集合{{mset|−1 ,0, +1}}（分别表示负曲率、零曲率和正曲率）。则''r''是无量纲量，''a''(''t'')单位为长度。{{nowrap|1=''k'' = ±1}}时，''a''(''t'')是空间的[[曲率半径]]，也可以写成''R''(''t'')。

退化圆周坐标的一个缺点是，在正曲率情形下它只能覆盖3球的一般，超出这一点的圆周开始减小，从而导致退化。（若是[[椭圆几何|椭圆空间]]即确定了对点的3球，则这不是问题）

=== 超球面坐标 ===
在超球面坐标或曲率归一坐标中，坐标''r''与径向距离成正比；由此可得
:<math>\mathrm{d}\mathbf{\Sigma}^2 = \mathrm{d}r^2 + S_k(r)^2 \, \mathrm{d}\mathbf{\Omega}^2</math>
其中<math>\mathrm{d}\mathbf{\Omega}</math>如前，且
:<math>S_k(r) =
\begin{cases}
\sqrt{k}^{\,-1} \sin (r \sqrt{k}), &k > 0 \\
r, &k = 0 \\
\sqrt{|k|}^{\,-1} \sinh (r \sqrt{|k|}), &k < 0.
\end{cases}
</math>

如前所述，有两种常见的单位约定：
*''k''的单位可以是<长度<sup>−2</sup>>，''r''的单位是长度，''a''(''t'')无量纲。''k''是''a''(''t'') = 1时空间的[[高斯曲率]]。在适当的情况下，''a''(''t'')通常被选为在当前宇宙年代为1，于是<math>\mathrm{d}\mathbf{\Sigma}</math>可以测量[[共动距离]]。
*或者，与之前一样，可将''k''看做属于集合{{mset|−1 ,0, +1}}（分别表示负曲率、零曲率和正曲率）。那么''r''是无量纲量，''a''(''t'')单位为长度。{{nowrap|1=''k'' = ±1}}时，''a''(''t'')是空间的[[曲率半径]] ，也可写作''R''(''t'')。注意当{{nowrap|1=''k'' = +1}}时，''r''本质上是''θ''、''φ''之外的第三个角，可用字母''χ'' 代替''r''。

''S''通常是按上述方法分段定义的，是''k''与''r''的[[解析函数]]。也可以写成[[幂级数]]
:<math>S_k(r) = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n k^n r^{2n+1}}{(2n+1)!} = r - \frac{k r^3}{6} + \frac{k^2 r^5}{120} - \cdots</math>
或
:<math>S_k(r) = r \; \mathrm{sinc} \, (r \sqrt{k}) ,</math>
其中sinc是未正则化的[[Sinc函数]]，<math>\sqrt{k}</math>是''k''的虚根、零根或实根之一。这些定义对所有''k''都有效。

=== 笛卡尔坐标 ===
''k'' = 0时可以简单写成
:<math>\mathrm{d}\mathbf{\Sigma}^2 = \mathrm{d}x^2 + \mathrm{d}y^2 + \mathrm{d}z^2.</math>
这可以扩展到{{nowrap|''k'' ≠ 0}}，方法是定义
:<math> x = r \cos \theta \,</math>；
:<math> y = r \sin \theta \cos \phi \,</math>，且
:<math> z = r \sin \theta \sin \phi \,</math>
其中''r''是上面定义的径向坐标之一，但这种情况很少见。

==曲率==
=== 笛卡尔坐标 ===
在使用笛卡尔坐标的平面<math>(k=0)</math>FLRW空间中，[[里奇张量]]的剩余分量为<ref>{{cite book|last=Wald |first=Robert |title=General Relativity |page=97}}</ref>
:<math> R_{tt} = - 3 \frac{\ddot{a}}{a}, \quad R_{xx}= R_{yy} = R_{zz} = c^{-2} (a \ddot{a} + 2 \dot{a}^2) </math>
里奇标量为
:<math> R = 6 c^{-2} \left(\frac{\ddot{a}(t)}{a(t)}  +  \frac{\dot{a}^2(t)}{a^2(t)}\right).</math>

=== 球面坐标 ===
在使用球面坐标（上文称为“退化圆周极坐标”）的更一般的FLRW空间中，里奇张量的剩余分量为<ref>{{cite web |url=http://icc.ub.edu/~liciaverde/Cosmology.pdf |title=Cosmology |page=23 |access-date=2023-11-16 |archive-date=2020-01-11 |archive-url=https://web.archive.org/web/20200111005125/http://icc.ub.edu/~liciaverde/Cosmology.pdf |dead-url=no }}</ref>
:<math> R_{tt} = - 3 \frac{\ddot{a}}{a}, </math>
:<math>R_{rr}=\frac{c^{-2}(a(t)\ddot{a}(t) + 2\dot{a}^2(t)) + 2k}{1 - kr^2}</math>
:<math> R_{\theta\theta} = r^2(c^{-2}(a(t)\ddot{a}(t) + 2\dot{a}^2(t)) + 2k)</math>
:<math>R_{\phi\phi} =r^2(c^{-2}(a(t)\ddot{a}(t) + 2\dot{a}^2(t)) + 2k)\sin^2(\theta)</math>
里奇标量为
:<math> R =  6  \left(\frac{\ddot{a}(t)}{c^2 a(t)}  +  \frac{\dot{a}^2(t)}{c^2 a^2(t)} + \frac{k}{a^2(t)}\right).</math>

== 解 ==
{{广义相对论}}
{{main|弗里德曼方程}}
推导度量的一般形式时没有用到爱因斯坦场方程：是根据均匀与各向同性的几何特性推导出来的。然而，确定<math>a(t)</math>的时间演化确实需要爱因斯坦场方程及计算密度<math>\rho (t)</math>的方法，如[[状态方程 (宇宙学)|宇宙学状态方程]]。

[[应力-能量张量]]同样赋以均匀与各向同性时，这一度量对[[爱因斯坦场方程]]<math>G_{\mu\nu} + \Lambda g_{\mu\nu} = \frac{8\pi G}{c^{4}} T_{\mu\nu}</math>有一解析解，给出[[弗里德曼方程]]：<ref>{{citation |author=P. Ojeda and H. Rosu |date=2006 |title=Supersymmetry of FRW barotropic cosmologies |journal=[[International Journal of Theoretical Physics]] |volume=45 |issue=6 |pages=1191–1196 |doi=10.1007/s10773-006-9123-2 |arxiv=gr-qc/0510004 |bibcode=2006IJTP...45.1152R|s2cid=119496918 }}</ref>
:<math>\left(\frac{\dot a}{a}\right)^{2} + \frac{kc^{2}}{a^2} - \frac{\Lambda c^{2}}{3} = \frac{8\pi G}{3}\rho</math>
:<math>2\frac{\ddot a}{a} + \left(\frac{\dot a}{a}\right)^{2} + \frac{kc^{2}}{a^2} - \Lambda c^{2} = -\frac{8\pi G}{c^{2}} p.</math>

方程组是标准[[大爆炸]]宇宙学模型（包括当前[[ΛCDM模型]]）的基础。<ref>Their solutions can be found in {{Cite journal|last1=Rosu|first1=Haret C.|last2=Mancas|first2=S. C.|last3=Chen|first3=Pisin|date=2015-05-05|title=Barotropic FRW cosmologies with Chiellini damping in comoving time|journal=Modern Physics Letters A|volume=30|issue=20|pages=1550100|doi=10.1142/S021773231550100x|issn=0217-7323|arxiv=1502.07033|bibcode=2015MPLA...3050100R|s2cid=51948117}}</ref>由于FLRW模型假定宇宙是均匀的，出现了一种流行的误解：大爆炸无法解释宇宙的团块结构。严格的FLRW模型中不存在星系与恒星，因为其密度远大于宇宙的典型部分。尽管如此，FLRW模型还是用作真实的团块结构宇宙演化的第一近似，因为它的计算很简单，计算团块性的模型则作为推广。大多数宇宙学家同意，[[可观测宇宙]]可以很好地近似一个类FLRW模型，即除密度[[原初扰动]]外都遵循FLRW度规的模型。截至2003年，人们对FLRW模型的各种扩展的理论意义似乎有了很好的理解，目标是使它们与[[COBE]]及[[WMAP]]的观测结果相一致。

若时空是[[时空拓扑学|多连通]]的，则每个事件将由多个坐标[[多元组]]表示。{{Citation needed|date=January 2016}}

=== 解释 ===
上面给出的一对方程等价于下面一对方程：
:<math>{\dot \rho} = - 3 \frac{\dot a}{a}\left(\rho+\frac{p}{c^{2}}\right)</math>
:<math>\frac{\ddot a}{a} = - \frac{4\pi G}{3}\left(\rho + \frac{3p}{c^{2}}\right) + \frac{\Lambda c^{2}}{3}</math>
其中空间曲率指数<math>k</math>是第一个方程的[[积分常数]]。

设宇宙膨胀是[[绝热过程]]（推导FLRW度规时隐含了这一假设），则第一个方程等价于[[热力学第一定律]]，可以从热力学的角度推导出来。

第二个方程指出，能量密度和压力都会导致宇宙膨胀率<math>{\dot a}</math>下降，即都会使宇宙膨胀减速。这是[[引力]]作用的结果，根据[[广义相对论]]，压力的作用与质能密度类似。另一方面，[[宇宙学常数]]会导致[[暗能量|宇宙膨胀加速]]。

=== 宇宙学常数 ===
做如下替换，[[宇宙学常数]]项便可省略掉：
:<math>\rho \rightarrow \rho - \frac{\Lambda c^{2}}{8 \pi G}</math>
:<math>p \rightarrow p + \frac{\Lambda c^{4}}{8 \pi G}.</math>

于是可以这样解释：[[宇宙学常数]]产生于一种具有负压的能量形式，大小等于其（正）能量密度：
:<math>p = - \rho c^2 \,</math>
这是具有[[暗能量]]的真空状态方程。

推广它的尝试：
:<math>p =  w \rho c^2 \,</math>
若不做进一步修改，推广将不具有[[广义协变性|广义不变性]]。

事实上，要得到1个导致宇宙加速膨胀的项，只要有1个满足以下条件的[[标量场论|标量场]]就足够了：
:<math>p < - \frac {\rho c^2} {3}. \,</math>
这样的场有时被称为[[第五元素 (物理学)|五元场]]（quintessence）。

=== 牛顿解释 ===
这是McCrea与Milne提出的，<ref>{{cite journal |last1=McCrea |first1=W. H. |last2=Milne |first2=E. A. |year=1934 |title=Newtonian universes and the curvature of space |journal=Quarterly Journal of Mathematics |volume=5 |pages=73–80 |doi=10.1093/qmath/os-5.1.73 |bibcode=1934QJMat...5...73M }}</ref>有时会被误归为弗里德曼。弗里德曼方程等价于下面这对方程：
:<math> - a^3 {\dot \rho} = 3 a^2 {\dot a} \rho + \frac{3 a^2 p {\dot a}}{c^2} \,</math>
:<math>\frac{{\dot a}^2}{2} - \frac{G \frac{4 \pi a^3}{3} \rho}{a} = - \frac{k c^2}{2} \,.</math>

第一个方程表明，一个给定立方体（瞬时边长为''a''）所含质量的减少量，就是因宇宙膨胀而从边流出的量，再加上压力对排除物质做功的质量当量。这就是宇宙的一部分包含的质能守恒（[[热力学第一定律]]）。

第二个方程表明，单位质量的例子随膨胀运动的动能（相对于原点）加其（负）[[引力势能]]（相对于更靠近原点的球体包含的质量）等于一个与宇宙曲率有关的常数。换句话说，处于自由落体状态的共动粒子的能量（相对于原点）守恒。广义相对论只是在宇宙空间曲率和粒子能量之间增加了一种联系：正总能量意味着负曲率，负总能量意味着正曲率。
[[宇宙学常数]]项被假定为暗能量，并因此与密度及压力项合并。
在[[宇宙年表#普朗克時期|普朗克时期]]，不能忽视量子效应。因此它们可能导致弗里德曼方程的偏离。

== 爱因斯坦宇宙半径 ==
'''爱因斯坦宇宙半径 '''是[[静态宇宙]]的[[曲率半径]]，是个废弃已久的[[静态时空|静态模型]]，本是理想化地代表我们的宇宙。在弗里德曼方程中置
:<math>\dot{a} = \ddot{a} = 0</math>
则该宇宙空间的曲率半径（爱因斯坦半径）是{{Citation needed|date=June 2011}}
:<math>R_\text{E}=c/\sqrt {4\pi G\rho} ,</math>
其中<math>c</math>是光速，<math>G</math>是[[万有引力常数]]，<math>\rho</math>是宇宙的空间密度。爱因斯坦半径的数量级在10<sup>10</sup>（100亿）[[光年]]不过现代望远镜可以探测到不同方向上130亿光年以外的[[最遥远的天体列表|遥远天体]]。

== 现状 ==
{{See also|宇宙的形状}}{{unsolved|物理學
|宇宙是如[[宇宙论原则]]所称，在足够大的尺度上均匀且各向同性（[[ΛCDM模型]]等使用FLRW度规的所有模型的前提假设），还是[[非均匀宇宙学|不均匀]]、各向异性的？<ref name="Snowmass21"/><ref>{{cite web|url=https://www.scientificamerican.com/article/do-we-live-in-a-lopsided-universe1/|title=Do We Live in a Lopsided Universe?|author=Lee Billings|website=[[Scientific American]]|date=2020-04-15|access-date=2022-03-24|archive-date=2023-10-31|archive-url=https://web.archive.org/web/20231031132305/https://www.scientificamerican.com/article/do-we-live-in-a-lopsided-universe1/|dead-url=no}}</ref><ref>{{cite journal|url=https://www.aanda.org/articles/aa/full_html/2020/04/aa36602-19/aa36602-19.html|title=Probing cosmic isotropy with a new X-ray galaxy cluster sample through the LX-T scaling relation|author1=Migkas, K.|author2=Schellenberger, G.|author3=Reiprich, T. H.|author4=Pacaud, F.|author5=Ramos-Ceja, M. E.|author6=Lovisari, L.|journal=Astronomy & Astrophysics|volume=636|issue=April 2020|pages=42|doi=10.1051/0004-6361/201936602|date=2020-04-08|arxiv=2004.03305|bibcode=2020A&A...636A..15M|s2cid=215238834|access-date=2022-03-24|archive-date=2023-07-13|archive-url=https://web.archive.org/web/20230713025623/https://www.aanda.org/articles/aa/full_html/2020/04/aa36602-19/aa36602-19.html|dead-url=no}}</ref>CMB偶极子是纯粹的运动学现象，还是FLRW度规崩溃的信号？<ref name="Snowmass21"/>即使宇宙论原则是正确的，FLRW度规再晚期宇宙中是否还有效？<ref name="Snowmass21"/><ref name="FLRW breakdown">{{cite journal |last1=Krishnan |first1=Chethan |last2=Mohayaee |first2=Roya |last3=Colgáin |first3=Eoin Ó |last4=Sheikh-Jabbari |first4=M. M. |last5=Yin |first5=Lu |title=Does Hubble Tension Signal a Breakdown in FLRW Cosmology? |journal=Classical and Quantum Gravity |date=16 September 2021 |volume=38 |issue=18 |pages=184001 |doi=10.1088/1361-6382/ac1a81 |arxiv=2105.09790 |bibcode=2021CQGra..38r4001K |s2cid=234790314 |issn=0264-9381}}</ref>}}

目前的宇宙学标准模型——[[ΛCDM模型]]使用的也是FLRW度规，在其基础上将[[WMAP]]和[[普朗克卫星]]等的观测数据与[[EGS定理]]及其推广的理论结果相结合，<ref>See pp. 351ff. in {{citation |last1=Hawking |first1=Stephen W. |last2=Ellis |first2=George F. R. |author2-link=George Francis Rayner Ellis |title=The large scale structure of space-time |publisher=Cambridge University Press |isbn=978-0-521-09906-6 |date=1973|title-link=The large scale structure of space-time }}. The original work is Ehlers, J., Geren, P., Sachs, R.K.: Isotropic solutions of Einstein-Liouville equations. J. Math. Phys. 9, 1344 (1968). For the generalization, see {{citation |last1=Stoeger |first1=W. R. |last2=Maartens |first2=R |last3=Ellis |first3=George |author3-link=George Francis Rayner Ellis |title=Proving Almost-Homogeneity of the Universe: An Almost Ehlers-Geren-Sachs Theorem |journal=Astrophys. J. |volume=39 |date=2007 |pages=1–5 |doi=10.1086/175496 |bibcode=1995ApJ...443....1S|doi-access=free }}.</ref>天体物理学家现在一致认为，早期宇宙几乎是均匀、各向同性的（在极大尺度上平均时），因此几乎是FLRW时空。尽管如此，通过对射电星系<ref>See Siewert et al. for a recent summary of results {{cite journal |last1=Siewert |first1=Thilo M. |last2=Schmidt-Rubart |first2=Matthias |last3=Schwarz |first3=Dominik J. |title=Cosmic radio dipole: Estimators and frequency dependence |journal=Astronomy & Astrophysics |year=2021 |volume=653 |pages=A9 |doi=10.1051/0004-6361/202039840 |arxiv=2010.08366 |bibcode=2021A&A...653A...9S |s2cid=223953708 }}</ref>和类星体<ref>{{cite journal |last1=Secrest |first1=Nathan J. |last2=Hausegger |first2=Sebastian von |last3=Rameez |first3=Mohamed |last4=Mohayaee |first4=Roya |last5=Sarkar |first5=Subir |last6=Colin |first6=Jacques |title=A Test of the Cosmological Principle with Quasars |journal=The Astrophysical Journal |date=2021-02-25 |volume=908 |issue=2 |pages=L51 |doi=10.3847/2041-8213/abdd40|arxiv=2009.14826 |bibcode=2021ApJ...908L..51S |s2cid=222066749 |doi-access=free }}</ref>的研究，对宇宙微波背景（CMB）偶极子的纯运动学解释的尝试在幅度上有分歧。从表面价值来看，这些观测结果与FLRW度规描述的宇宙不一致；另外，我们还可以说，目前观测结果能容忍的FLRW宇宙学中，哈勃常数有最大值<math> H_0 = 71 \pm 1</math> km/s/Mpc，可能表明晚期宇宙中的FLRW度规已经崩溃，因此有必要做出FLRW度规以外的解释。<ref>{{cite journal |last1=Krishnan |first1=Chethan |last2=Mohayaee |first2=Roya |last3=Ó Colgáin |first3=Eoin |last4=Sheikh-Jabbari |first4=M. M. |last5=Yin |first5=Lu |title=Does Hubble tension signal a breakdown in FLRW cosmology? |journal=Classical and Quantum Gravity |date=2021-05-25|volume=38 |issue=18 |page=184001 |doi=10.1088/1361-6382/ac1a81 |arxiv=2105.09790 |bibcode=2021CQGra..38r4001K |s2cid=234790314 }}</ref><ref name="Snowmass21">{{citation|author1=Elcio Abdalla|author2=Guillermo Franco Abellán|author3=Amin Aboubrahim|display-authors=2|title=Cosmology Intertwined: A Review of the Particle Physics, Astrophysics, and Cosmology Associated with the Cosmological Tensions and Anomalies|journal=Journal of High Energy Astrophysics |arxiv=2203.06142v1|date=11 Mar 2022|volume=34 |page=49 |doi=10.1016/j.jheap.2022.04.002 |bibcode=2022JHEAp..34...49A |s2cid=247411131 }}</ref>
== 参考文献 ==
{{reflist}}

== 阅读更多 ==
* North J D: (1965) ''The Measure of the Universe – a history of modern cosmology'', Oxford Univ. Press, Dover reprint 1990, {{ISBN|0-486-66517-8}}
* {{citation |last=Harrison |first=E. R. |title=Classification of uniform cosmological models |date=1967 |journal=Monthly Notices of the Royal Astronomical Society |volume=137 |pages=69–79 |bibcode=1967MNRAS.137...69H |doi=10.1093/mnras/137.1.69|doi-access=free }}
* {{citation |author=d'Inverno, Ray |title=Introducing Einstein's Relativity |location=Oxford |publisher=Oxford University Press |date=1992 |isbn=978-0-19-859686-8 |url-access=registration |url=https://archive.org/details/introducingeinst0000dinv }}. ''(See Chapter 23 for a particularly clear and concise introduction to the FLRW models.)''
{{Relativity}}

{{廣義相對論}}
{{物理宇宙学}}

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[[Category:度规张量]]