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[[File:GeorgFrobenius.jpg|thumb|弗罗贝尼乌斯]]
在[[数学]]中，特别[[交换代数]]和[[体 (数学)|域]]理论中，'''弗罗贝尼乌斯自同态'''（'''{{lang|de|Frobenius endomorphism}}'''，简称'''弗罗贝尼乌斯'''）是[[特征 (代数)|特征]]为[[素数]]''p'' 的[[交换环]]中的一个特殊的[[自同态]]。这个自同态以[[德国]][[数学家]][[费迪南德·格奥尔格·弗罗贝尼乌斯]]命名。弗罗贝尼乌斯自同态将环中的每个元素射到它的''p'' 次[[幂|乘幂]]。
<center><math>x \mapsto x^p</math></center>

在一般情况下，弗罗贝尼乌斯并不总是[[自同构]]。

==定义==

设''R'' 是一个交换环，特征是素数''p''。定义环上的弗罗贝尼乌斯自同态''F'' 为：
<center><math>F : \, x \mapsto x^p</math></center>

这是一个自同态，因为首先对于乘法，它必然服从

<center><math>F(xy) = (xy)^p = x^p y^p= F(x) F(y)</math></center>

并且''F''(1) 也显然是1。然而同时，对于加法，也有：
<center><math>F(x + y) = F(x) + F(y)</math></center>

这是因为<math>F(x + y) = (x + y)^p</math>，而其中除了<math>x^p </math> 和<math>y^p </math> 两项之外，其余的每一项都是''p''的倍数。事实上，其余的每一项都是<math>\binom{p}{k}x^k y^{p-k}</math>，也就是<math>\frac {p!}{k! (p-k)!} x^k y^{p-k}</math> 的形式，其中''k'' 是一个介于1和''p''-1 之间的整数。这样，[[分母]]<math>k! (p-k)!</math> 无法被''p'' [[整除]]，而分子可以被''p'' 整除。于是，整体来说是''p'' 的[[倍数]]。因此，由于环的特征是''p''，这一项实际是0。从而：
<center><math>F(x + y) = (x + y)^p = x^p + y^p + \sum_{k=1}^{p-1} \binom{p}{k}x^k y^{p-k} </math></center>
<center><math>= x^p + y^p = F(x) + F(y)</math></center>

综上，弗罗贝尼乌斯自同态是满足自同态的定义的。

一般来说，弗罗贝尼乌斯自同态''F'' 不是自同构，也就是说它不是一个[[一一映射]]。举例来说，令''K''为域'''F'''<sub>''p''</sub>(''t'')，也就是在''p'' 阶[[有限域]]'''F'''<sub>''p''</sub> 中加入一个新的[[超越扩张|超越]]元素''t'' 扩展得到的[[域的扩张|扩域]]。显然，由于''t'' 是超越元，它不可能在''F'' 的[[像 (數學)|像]]集里面，否则''t'' 就会是一个'''F'''<sub>''p''</sub>-[[多项式]]的[[根 (数学)|根]]，而不是超越元素。也就是说，''F'' 不是自同构。

== 弗罗贝尼乌斯的不动点 ==
设''R'' 为一个特征是''p'' 的[[整环]]。这里弗罗贝尼乌斯''F'' 的不动点是所有使得方程 ''x''<sup>''p''</sup> = ''x'' 成立的元素，也就是多项式''x''<sup>''p''</sup> - ''x''。根据费马小定理，这个多项式的全部根是0, 1, 2, ..., ''p'' - 1。因此，弗罗贝尼乌斯的不动点是''R'' 中的[[特征 (代数)|素域]]。 

== 有限域的弗罗贝尼乌斯 ==
令 '''F'''<sub>''q''</sub> 为一个阶数等于''q'' 的有限域，其中的''q'' = ''p''<sup>d</sup>，''p'' 是域的特征。弗罗贝尼乌斯将域中的 '''F'''<sub>''p''</sub> 部分之中的元素映射到自身。可以证明，''F'' 生成了域扩张<math>F_p \subset F_q</math> 的[[伽罗瓦群]]。

==参考资料==
*{{cite book | title =''Elliptic Curves: Number Theory and Cryptography'', Second Edition (Discrete Mathematics and Its Applications) | author = Lawrence C. Washington | publisher = Chapman and Hall/CRC | year = 2008 |isbn = 978-1-420-07146-7}}

[[category: 有限域]]
[[category: 代数数论]]
[[category: 伽罗瓦理论]]

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