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在[[微分几何]]中，杜布罗温提出的'''弗罗贝尼乌斯流形'''<ref>B. Dubrovin: ''Geometry of 2D topological field theories.'' In: Springer LNM, 1620 (1996), pp.&nbsp;120–348.</ref>是[[切空间]]上具有某种兼容乘法结构的平坦[[黎曼流形]]。这一概念将[[弗罗贝尼乌斯代数]]推广到切丛。

弗罗贝尼乌斯流形自然出现于[[辛几何|辛拓扑]]，更具体地说是[[量子上同调]]之中。最广义的定义是黎曼[[超流形]]范畴，我们这里的讨论仅限于光滑（实）流形。也可限制在复流形。
== 定义 ==
令''M''为光滑流形。''M''上的仿射平面结构是指逐点扩张切丛''TM''、其切括号消失的向量空间的[[层 (数学)|层]] ''T''<sup>''f''</sup>。

局部例子：考虑''M''的表上的坐标向量场。若能将这样的向量场粘合到表的覆盖族中，则流形是仿射平面结构。

进一步给出''M''上的[[黎曼度量]]''g''。若对所有平面向量场''X、Y''，<math>g(X,\ Y)</math>都是局部为常数的，那么就与平面结构相容。

当且仅当黎曼流形的曲率张量在任何地方都为0，才具有相容的仿射平面结构。

''TM''上的交换积*族等价于<math>s^2(T^*M)\otimes TM</math>的一个剖面''A''，通过

:<math>X*Y = A(X,Y). \, </math>

此外还需要属性

:<math>g(X*Y,Z)=g(X,Y*Z). \, </math>

于是组合''g''<sup>#</sup>∘''A''是对称3张量。

这就意味着具有常数积的线性弗罗贝尼乌斯流形<math>(M,\ g,\ *)</math>是弗罗贝尼乌斯代数''M''。

给定<math>(g,\ T^f,\ A)</math>，则局部势''Φ''是局部光滑函数，使得对所有向量场''X、Y、Z''，有

:<math>g(A(X,Y),Z)=X[Y[Z[\Phi]]].</math>

弗罗贝尼乌斯流形<math>(M,\ g,\ *)</math>现在是平坦黎曼流形<math>(M,\ g)</math>，其对称3张量''A''在任何地方都有局部势，且是结合的。

== 基本性质 ==
积*的结合性等价于局部势''Φ''中的下列二次[[偏微分方程]]：
:<math> \Phi_{,abe}g^{ef}\Phi_{,cdf} = \Phi_{,ade}g^{ef}\Phi_{,bcf} \, </math>
当中隐含了[[爱因斯坦求和约定]]，<math>\Phi_{,a}</math>表示Φ函数对坐标矢量场的偏导数<math>\frac{\partial}{\partial x^a}</math>，已经假定后者是平坦的；<math>g^{ef}</math>是度量的系数之逆。

于是，方程称作结合性方程，或威滕-迪杰格拉夫-韦尔兰德-韦尔兰德（Witten–Dijkgraaf–Verlinde–Verlinde，WDVV）方程。

== 例子 ==
除了弗罗贝尼乌斯代数外，量子上同调中也有些例子。比如，给定半正定[[辛流形]]<math>(M,\ \omega)</math>，则在[[诺维科夫环]]在'''C'''上的偶[[量子上同调]]<math>{\rm QH}^{\rm even}(M,\ \omega)</math>存在0的开邻域''U''，同时''U''中''a''的大量子积<math>*_{a}</math>是解析的。现在''U''连同相交形式<math>g=<-,\ -></math>是（复）弗罗贝尼乌斯流形。

弗罗贝尼乌斯流形的第二大类例子来自奇异点理论。比如，孤立奇异点的最小变形空间具有弗罗贝尼乌斯流形结构，其也与[[斋藤恭司]]的原形式有关。

== 参考文献 ==
{{Reflist}} 2. Yu.I. Manin, S.A. Merkulov: [https://arxiv.org/abs/alg-geom/9702014 ''Semisimple Frobenius (super)manifolds and quantum cohomology of '''P'''<sup>r</sup>''] {{Wayback|url=https://arxiv.org/abs/alg-geom/9702014 |date=20231124121318 }}, Topol. Methods in Nonlinear [[Analysis]] 9 (1997), pp.&nbsp;107–161

[[Category:辛拓扑]]
[[Category:代数几何]]