查看“︁弗罗比尼乌斯内积”︁的源代码

{{unreferenced|time=2019-03-08T22:35:47+00:00}}
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在[[数学]]中，'''弗罗比尼乌斯内积'''（{{lang-en|Frobenius inner product}}）是一种基于两个[[矩阵]]的二元运算，结果是一个数值。它常常被记为<math>\langle \mathbf{A},\mathbf{B} \rangle_\mathrm{F}</math>。这个运算是一個將矩陣視為向量的逐元素[[内积]]。参与运算的两个矩阵必须有相同的维度、行数和列数，但不局限于[[方塊矩陣|方阵]]。

==定义==

给定两个''n''×''m''维[[复数 (数学)|複]]矩阵 '''A'''和'''B'''：

:<math> \mathbf {A} ={\begin{pmatrix}A_{11}&A_{12}&\cdots &A_{1m}\\A_{21}&A_{22}&\cdots &A_{2m}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\A_{n1}&A_{n2}&\cdots &A_{nm}\\\end{pmatrix}} \,, \quad \mathbf {B} ={\begin{pmatrix}B_{11}&B_{12}&\cdots &B_{1m}\\B_{21}&B_{22}&\cdots &B_{2m}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\B_{n1}&B_{n2}&\cdots &B_{nm}\\\end{pmatrix}}</math>

弗罗比尼乌斯内积定义为如下的矩阵元素[[求和]]

:<math> \langle \mathbf{A}, \mathbf{B} \rangle_\mathrm{F} =\sum_{i,j}\overline{A_{ij}} B_{ij} = \mathrm{tr}\left(\overline{\mathbf{A}^T} \mathbf{B}\right)</math>

其中上划线表示复数和複矩阵的[[共軛複數|共轭]]操作。若將定義詳細寫出，則有
:<math>\begin{align} \langle \mathbf{A}, \mathbf{B} \rangle_\mathrm{F} = & \overline{A}_{11} B_{11} + \overline{A}_{12} B_{12} + \cdots + \overline{A}_{1m} B_{1m} \\
 & + \overline{A}_{21} B_{21} + \overline{A}_{22} B_{22} + \cdots + \overline{A}_{2m} B_{2m} \\
 & \vdots \\
 & + \overline{A}_{n1} B_{n1} + \overline{A}_{n2} B_{n2} + \cdots + \overline{A}_{nm} B_{nm} \\
\end{align}</math>

此計算與[[點積]]十分相似，所以是一個內積的範例。

===性质===

弗罗比尼乌斯内积是[[半双线性形式]]。给定複矩阵'''A''', '''B''', '''C''', '''D''', 以及复数''a''和''b''，我们有

:<math>\langle a\mathbf{A}, b\mathbf{B} \rangle_\mathrm{F} = \overline{a}b\langle \mathbf{A}, \mathbf{B} \rangle_\mathrm{F} </math>
:<math>\langle \mathbf{A}+\mathbf{C}, \mathbf{B} + \mathbf{D} \rangle_\mathrm{F} = \langle \mathbf{A}, \mathbf{B} \rangle_\mathrm{F} + \langle \mathbf{A}, \mathbf{D} \rangle_\mathrm{F} + \langle \mathbf{C}, \mathbf{B} \rangle_\mathrm{F} + \langle \mathbf{C}, \mathbf{D} \rangle_\mathrm{F} </math>

并且，交换複矩阵的次序所得到的是原来结果的共轭矩阵：

:<math>\langle \mathbf{B}, \mathbf{A} \rangle_\mathrm{F} = \overline{\langle \mathbf{A}, \mathbf{B} \rangle_\mathrm{F}} </math>

对于相同的矩阵，有

:<math>\langle \mathbf{A}, \mathbf{A} \rangle_\mathrm{F} \geq 0 \,. </math>

==样例==
===实矩阵===

给定实矩阵：

:<math>\mathbf{A} = \begin{pmatrix} 2 & 0 & 6 \\ 1 & -1 & 2 \end{pmatrix} \,,\quad \mathbf{B} = \begin{pmatrix} 8 & -3 & 2 \\ 4 & 1 & -5 \end{pmatrix} </math>

则：

:<math>\begin{align}\langle \mathbf{A} ,\mathbf{B}\rangle_\mathrm{F} & = 2\cdot 8 + 0\cdot (-3) + 6\cdot 2 + 1\cdot 4 + (-1)\cdot 1 + 2\cdot(-5) \\
& = 16 + 12 + 4 - 1 - 10 \\
& = 21 \end{align} </math>

===複矩阵===

给定複矩阵

:<math>\mathbf{A} = \begin{pmatrix} 1+i & -2i \\ 3 & -5 \end{pmatrix} \,,\quad \mathbf{B} = \begin{pmatrix} -2 & 3i \\ 4-3i & 6 \end{pmatrix} </math>

那么它们的共轭 (非转置) 矩阵为

:<math>\overline{\mathbf{A}} = \begin{pmatrix} 1-i & +2i \\ 3 & -5 \end{pmatrix} \,,\quad \overline{\mathbf{B}} = \begin{pmatrix} -2 & -3i \\ 4+3i & 6 \end{pmatrix} </math>

因此，

:<math>\begin{align} \langle \mathbf{A} ,\mathbf{B}\rangle_\mathrm{F} & = (1-i)\cdot (-2) + (+2i)\cdot 3i + 3\cdot (4-3i) + (-5)\cdot 6 \\
& = (-2+2i) + -6 + 12-9i + -30 \\
& = -26 -7i \end{align} </math>

但注意

:<math>\begin{align} \langle \mathbf{B} ,\mathbf{A}\rangle_\mathrm{F} & = (-2)\cdot (1+i) + (-3i)\cdot (-2i) + (4+3i)\cdot 3 + 6 \cdot (-5) \\
& = -26 + 7i \end{align} </math>

'''A'''、'''B'''与其本身的弗罗比尼乌斯内积分别为

:<math>\langle \mathbf{A}, \mathbf{A} \rangle_\mathrm{F} = 2 + 4 + 9 + 25 = 40 </math>
:<math>\langle \mathbf{B}, \mathbf{B} \rangle_\mathrm{F} = 4 + 9 + 25 + 36 = 74 </math>

==弗罗比尼乌斯范数==

从弗罗比尼乌斯内积我们可以诱导出[[弗罗比尼乌斯范数]]

:<math>\|\mathbf{A}\|_\mathrm{F} = \sqrt{\langle \mathbf{A}, \mathbf{A} \rangle_\mathrm{F}} \,.</math>

==參考資料==
{{reflist}}
==相關條目==

*[[阿達瑪乘積 (矩陣)]]
*[[希尔伯特-施密特算子]]
*[[克罗内克积]]
*[[矩陣分析]]
*[[矩陣乘法]]
*[[矩陣範數]]
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{{DEFAULTSORT:Matrix Multiplication}}
[[Category:矩陣論]]
[[Category:双线性算子]]
[[Category:二元運算]]
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