查看“︁弗洛尔同调”︁的源代码

[[数学]]中，'''弗洛尔[[同调]]'''是一种研究[[辛几何]]与低维[[拓扑]]的工具。弗洛尔同调是有限维[[莫尔斯同调]]的无穷维类似物，是一种新颖的[[不变量 (数学)|不变量]]。[[安德烈斯·弗洛尔]]先后提出了多种构造：
*在证明辛几何的[[阿诺德猜想]]时，提出了弗洛尔同调的第一个版本，现在称作拉格朗日弗洛尔同调；
*为辛[[流形]]的[[辛流形#拉格朗日及其他子流形|拉格朗日子流形]]提出了密切相关的理论；
*利用[[杨-米尔斯理论|杨-米尔斯泛函]]，将同调群与闭3维流形联系起来。
这些构造及其后代在目前的辛流形、切触流形及（光滑）3、4维流形的拓扑学发挥着重要作用。

弗洛尔同调的定义通常是将无限维流形与其上的实值函数关联起来。在辛的背景下，这是[[辛流形]]的自由[[闭路空间]]与辛作用泛函。3维流形的（[[瞬子]]）版本，则是3维流形上带[[陈-西蒙斯理论|陈-西蒙斯泛函]]的SU(2)-[[联络]]空间。粗略地讲，弗洛尔同调是无限维流形上函数的莫尔斯同调。函数[[临界点 (数学)|临界点]]（的特定集合）张成的[[阿贝尔群]]形成了弗洛尔[[链复形]]。链复形的[[微分形式|微分]]由计算连接某些临界点对（的集合）的函数[[梯度]][[流线]]定义。弗洛尔同调是此链复形的[[同调]]。

在可以成功应用弗洛尔思想的情形下，梯度流线方程通常是有几何意义的解析可处理方程。对于辛弗洛尔同调，闭路空间中路径的梯度流方程是圆柱体（闭路路径的总空间）到待研究辛流形的映射的[[柯西-黎曼方程]]（的扰动版本），解是[[伪全纯曲线]]。然后运用[[格罗莫夫紧性定理]]，证明微分是良定义的，且平方为零，这样就定义了弗洛尔同调。瞬子弗洛尔同调的梯度流方程正是与实线交叉的3为流形上的杨–米尔斯方程。

==辛弗洛尔同调==
辛弗洛尔同调（SFH）是与[[辛流形]]及其非退化[[辛同胚]]相关联的同调论。若辛同胚是哈密顿的，则此同调来自辛流形自由闭路空间（的[[覆疊空間#萬有覆疊空間|万有覆叠]]）上的[[作用量#簡略作用量（泛函）|辛作用]]泛函。SFH在辛同胚的哈密顿同痕下不变。

当中，非退化指1不是辛同胚的导数在任意定点上的特征值，意味着定点是孤立的。SFH是由这种辛同胚的[[不动点]]生成的[[链复形]]的同调，当中微分计算了实线与辛同胚的[[映射环面]]之积中的某些[[伪全纯曲线]]。这本身就是一个辛流形，维度比原流形大2。在适当的[[殆复结构]]选择下，其中（有限能量的）有孔[[全纯曲线]]的圆柱末端渐进于[[映射环面]]中与辛同胚不动点对应的闭路。不动点对之间可以定义相对指标（relative index），微分计算相对指标为1的全纯圆柱数量。

紧流形的哈密顿辛同胚的辛弗洛尔同调同构于底流形的奇异同调。于是，流形的[[贝蒂数]]之和会产生[[阿诺德猜想]]的一版本所预测的非退化辛同胚的定点数下界。哈密顿辛同胚的SFH还有[[裤对]]（pair of pants）积，是等价于[[量子上同调]]的变形[[上积]]。此积的一个版本对非正合辛同胚也存在。

对流形''M''的[[余切丛]]，由于其非紧性，弗洛尔同调取决于哈密顿量的选择。对于在无穷远处为二次的哈密顿量，弗洛尔同调是''M''的自由闭路空间的[[奇异同调]] （这一说法的各种版本证明由Viterbo、Salamon–Weber、Abbondandolo–Schwarz、Cohen做出）。余切丛的弗洛尔同调上还有更复杂的运算，对应底流形闭路空间同调上的[[弦拓扑]]运算。

辛弗洛尔同调在提出[[同调镜像对称]]猜想上起着关键作用。

===PSS同构===
1996年，S. Piunikhin、D. Salamon、M. Schwarz总结了弗洛尔同调与[[量子上同调]]的关系，表述如下。{{harvtxt|Piunikhin|Salamon|Schwarz|1996}}

:*半正定辛流形<math>(M,\ \omega)</math>闭路空间的弗洛尔上同调群自然同构于''M''的普通[[上同调]]，后者由与[[甲板变换|覆叠变换]]群相关联的合适[[诺维科夫环]]张开（tensored）。
:*此同构将''M''的上同调上的[[量子上积]]结构与弗洛尔同调上的裤对积交织在一起。

辛流形''M''的半正定与紧性条件用于得到[[量子上同调#诺维科夫环|诺维科夫环]]，以及定义弗洛尔同调与量子上同调。半正定意味着以下条件之一成立（注意此三者是有关联的）：

:*<math>\langle [\omega],A\rangle=\lambda\langle c_1,A\rangle,\ \forall A\in\pi_2(M),\ \lambda\ge 0</math>（''M''单调）
:*<math>\langle c_1,A\rangle=0,\ \forall A\in \pi_2(M)</math>。
:*最小陈数<math>N\ge 0</math>定义为<math>\langle c_1,\pi_2(M)\rangle=N\mathbb{Z}</math>不小于<math>n-2</math>。

辛流形''M''的量子上同调群可定义为普通上同调与诺维科夫环Λ的张量积，即

::<math>QH_*(M)=H_*(M)\otimes\Lambda.</math>

弗洛尔同调的这个构造解释了''M''上[[殆复结构]]的选择与到弗洛尔同调的同构之间的独立性，后者来自[[莫尔斯理论]]、[[伪全纯曲线]]的思想，而同调与上同调之间的[[庞加莱对偶性]]是其背景。

==3维流形的弗洛尔同调==
[[闭流形|闭]][[3-流形]]有几种等价的弗洛尔同调。每种同调都会产生3类同调群，可以组成[[三角范畴|正合三角]]。3-流形中的扭结会在每个理论的链复形上导出一个滤子，其链同伦类是扭结不变量（其同调满足的形式属性，形式上类似于组合定义的[[科瓦诺夫同调]]）。

这些同调与4-流形的唐纳森与塞伯格不变量、辛4-流形的陶布斯的格罗莫夫不变量关系密切；考虑3-流形交叉'''R'''上相关微分方程（分别是[[杨-米尔斯理论|杨-米尔斯]]、[[塞伯格-威滕理论|塞伯格-威滕]]、[[柯西-黎曼方程]]）的解，可以研究这些理论对应的3-流形同调的微分。3-流形弗洛尔同调也应是有界4-流形相对不变量的目标，通过胶合构造与闭4-流形不变量相关，将有界3-流形的边界粘合在一起可得后者（这与[[拓扑量子场论]]的概念密切相关）。对于赫戈弗洛尔同调，首先定义的是3-流形同调，之后根据它定义了闭4-流形不变量。

3-流形同调也可以扩展到有界3-流形：缝合弗洛尔同调{{harv|Juhász|2008}}与有界弗洛尔同调{{harv|Lipshitz|Ozsváth|Thurston|2008}}。它们与闭3-流形的不变量相关，是通过3-流形弗洛尔同调的胶合公式得到，可以描述为两个有界3-流形沿边界的并。

若[[3-流形]]配备了[[切触结构]]，则其弗洛尔同调也配备了同调的特异元（distinguished element）。Kronheimer、Mrowka首先在塞伯格-威滕情形下引入了切触元。Ozsvath、Szabo利用Giroux提出的切触流形与开[[书分解]]的关系，为赫戈弗洛尔同调构造了切触元，而在嵌入切触同调中，它作为空集的同调类是自由的。（与其他三个不同，其定义需要切除同调。嵌入切触同调见{{harvtxt|Hutchings|2009}}）

这些理论都带有先验的相对级：Kronheimer、Mrowka（对SWF）、Gripp、Huang（对HF）、Hutchings（对ECH）（通过有向2-平面场的同伦类）将相对级提升为绝对级。Cristofaro-Gardiner证明了ECH与塞伯格-威滕弗洛尔同调之间的陶布斯同构保持这些绝对级不变。

===瞬子弗洛尔同调===
有与[[唐纳森理论]]相关的3-流形不变量，是弗洛尔自己提出的，可用3-流形（更确切地说是同调3-球面）上[[主丛|主]][[SU(2)]]-丛的[[联络]]空间上的[[陈–西蒙斯理论|陈–西蒙斯]]泛函求得。其临界点是[[曲率形式#向量丛上的曲率形式|平坦联络]]，流线是[[瞬子]]，即与实线交叉的3-流形上的反自对偶联络。瞬子弗洛尔同调可以视作[[卡松不变量]]的推广，因为弗洛尔同调的[[欧拉示性数]]与卡松不变量一致。

在弗洛尔提出弗洛尔同调后不久，唐纳森就意识到配边会导出映射。这是[[拓扑量子场论]]结构的第一个例子。

===塞伯格-威滕弗洛尔同调===
'''塞伯格-威滕弗洛尔同调'''或'''单极弗洛尔同调'''是光滑[[3-流形]]（配备[[自旋结构|<math>{\rm spin}^c</math>结构]]）的同调论，可以视作3-流形的U(1)联络上陈–西蒙斯–狄拉克泛函的莫尔斯同调。相关的梯度流方程对应于与实线交叉的3-流形上的塞伯格-威滕方程。等价地，链复形的生成子是3-流形与实线之积上塞伯格-威滕方程的平移不变解（称作单极），微分计算3-流形与实线之积上塞伯格-威滕方程的解，在无穷处趋近于不变解。

Peter Kronheimer与Tomasz Mrowka在专著《单极与3-流形》（Monopoles and Three-manifolds）中严格构造了塞伯格-威滕-弗洛尔同调的一个版本，即单极弗洛尔同调。陶布斯证明，其同构于嵌入切触同调。{{harvtxt|Manolescu|2003}}、{{harvtxt|Frøyshov|2010}}对有理同调3-球面给出了SWF的替代构造，是一致的。

===赫戈弗洛尔同调===
'''赫戈弗洛尔同调'''是Peter Ozsváth与Zoltán Szabó提出的具有<math>{\rm spin}^c</math>结构的闭3-流形不变量，通过类似于拉格朗日弗洛尔同调的构造，利用空间的[[赫戈分裂|赫戈图]]计算得来。{{harvtxt|Kutluhan|Lee|Taubes|2020}}发表了赫戈弗洛尔同调与塞伯格-威滕弗洛尔同调同构的证明，{{harvtxt|Colin|Ghiggini|Honda|2011}}发表了赫戈弗洛尔同调的加号版本（方向相反）与嵌入切触同调同构的证明。

3-流形中的扭结会导出赫戈弗洛尔同调群上的滤子，而滤后的同伦类是一种强大的[[扭结不变量]]，称作扭结弗洛尔同调，[[范畴化]]了[[亚历山大多项式]]。扭结弗洛尔同调由{{Harvtxt|Ozsváth|Szabó|2004}}和{{harvtxt|Rasmussen|2003}}独立定义，用于探测扭结的亏格。运用赫戈分裂的网格图，扭结弗洛尔同调可有一种组合构造，见{{harvtxt|Manolescu|Ozsváth|Sarkar|2009}}。

在扭结上分支的S^3的[[覆叠空间|二重覆叠]]的赫戈弗洛尔同调通过谱序列与[[科瓦诺夫同调]]相关联{{harv|Ozsváth|Szabó|2005}}。

赫戈弗洛尔同调的“帽”版本的组合描述见{{harvtxt|Sarkar|Wang|2010}}。赫戈弗洛尔同调的“加”“减”版本、相关的Ozsváth–Szabó 4-流形不变量也有组合描述，见{{harv|Manolescu|Ozsváth|Thurston|2009}}。

===嵌入切触同调===
'''嵌入切触同调'''是Michael Hutchings提出的一种3-流形不变量（具有接触的第二同调类，对应塞伯格-威滕弗洛尔同调中<math>{\rm spin}^c</math>结构的选择），（[[克利福德·陶布斯]]证明）同构于塞伯格-威滕弗洛尔上同调，因此（{{harvnb|Kutluhan|Lee|Taubes|2020}}、{{harvnb|Colin|Ghiggini|Honda|2011}}证明）同构于赫戈弗洛尔同调的加版本（方向相反）。可以将其视作[[陶布斯格罗莫夫不变量]]（等价于[[塞伯格-威滕不变量]]）从闭辛[[4-流形]]到特定非紧辛4-流形（即与'''R'''交叉的切触3-流形）的推广。其构造类似于辛场论，因为是由某些闭[[切触几何|里布轨道]]集生成的，其微分计算某些以里布轨道为端点的全纯曲线，与SFT的不同之处在于里布轨道集的技术条件，以及不计算[[弗雷德霍姆算子|弗雷德霍姆指标]]为1的端点已知全纯曲线，只计算同时满足ECH指标给出的拓扑条件者，这尤其意味着所考虑的曲线（主要）是嵌入的。

[[韦因斯坦猜想]]：切触3-流形有闭的里布轨道，对任意切触形式、任意ECH非平凡的流形都成立。陶布斯运用与ECH密切相关的技术证明了猜想，这项工作的扩展产生了ECH与SWF之间的同构关系。ECH中的很多构造（包括其良定性）都依赖于这种同构{{harv|Taubes|2007}}。
ECH的切触元有特别好的形式：其是与里布轨道的空集相关联的循环。
嵌入切触同调的类似物可定义在（有界）曲面的辛同胚的映射环面上，称作周期弗洛尔同调，是对曲面辛同胚的辛弗洛尔同调的推广。更广义地说，它可根据3-流形上的任意稳哈密顿结构定义，后者与切触结构类似，定义了一个非零向量场（里布向量场），Hutchings与Taubes证明了它们的韦因斯坦猜想，即它们总有闭的轨道（除非是2-环面的映射环面）。

==拉格朗日交弗洛尔同调==
辛流形两横截相交的[[辛流形#拉格朗日及其他子流形|拉格朗日子流形]]的拉格朗日弗洛尔同调是由两子流形的交点生成的链复形的同调，其微分计算[[伪全纯曲线|伪全纯]][[惠特尼圆盘]]。

给定辛流形的3个拉格朗日子流形<math>L_0,\ L_1,\ L_2</math>，在拉格朗日弗洛尔同调上有积结构：

:<math>HF(L_0, L_1) \otimes HF(L_1,L_2) \rightarrow HF(L_0,L_2), </math>

是通过计数全纯三角（三角的全纯映射，顶点与边映射到适当的交点与拉格朗日子流形）定义的。

Fukaya、Oh、Ono、Ohta发表了这方面的论文。Lalonde、Cornea最近关于“聚类同调”（cluster homology）的研究提供了另一种方法。一对拉格朗日子流形的弗洛尔同调不总存在，存在时就会阻碍用哈密顿同痕分离拉格朗日子流形。

有几种弗洛尔同调是拉格朗日弗洛尔同调的特例。''M''的辛同胚的辛弗洛尔同调可视作是拉格朗日弗洛尔同调的一种情形，当中环境流形是与''M''交叉的''M''，拉格朗日子流形是辛同胚的对角和图。赫戈弗洛尔同调的构造基于3-流形的赫戈分裂定义的全实子流形的拉格朗日弗洛尔同调的变体。Seidel–Smith、Manolescu构造了一个链不变量，作为拉格朗日弗洛尔同调的一种情形，与组合定义的链不变量——[[科瓦诺夫同调]]一致。

===阿蒂亚–弗洛尔猜想===
阿蒂亚–弗洛尔猜想将瞬子弗洛尔同调与拉格朗日交弗洛尔同调联系起来。<ref>{{harvnb|Atiyah|1988}}</ref>考虑3-流形''Y''，[[赫戈分裂]]沿[[曲面|面]]<math>\Sigma</math>，则<math>\Sigma</math>模规范等价（gauge equivalence）上的平坦联络空间是<math>6g-6</math>维辛流形<math>M(\Sigma)</math>，其中''g''是面<math>\Sigma</math>的[[亏格]]。赫戈分裂中，<math>\Sigma</math>绑定了两个3-流形，各自的平坦联络模规范等价的有界空间作为拉格朗日子流形嵌入<math>M(\Sigma)</math>。可以考虑拉格朗日交弗洛尔同调，也可以考虑3-流形''Y''的瞬子弗洛尔同调。阿蒂亚–弗洛尔猜想断言，这两个不变量同构。Salamon–Wehrheim与Daemi–Fukaya正在研究其证明。

===与镜像对称的关系===
[[马克西姆·孔采维奇]]的[[同伦镜像对称]]猜想预言[[卡拉比-丘流形]]''X''中拉格朗日量的拉格朗日弗洛尔同调等价于镜像卡拉比-丘流形上[[凝聚层]]的[[Ext函子|Ext群]]。这时，不应关注弗洛尔同调群，而应关注弗洛尔链群。与裤对积相似，可以利用伪全纯''n''边形构造多组分，其满足<math>A_\infty</math>关系，使辛流形中所有（无阻碍）拉格朗日子流形范畴变为<math>A_\infty</math>范畴，称作[[深谷范畴]]。

更精确地说，必须为拉格朗日量添加额外数据——分次与[[自旋结构]]。具有这些结构的拉格朗日量常称作[[膜 (物理学)|膜]]。同调镜像对称猜想认为，卡拉比-丘流形''X''的深谷范畴，与镜像流形凝聚层的有界[[导出范畴]]的底[[微分分次范畴]]之间，有一类导出[[森田等价]]，反之亦然。

==辛场论（SFT）==
这是[[切触流形]]与其间的辛[[配边]]的不变量，最初由Yakov Eliashberg、Alexander Givental、Helmut Hofer提出。辛场论及其子复形、有理辛场论、切触同调定义为微分代数的同调，由所选切触形式的里布向量场的闭轨道生成。微分计算切触流形上圆柱的特定全纯曲线，其中的平凡例子是闭里布轨道上（平凡）圆柱的分支覆盖。它还包括一种线性同调论，称作圆柱或线性化切触同调（有时滥用符号，只称作切触同调），其链群是由闭轨道生成的向量空间，微分只计算全纯圆柱。但因为全纯圆盘的存在以及缺乏正则性、横截性结果，圆柱切触同调不总有定义。在圆柱切触同调有意义的情形下，可将其视作自由闭路空间上作用泛函的（稍有修改的）莫尔斯同调，其将闭路送到闭路上切触形式alpha的积分上。里布轨道是这泛函的临界点。
SFT还与切触流形的[[切触几何#勒让德子流形和纽结|勒让德子流形]]的一个相对不变量有关，称作[[相对切触同调]]。其生成子是里布弦，即里布向量场在拉格朗日量上始终的轨迹，其微分计算切触流形[[辛化]]中的某些全纯条带，其端点渐进于给定的里布弦。
SFT中，切触流形可用具有辛同胚的辛流形的[[映射环面]]取代。圆柱切触同调是良定义的，并由辛同胚之幂的辛弗洛尔同调给出，（有理）辛场论与切触同调可视作推广的辛弗洛尔同调。但若辛同胚是时间依赖哈密顿量的时1映射，则这些高等不变量并不包含任何进一步的信息。

==弗洛尔同伦==
构建某对象的弗洛尔同调论的一种可行方案是构建一个相关[[谱 (拓扑)|谱]]，其普通同调就是所需的弗洛尔同调。将其他[[同调论]]应用于这样的谱，可得到其他有趣的不变量。这一策略由Ralph Cohen、John Jones、Graeme Segal提出，并由{{harvtxt|Manolescu|2003}}在某些情形下用于塞伯格-威滕-弗洛尔同调，Cohen将其用于余切丛的辛弗洛尔同调。这种方法是Manolescu (2013)构造Pin (2)-等价塞伯格–威滕弗洛尔同调的基础，他以此推翻了维数不小于5的流形的三角猜想。

==分析基础==
M其中许多弗洛尔同调还没被完整严格地构造出来，很多猜想的等价关系也还没有证明。进行相关分析时，尤其是构造伪全纯曲线的[[紧化]][[模空间]]时，会遇到技术困难。Hofer与Kris Wysocki和Eduard Zehnder合作，通过多流形（polyfold）理论和“一般弗雷德霍姆理论”发展了新的分析基础。虽然多流形的诠释尚未完成，但在一些重要案例中，横截性可以更简单地证明了。

==计算==
弗洛尔同调一般很难显式计算。例如，所有曲面辛同胚的辛弗洛尔同调到2007年才计算出来。赫戈弗洛尔同调是个成功案例：研究者利用其代数结构计算了各类3-流形，并找到了计算大部分理论的组合算法。其还与现有不变量及结构有关，并对3-流形拓扑产生了许多启示。

==参考文献==
===脚注===
{{Reflist}}

===书===
* {{cite book
 |first=Michael |last=Atiyah
 |author-link=Michael Atiyah
 |title=The Mathematical Heritage of Hermann Weyl
 |year=1988
 |chapter=New invariants of 3- and 4-dimensional manifolds
 |chapter-url=https://archive.org/details/mathematicalheri0000symp/page/285
 |volume=48
 |pages=285–299
 |doi=10.1090/pspum/048/974342
 |series=Proceedings of Symposia in Pure Mathematics
 |isbn=9780821814826
 }}
* {{cite book
 |author1=Augustin Banyaga
 |author-link=Augustin Banyaga
 |author2=David Hurtubise
 |year=2004
 |title=Lectures on Morse Homology
 |publisher=[[Kluwer Academic Publishers]]
 |isbn=978-1-4020-2695-9
}}
* {{cite book
 |author1=Simon Donaldson
 |author-link=Simon Donaldson
 |author2=M. Furuta
 |author3=D. Kotschick
 |year=2002
 |title=Floer homology groups in Yang–Mills theory
 |series=Cambridge Tracts in Mathematics
 |volume=147
 |publisher=[[Cambridge University Press]]
 |isbn=978-0-521-80803-3
}}
* {{cite book
 |editor-first=David A. |editor-last=Ellwood |editor2-link=Peter Ozsváth |editor2-first=Peter S. |editor2-last=Ozsváth |editor3-first=András I. |editor3-last=Stipsicz |editor4-link=Zoltán Szabó (mathematician) |editor4-first=Zoltán |editor4-last=Szabó
 |year=2006
 |title=Floer Homology, Gauge Theory, And Low-dimensional Topology
 |series=Clay Mathematics Proceedings
 |volume=5
 |publisher=[[Clay Mathematics Institute]]
 |isbn=978-0-8218-3845-7
}}
*{{Cite book
 |first1=Peter |last1=Kronheimer
 |first2=Tomasz |last2=Mrowka
 |year= 2007
 |title=Monopoles and Three-Manifolds
 |publisher=[[Cambridge University Press]]
 |isbn= 978-0-521-88022-0
 |author-link1=Peter Kronheimer
 |author-link2=Tomasz Mrowka
 }}
* {{cite book
 |first1=Dusa |last1=McDuff
 |author-link=Dusa McDuff
 |first2=Dietmar |last2=Salamon
 |year=1998
 |title=Introduction to Symplectic Topology
 |publisher=[[Oxford University Press]]
 |isbn=978-0-19-850451-1
}}
*  {{cite journal
 |first=Dusa |last=McDuff
 |year=2005
 |title=Floer theory and low dimensional topology
 |journal=[[Bulletin of the American Mathematical Society]]
 |volume=43 |pages=25–42
 |doi=10.1090/S0273-0979-05-01080-3
 |mr=2188174
 |author-link1=Dusa McDuff
|doi-access=free
 }}
*  {{cite book
 |first=Matthias |last=Schwarz
 |orig-year=1993 |date=2012
 |title=Morse Homology
 |url=https://archive.org/details/morsehomology0000schw
 |url-access=registration
 |publisher=[[Birkhäuser]] |volume=111 |series=Progress in Mathematics |isbn=978-3-0348-8577-5
}}
* {{cite book
| first=Paul |last=Seidel
| author-link=Paul Seidel
| year =2008
| title = Fukaya Categories and Picard Lefschetz Theory
| publisher = [[European Mathematical Society]]
| isbn = 978-3037190630
}}

===研究论文===
*{{cite journal |last1=Colin |first1=Vincent |last2=Ghiggini |first2=Paolo |last3=Honda |first3=Ko |title=Equivalence of Heegaard Floer homology and embedded contact homology via open book decompositions |journal=[[Proceedings of the National Academy of Sciences|PNAS]] |volume=108 |year=2011 |issue=20 |pages=8100–8105 |doi=10.1073/pnas.1018734108 |pmid=21525415 |pmc=3100941|bibcode=2011PNAS..108.8100C |doi-access=free }}
*{{cite journal |author-link=Andreas Floer |first=Andreas |last=Floer |title=The unregularized gradient flow of the symplectic action |url=https://archive.org/details/sim_communications-on-pure-and-applied-mathematics_1988-09_41_6/page/775 |journal=[[Communications on Pure and Applied Mathematics|Comm. Pure Appl. Math.]] |volume=41 |issue= 6|year=1988 |pages=775–813 |doi=10.1002/cpa.3160410603 }}
*{{cite journal |author-mask=3 |last=Floer |first=Andreas |title=An instanton-invariant for 3-manifolds |journal=[[Communications in Mathematical Physics|Comm. Math. Phys.]] |volume=118 |year=1988 |issue=2 |pages=215–240 |bibcode=1988CMaPh.118..215F |doi=10.1007/BF01218578 |s2cid=122096068 |url=http://projecteuclid.org/euclid.cmp/1104161987 |access-date=2024-02-16 |archive-date=2020-07-25 |archive-url=https://web.archive.org/web/20200725180534/https://projecteuclid.org/euclid.cmp/1104161987 |dead-url=no }} [http://projecteuclid.org/Dienst/UI/1.0/Summarize/euclid.cmp/1104161987 Project Euclid] {{Webarchive|url=https://archive.today/20121209075553/http://projecteuclid.org/Dienst/UI/1.0/Summarize/euclid.cmp/1104161987 |date=2012-12-09 }}
*{{cite journal |author-mask=3 |last=Floer |first=Andreas |title=Morse theory for Lagrangian intersections |journal=[[Journal of Differential Geometry|J. Differential Geom.]] |volume=28 |year=1988 |issue=3 |pages=513–547 |mr=965228 |doi=10.4310/jdg/1214442477 |doi-access=free }}
*{{cite journal |author-mask=3 |last=Floer |first=Andreas |title=Cuplength estimates on Lagrangian intersections |url=https://archive.org/details/sim_communications-on-pure-and-applied-mathematics_1989-06_42_4/page/335 |journal=Comm. Pure Appl. Math. |volume=42 |year=1989 |issue=4 |pages=335–356 |doi=10.1002/cpa.3160420402 }}
*{{cite journal |author-mask=3 |last=Floer |first=Andreas |title=Symplectic fixed points and holomorphic spheres |journal=Comm. Math. Phys. |volume=120 |issue=4 |year=1989 |pages=575–611 |bibcode=1988CMaPh.120..575F |doi=10.1007/BF01260388 |s2cid=123345003 |url=http://projecteuclid.org/euclid.cmp/1104177909 |access-date=2024-02-16 |archive-date=2020-06-07 |archive-url=https://web.archive.org/web/20200607190522/https://projecteuclid.org/euclid.cmp/1104177909 |dead-url=no }}
*{{cite journal |author-mask=3 |last=Floer |first=Andreas |title=Witten's complex and infinite dimensional Morse Theory |journal=J. Diff. Geom. |volume=30 |year=1989 |pages=202–221 |doi=10.4310/jdg/1214443291 |issue=1 |url=http://www.math.toronto.edu/mgualt/Morse%20Theory/FloerWittenMorse.pdf |doi-access=free |access-date=2024-02-16 |archive-date=2022-12-20 |archive-url=https://web.archive.org/web/20221220093039/https://www.math.toronto.edu/mgualt/Morse%20Theory/FloerWittenMorse.pdf |dead-url=no }}
*{{cite journal |last=Frøyshov |first=Kim A. |year=2010 |title=Monopole Floer homology for rational homology 3-spheres |journal=[[Duke Mathematical Journal|Duke Math. J.]] |volume=155 |issue=3 |pages=519–576 |doi=10.1215/00127094-2010-060 |arxiv=0809.4842  |s2cid=8073050 }}
*{{cite journal |author-link=Mikhail Gromov (mathematician) |first=Mikhail |last=Gromov |title=Pseudo holomorphic curves in symplectic manifolds |url=https://archive.org/details/sim_inventiones-mathematicae_1985-11_82_2/page/307 |journal=[[Inventiones Mathematicae]] |year=1985 |volume=82 |issue=2 |pages=307–347 |doi=  10.1007/BF01388806|bibcode = 1985InMat..82..307G |s2cid=4983969 }}
*{{cite journal |first1=Helmut |last1=Hofer | authorlink1=Helmut Hofer |first2=Kris |last2=Wysocki |first3=Eduard |last3=Zehnder |title=A General Fredholm Theory I: A Splicing-Based Differential Geometry |journal=[[Journal of the European Mathematical Society]] |volume=9 |issue=4 |pages=841–876 |year=2007 |arxiv=math.FA/0612604 |bibcode=2006math.....12604H |doi=10.4171/JEMS/99 |s2cid=14716262 }}
*{{cite journal |last=Juhász |first=András |year=2008 |title=Floer homology and surface decompositions |journal=[[Geometry & Topology]] |volume=12 |issue=1 |pages=299–350 |doi=10.2140/gt.2008.12.299 |arxiv=math/0609779 |s2cid=56418423 }}
*{{cite journal |last1=Kutluhan |first1=Cagatay |first2=Yi-Jen |last2=Lee |first3=Clifford Henry |last3=Taubes |title=HF=HM I: Heegaard Floer homology and Seiberg–Witten Floer homology |journal=Geometry & Topology |arxiv=1007.1979  |year=2020 |volume=24 |issue=6 |pages=2829–2854 |doi=10.2140/gt.2020.24.2829 |s2cid=118772589 }}
*{{cite journal |last1=Lipshitz |first1=Robert |author-link2=Peter Ozsváth |first2=Peter |last2=Ozsváth |first3=Dylan |last3=Thurston |title=Bordered Heegaard Floer homology: Invariance and pairing |journal=Memoirs of the American Mathematical Society |volume=254 |issue=1216 |year=2008 |arxiv=0810.0687  |doi=10.1090/memo/1216 |s2cid=115166724 }}
*{{Cite journal|author-link=Ciprian Manolescu |first=Ciprian |last=Manolescu |title=Seiberg–Witten–Floer stable homotopy type of three-manifolds with ''b''<sub>''1''</sub> = 0|journal=[[Geometry & Topology|Geom. Topol.]] |volume=7 |issue=2 |pages=889–932 |year=2003 |arxiv=math/0104024 |doi=10.2140/gt.2003.7.889 |s2cid=9130339 }}
*{{Cite journal| last1 = Manolescu | first1 = Ciprian | last2 = Ozsváth | first2 = Peter S. | last3 = Sarkar | first3 = Sucharit | author3-link = Sucharit Sarkar | issue = 2 | journal = [[Annals of Mathematics|Ann. of Math.]] | pages = 633–660 | title = A combinatorial description of knot Floer homology | url = https://archive.org/details/sim_annals-of-mathematics_2009-03_169_2/page/633 | volume = 169 | year = 2009| arxiv=math/0607691 |bibcode = 2006math......7691M| doi = 10.4007/annals.2009.169.633 | s2cid = 15427272 }}
*{{cite arXiv |first1=Ciprian |last1=Manolescu | first2=Peter |last2=Ozsváth |first3=Dylan |last3=Thurston|title=Grid diagrams and Heegaard Floer invariants | year=2009 |class= math.GT|eprint=0910.0078  }}
*{{Cite journal |last1=Ozsváth |first1=Peter |author-link2=Zoltán Szabó (mathematician) |last2=Szabo |first2=Zoltán |title=Holomorphic disks and topological invariants for closed three-manifolds |url=https://archive.org/details/sim_annals-of-mathematics_2004-05_159_3/page/1027 |journal=[[Annals of Mathematics|Ann. of Math.]] |volume=159 |year=2004 |issue=3 |pages=1027–1158 |bibcode=2001math......1206O |arxiv=math/0101206 |doi=10.4007/annals.2004.159.1027 |s2cid=119143219 }}
*{{Cite journal |author-mask=3 |author=Peter Ozsváth & Zoltán Szabó |title=Holomorphic disks and three-manifold invariants: properties and applications |journal=Ann. of Math. |volume=159 |year=2004 |issue=3 |pages=1159–1245 |bibcode=2001math......5202O |last2=Szabo |arxiv=math/0105202 |doi=10.4007/annals.2004.159.1159 |s2cid=8154024 }}
*{{cite journal| last1 = Ozsváth | first1 = Peter | last2 = Szabó | first2 = Zoltán | title = Holomorphic disks and knot invariants | journal=[[Advances in Mathematics]] | volume=186 | issue=1 | pages=58–116 | year = 2004 | doi=10.1016/j.aim.2003.05.001 | doi-access=free | arxiv=math.GT/0209056}}
*{{Cite journal| last1 = Ozsváth | first1 = Peter | last2 = Szabó | first2 = Zoltán |journal=[[Advances in Mathematics]] |volume=194 | title = On the Heegaard Floer homology of branched double-covers |issue=1 |pages=1–33 | year = 2005 |arxiv=math.GT/0209056| bibcode = 2003math......9170O| doi = 10.1016/j.aim.2004.05.008 | doi-access=free | s2cid = 17245314 }}
*{{cite arXiv|last=Rasmussen |first=Jacob |title=Floer homology and knot complements  |eprint=math/0306378 |year=2003 }}
*{{cite journal |last1=Salamon |first1=Dietmar |author-link2=Katrin Wehrheim |last2=Wehrheim |first2=Katrin |year=2008 |title=Instanton Floer homology with Lagrangian boundary conditions |journal=Geometry & Topology |volume=12 |issue=2 |pages=747–918 |doi=10.2140/gt.2008.12.747 |arxiv=math/0607318 |s2cid=119680541 }}
*{{cite journal |last1=Sarkar |first1=Sucharit|last2=Wang |first2=Jiajun|journal=Ann. of Math. | pages = 1213–1236 | title = An algorithm for computing some Heegaard Floer homologies| volume = 171 | year = 2010| issue=2 | arxiv=math/0607777 |doi=10.4007/annals.2010.171.1213 |s2cid=55279928}}
*{{Cite book|last= Hutchings |journal=CRM Proc. Lecture Notes |volume=49 | pages = 263–297 | title = The embedded contact homology index revisited | year = 2009 | arxiv=0805.1240 |bibcode= 2008arXiv0805.1240H|doi=10.1090/crmp/049/10 |series=CRM Proceedings and Lecture Notes |isbn=9780821843567 |s2cid=7751880 }}
*{{Cite journal|last= Taubes |first=Clifford | title=The Seiberg–Witten equations and the Weistein conjecture |journal=Geom. Topol. |volume=11 |issue=4 | pages = 2117–2202 | year = 2007 | arxiv=math/0611007 |doi= 10.2140/gt.2007.11.2117|s2cid=119680690 }}
*{{Cite book | last1 = Piunikhin | first1 = Sergey | last2 = Salamon | first2 = Dietmar| last3 = Schwarz | first3 = Matthias | title=Contact and Symplectic Geometry | url = https://archive.org/details/isbn_9780521570862 | pages = [https://archive.org/details/isbn_9780521570862/page/171 171]–200 | chapter=Symplectic Floer–Donaldson theory and quantum cohomology | year = 1996 |publisher=Cambridge University Press |isbn= 978-0-521-57086-2 }}

==外部链接==
* {{springer|title=Atiyah-Floer conjecture|id=p/a130290}}
* {{Knot Atlas|Heegaard Floer Knot Homology}}

{{Authority control}}

[[Category:数学物理]]
[[Category:3-流形]]
[[Category:规范理论]]
[[Category:莫尔斯理论]]
[[Category:同调论]]
[[Category:辛拓扑]]