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在[[数学]]中，'''弗勒利歇尔－奈恩黑斯括号'''（{{lang|en|Frölicher–Nijenhuis  bracket}}）是[[光滑流形]]上[[向量场]]的[[李括号]]到[[向量值微分形式]]的推广。它在研究[[联络]]，特别是[[埃雷斯曼联络]]，以及更一般的研究[[切丛]]的[[投影]]中很有用。此括号由[[阿尔弗雷德·弗勒利歇尔]]与{{le|阿尔伯特·奈恩黑斯|Albert Nijenhuis}}于1956年引入，与[[扬·阿诺尔德斯·斯豪滕|斯豪滕]]1940年的工作有联系。

它与[[奈恩黑斯-理查德森括号]]和[[斯豪滕-奈恩黑斯括号]]相关但不是一回事。

== 定义 ==
设 Ω*(''M'') 是[[光滑流形]] ''M'' 上[[微分形式]]的[[外代数]]。这是一个[[分次代数]]，其次数由形式的阶数给出：
:<math>\Omega^*(M) = \bigoplus_{k=0}^\infty \Omega^k(M).</math>
一个阶数为 ℓ 的[[分次导子]]是一个映射：
:<math>D:\Omega^*(M)\to\Omega^{*+l}(M)</math>
它对常数是线性的且满足
:<math>D(\alpha\wedge\beta) = D(\alpha)\wedge\beta + (-1)^{\ell\deg(\alpha)}\alpha\wedge D(\beta).</math>
从而，特别地，关于一个向量的[[内乘]]定义了一个阶数 ℓ = -1 的分次导子，而[[外导数]]是一个阶数 ℓ = 1 的导子。

记所有阶数为 ℓ 的导子的向量空间为 Der<sub>ℓ</sub>Ω*(''M'')。这些空间的直和是一个[[分次向量空间]]其齐次分量由所有给定阶分次导数组成；记成：
:<math>\mathrm{Der}\, \Omega^*(M) = \bigoplus_{k=-\infty}^\infty \mathrm{Der}_k\, \Omega^*(M).</math>
这形成一个[[分次李代数]]，其李括号为导子的反交换子，在阶数分别为 ''d''<sub>1</sub> 和 ''d''<sub>2</sub> 的齐次导子 ''D''<sub>1</sub> 和 ''D''<sub>2</sub> 上的定义为：
:<math>[D_1,D_2] = D_1\circ D_2 - (-1)^{d_1d_2}D_2\circ D_1.</math>

任何取值于 ''M'' 的切丛的[[向量值微分形式]] ''K'' ∈ Ω<sup>''k''</sup>(''M'',&nbsp;T''M'') 定义了一个阶数 ''k'' -1 的分次导子，记作 ''i''<sub>''K''</sub>，称为插入算子。对 ω ∈ Ω<sup>ℓ</sup>(''M'')，
:<math>i_K\,\omega(X_1,\dots,X_{k+\ell-1})=\frac{1}{k!(\ell-1)!}\sum_{\sigma\in{S}_{k+\ell-1}}\textrm{sign}\,\sigma \cdot
\omega(K(X_{\sigma(1)},\dots,X_{\sigma(k)}),X_{\sigma(k+1)},\dots,X_{\sigma(k+\ell-1)})
</math>
沿着 ''K'' ∈Ω<sup>k</sup>(''M'',&nbsp;T''M'') 的 [[李导数#奈恩黑斯–李导数|奈恩黑斯–李导数]]定义为
:<math>\mathcal{L}_K = [d,i_K] =d\,{\circ}\,  i_K-(-1)^{k-1}i_K{\circ}\, d,</math>
这里 ''d'' 是外导数而 ''i''<sub>K</sub> 是插入算子。

弗勒利歇尔－奈恩黑斯括号定义为满足下式的惟一向量值微分形式：

:<math>[\cdot, \cdot] : \Omega^k(M,\mathrm{T}M) \times \Omega^\ell(M,\mathrm{T}M) \to \Omega^{k+\ell}(M,\mathrm{T}M) : (K, L) \mapsto [K, L]</math> 
使得

:<math>\mathcal{L}_{[K, L]} = [\mathcal{L}_K, \mathcal{L}_L].</math> 

如果 ''k'' = 0，故 ''K'' ∈ Ω<sup>0</sup>(''M'', T''M'') 是一个向量场，得到了李导数的通常同伦公式：
:<math>\mathcal{L}_K = [d,i_K] =d \,{\circ}\, i_K+i_K \,{\circ}\, d.</math>

<math>\phi\otimes X</math> 与 <math>\psi\otimes Y</math>（这里 φ 与 ψ 是形式，''X'' 与 ''Y'' 是向量场）的弗勒利歇尔－奈恩黑斯括号的明确表达式为
:<math>\left.\right.[\phi \otimes X,\psi \otimes Y] = \phi\wedge\psi\otimes [X,Y] + \phi\wedge\mathcal{L}_X \psi\otimes Y - \mathcal{L}_Y \phi\wedge\psi \otimes  X +(-1)^{\deg(\phi)}(d\phi \wedge i_X(\psi)\otimes Y +i_Y(\phi) \wedge d\psi \otimes X).</math>

== 形式环的导子 ==
 
Ω<sup>*</sup>(''M'') 上任何导子，存在惟一元素 ''K'' 与 ''L'' 属于 Ω<sup>*</sup>(''M'', T''M'') 使得
:<math>i_L + \mathcal{L}_K.\,</math>
这些导子的李括号如下给出。
* 形为 <math>\mathcal{L}_K</math> 的导子组成与所有 ''d'' 可交换的[[李超代数]]。其括号为：
::<math>[\mathcal{L}_{K_1},\mathcal{L}_{K_2}]= \mathcal{L}_{[K_1,K_2]}</math> 
:这里右边的括号是弗勒利歇尔－奈恩黑斯括号。特别地弗勒利歇尔－奈恩黑斯括号在 <math>\Omega(M,\mathrm{T}M)</math> 上定义了一个[[分次李代数]]结构，扩充了[[向量场]]的[[李括号]]。

* 形为 <math>i_L</math> 的导子组成在函数 Ω<sup>0</sup>(''M'') 上消没的李超代数。其括号为
::<math>[i_{L_1},i_{L_2}]= i_{[L_1,L_2]^\land}</math> 
:这里右边的括号是[[奈恩黑斯-理查德森括号]]。
*不同类型的导子之括号为
::<math>[\mathcal{L}_{K}, i_L]= i_{[K,L]} - (-1)^{kl}\mathcal{L}_{i_LK}</math>
: 其中 ''K'' 属于 Ω<sup>k</sup>(''M'', T''M'')，''L'' 属于 Ω<sup>l+1</sup>(''M'', T''M'')。

== 应用 ==

[[殆复结构]] ''J'' 的[[奈恩黑斯张量]]，是 ''J'' 与自己的弗勒利歇尔－奈恩黑斯括号。一个殆复结构是复结构当且仅当奈恩黑斯张量是零。 

有了弗勒利歇尔－奈恩黑斯括号可以定义一个向量值 1-形式（这是一个[[投影]]）的[[曲率]]与[[余曲率]]。这是[[联络]]的[[曲率]]概念之推广。 

斯豪滕–奈恩黑斯括号与弗勒利歇尔－奈恩黑斯括号有一个一般的推广；细节请参见[[斯豪滕-奈恩黑斯括号]]一文。

== 参考文献 ==
*{{citation
 | last1 = Frölicher | first1 = A.
 | last2 = Nijenhuis | first2 = A. | author2-link = Albert Nijenhuis
 | journal = [[Indagationes Mathematicae]]
 | pages = 338–360
 | title = Theory of vector valued differential forms. Part I.
 | volume = 18
 | year = 1956}}.
*{{citation
 | last1 = Frölicher | first1 = A.
 | last2 = Nijenhuis | first2 = A. | author2-link = Albert Nijenhuis
 | journal = Communicationes Mathematicae Helveticae
 | pages = 227–248
 | title = Invariance of vector form operations under mappings
 | volume = 34
 | year = 1960}}.
*{{springer|id=F/f120230|author=P. W. Michor|title=Frölicher–Nijenhuis bracket}}
*{{citation
 | last = Schouten | first = J. A. | author-link = Jan Arnoldus Schouten
 | journal = [[Indagationes Mathematicae]]
 | pages = 449–452
 | title = Über Differentialkonkomitanten zweier kontravarianten Grössen
 | volume = 2
 | year = 1940}}.

[[Category:二元运算|F]]
[[Category:微分几何|F]]
[[Category:双线性算子]]