查看“︁引力場”︁的源代码

{{noteTA
|G1=物理學
|G2=天文學
|1=zh-cn:引力场;zh-tw:重力場;zh-hk:重力場;zh-mo:重力場;
}}

在[[古典物理學]]與[[廣義相對論]]中，'''重力場'''（{{lang-en|Gravitational field}}）是用以描述[[重力]]現象的[[科學模型|模型]]：一個帶有[[質量]]的物體會在其周圍的空間中建立起重力場，而任何存在在這個空間中的其他帶有質量的物體便會受到該重力場的影響而受到一作用[[力]]，此作用力便是[[重力]]<ref>{{cite book |author-link=Richard Feynman |first=Richard |last=Feynman |title=The Feynman Lectures on Physics |volume= I |publisher=Addison Wesley Longman |year=1970 |isbn=978-0-201-02115-8 |url=http://www.feynmanlectures.caltech.edu/I_07.html}}</ref>{{NoteTag|事實上，不帶質量的物體也受重力場影響。}}。在[[SI制]]中，重力場的單位是[m/s²］。

歷史上，最早[[牛頓]]提出他的[[萬有引力定律]]時，是將重力理解為兩質點間的直接作用力，此模型中重力的傳播是即時的（或傳播的速度無限大）。而後牛頓與[[拉普拉斯]]試圖將提出類似[[輻射]]場或[[流體]]的重力模型，至19世紀後，重力場已被普遍認為必須以場的方式描述，亦即，兩物體間的萬有引力並不是即時的作用，而是以場的形式傳播並互相影響。

20世紀以後，[[愛因斯坦]]的廣義相對論取代牛頓的古典理論成為最能精確描述重力的理論，而在重力場源較弱且速度遠小於[[光速]]時，牛頓的理論可視為愛因斯坦理論的近似。在愛因斯坦的理論中，重力場應視作[[時空]]本身的彎曲，彎曲的情形進一步影響物體的運動，造成觀察到的重力現象<ref>{{cite book
|title=General Relativity from A to B
|first1=Robert
|last1=Geroch
|publisher=[[University of Chicago Press]]
|date=1981
|isbn=978-0-226-28864-2
|page=181
|url=https://books.google.com/books?id=UkxPpqHs0RkC&pg=PA181
|access-date=2020-11-21
|archive-date=2021-05-01
|archive-url=https://web.archive.org/web/20210501050113/https://books.google.com/books?id=UkxPpqHs0RkC&pg=PA181
|dead-url=no
}}</ref>。數學上，我們說時空是一個四維的[[流形]]，重力場的概念必須用[[微分幾何]]中相應的描述流形彎曲情形的量來描述。

==古典力學中的重力場==

在古典力學中，重力場是一個[[物理量]]<ref>{{cite book |author-link=Richard Feynman |first=Richard |last=Feynman |title=The Feynman Lectures on Physics |volume= II |publisher=Addison Wesley Longman |year=1970 |isbn=978-0-201-02115-8 |url=http://www.feynmanlectures.caltech.edu/II_01.html#Ch1-S2 |quote="A “field” is any physical quantity which takes on different values at different points in space."}}</ref>。其定義為：在單一質量 <math>M</math> 附近的重力場是一個[[向量場]]，通常記做 <math>\bf{g}</math>，這個向量場在空間中各點的方向指向質量M的位置，大小為每單位質點在該處受到的重力，亦即，若一質點 <math>m</math> 在空間中某處受到來自 <math>M</math> 的重力為  <math>\bf{F}</math> ，則該處的重力場強度定義為 <math>\mathbf{F}/m</math> ，其中 <math>m</math> 稱為{{tsl|en|Test particle|試驗粒子|測試質量}}。由此也可看出，重力場強度可以透過牛頓的萬有引力定律公式計算<ref>{{cite book |title=Encyclopaedia of Physics |editor1-first=R. G. |editor1-last=Lerner |editor2-first=G. L. |editor2-last=Trigg |edition=2nd |publisher=Wiley-VCH |date=1991 |isbn=978-0-89573-752-6 |url=https://archive.org/details/encyclopediaofph00lern }}{{page needed|date=October 2017}}</ref>：

:<math>\mathbf{g}
=\frac{\mathbf{F}}{m}
=\frac{\mathrm{d}^2\mathbf{R}}{\mathrm{d}t^2}
=-GM\frac{\mathbf{\hat R}}{\left|\mathbf{R}\right|^2}
</math>

式中，<math>G</math> 為[[萬有引力常數]]，<math>\mathbf{R}</math> 為質量 <math>m</math> 的[[位置向量]]（以質量 <math>M</math> 處為原點），<math>t</math> 為[[時間]]，<math>\hat\mathbf{R}</math> 為 <math>\mathbf{R}</math> 方向的[[單位向量]]。這個式子涵蓋了牛頓的萬有引力定律。注意到 <math>\bf{g}</math> 的大小與質量 <math>m</math> 的[[加速度]] <math>\mathrm{d}^2\mathbf{R}/\mathrm{d}t^2</math> 相同，換言之，重力場強度的量值與[[重力加速度]]的量值相等<ref>{{cite book|title=Essential Principles of Physics |url=https://archive.org/details/essentialprincip0000patr |first1=P. M. |last1=Whelan |first2=M. J. |last2=Hodgeson |edition=2nd |date=1978 |publisher=John Murray |isbn=978-0-7195-3382-2}}</ref>。

由於重力是[[保守力|保守]]的，重力場也是[[保守向量場|保守]]的，從而它可以被寫成一個[[純量場]]的[[梯度]]<ref>{{cite book|title=Dynamics and Relativity |first1=J. R. |last1=Forshaw |first2=A. G. |last2=Smith |publisher=Wiley |date=2009 |isbn=978-0-470-01460-8}}</ref>：

:<math>\mathbf{g}= -\nabla\Phi </math>

此純量場 <math>\Phi</math> 稱作[[重力位]]。

若空間中存在多個帶質量的物體，那麼空間中任一點的重力場則是個別質量在該處建立的重力場的[[向量和]]<ref>{{cite book|title=Classical Mechanics |edition=2nd |first=T. W. B. |last=Kibble |series=European Physics Series |publisher=McGraw Hill |location=UK |date=1973 |isbn=978-0-07-084018-8}}</ref>：

:<math>\mathbf{g}_j^\text{(net)}
=\sum_{i\ne j}\mathbf{g}_i
=\frac{1}{m_j}\sum_{i\ne j}\mathbf{F}_i
= -G\sum_{i\ne j}m_i\frac{\mathbf{\hat R}_{ij}}{\left|\mathbf{R}_i-\mathbf{R}_j\right|^2}
=-\sum_{i \ne j}\nabla\Phi_i</math>

也就是說，質量 <math>m_j</math> 處的重力場是除了 <math>m_j</math> 本身以外所有其他質量 <math>m_i</math> 造成的重力場 <math>\mathbf{g}_i</math> 的向量和。式中 <math>\hat\mathbf{R}_{ij}</math> 是 <math>\mathbf{R}_i-\mathbf{R}_j</math> 方向的單位向量。

進一步對重力場 <math>\bf{g}</math> 取[[散度]]，我們可以得到

:<math>\nabla\cdot\mathbf{g}= -\nabla^2\Phi= -4\pi G\rho</math>

式中 <math>\rho</math> 是造成重力場的質量的密度。這條式子涵蓋了[[高斯重力定律|高斯的重力定律]]和[[帕松方程式|帕松的重力方程式]]，和牛頓的萬有引力定律等價，兩者透過[[散度定理]]連結起來。

以上的數條方程式即為測試質量 <math>m</math> 的[[運動方程式]]，也就是說，透過對這些方程式求解，我們可以完全確定並描述測試質量的運動狀態。

==廣義相對論中的重力場==
[[File:Flamm.svg|thumb|right|220px|引力场的不完全示意图]]
{{see also|廣義相對論|重力位#廣義相對論}}

在廣義相對論中，「重力場」和「重力位」的概念分別被「[[克里斯多福符號]]」和「[[度規張量]]」取代，其中度規張量 <math>g_{\mu\nu}</math> 必須滿足[[愛因斯坦方程式]]<ref>{{cite book|title=Gravitation |first1=J. A. |last1=Wheeler |first2=C. |last2=Misner |first3=K. S. |last3=Thorne |publisher=W. H. Freeman & Co |date=1973 |isbn=978-0-7167-0344-0}}</ref>：

:<math>G_{\mu\nu} +\Lambda g_{\mu\nu} = \kappa T_{\mu\nu}</math>

式中 <math>G_{\mu\nu} = R_{\mu\nu} - {1\over2} g_{\mu\nu}R</math> 是[[愛因斯坦張量]]，<math>\Lambda</math> 為[[宇宙常數]]，<math>\kappa = \frac{8\pi G}{c^2}</math> 是[[愛因斯坦重力場方程式|愛因斯坦的萬有引力常數]]，<math>T_{\mu\nu}</math> 是[[應力-能量張量]]。

重力場中的物體運動則由[[測地線]]方程式決定：

:<math>\frac{d^2x^\mu}{d\tau^2} +\Gamma^\mu_{\rho\sigma} \frac{dx^\rho}{d\tau} \frac{dx^\sigma}{d\tau} =0</math>

式中的 <math>\Gamma</math> 便是[[克里斯多福符號]]。

==參見==
{{portal box|物理學|天文學}}
{{div col|colwidth=20em}}
* [[古典力學]]
* [[重力]]
* [[重力位]]
* [[重力波 (相對論)]]
* [[萬有引力定律]]
* [[牛頓運動定律]]
* [[位能]]
* [[廣義相對論的實驗驗證]]
{{div col end}}

==註釋==
{{NoteFoot}}

==參考文獻==
{{reflist|2}}

{{引力理論}}
{{廣義相對論}}

[[Category:天体力学|Y]]
[[Category:廣義相對論|Y]]
[[Category:天体物理学|Yin3]]
[[Category:引力|Y]]

[[de:Gravitation#Gravitationsfeld]]