查看“︁开集”︁的源代码

{{NoteTA
|G1 = Math
}}
在[[數學]]上，特別是[[拓樸學]]中，'''開集'''是對[[實數]]開區間進行推廣之後得到的抽象[[集合 (数学)|集合]]。

通常[[微積分]]的課程中，會借助[[欧式空间|歐式空間]]的[[度量空间|距離]]去描述[[數列極限]]；直觀上，當 <math>n</math> 越來越大時數列 <math>x_n</math> 跟 <math>a</math> 要多靠近有多靠近的時候，就說 <math>a</math> 是數列 <math>x_n</math> 的極限，但這需要距離去嚴謹的描述「靠近程度」，開集就是來自於＂ <math>a</math> 點附近＂這樣的直觀概念。類似的，[[函數極限]]也需要距離的概念去嚴謹定義。

[[File:red_blue_circle.svg|thumb|满足<math>x^2+y^2=r^2</math>的点<math>(x, y)</math>着蓝色。满足<math>x^2+y^2<r^2</math>的点<math>(x, y)</math>着红色。红色的点形成了开集。红色和蓝色的点的并集是闭集。]]

== 定義 ==
直觀上，於「開集」或說「不含邊界的集合」中任取一點，都可以找到一個以此點為圓心，且半徑足夠小到落在「開集」裡的圓盤（但圓盤的邊界可能不在開集內）。開集的嚴謹定義由此而來。

=== 歐式空間 ===
所謂的<math>n</math>維歐式空間，指的是囊括所有[[实数]][[多元组|''n''-元組]]<math>(r_1,\,\dots,\,r_n)</math>的集合（記為<math>\R^n</math>）。 為了定義開集，可以推廣[[勾股定理]]，將 <math>\R^n</math> 中任兩點<math>x = (x_1,\,\dots,\,x_n)</math> 與 <math>y = (y_1,\,\dots,\,y_n)</math> 的[[欧几里得几何|歐式]]距離定義為：

: <math>d_n(x,\,y)=\sqrt{
    \sum^n_{i=1} {(x_i-y_i)}^2
}</math>

然後定義所謂的（<math>n</math>維）'''開球'''（open ball）：

: <math>B(a,\,r)
:=
\bigg\{
p \in \R ^n \,\bigg|\,
d_n(a,\,p) < r
\bigg\}</math>

也就是直觀上，一個以<math>a</math>為球心，<math>r</math>為半徑但'''不包含表面的球體'''。

這樣就可以作如下的定義：

{{Math theorem
| name = 定義
| math_statement = <br/>
若 <math>O \subseteq \R^n</math> ，且對所有 <math>p \in O</math>  ，存在一个 <math>r > 0</math> ，使<math>B(p,\,r) \subseteq O</math>，那麼就說子集<math>O</math>是 <math>\R^n</math>中的一個'''開集'''。
}}
也就是直觀上，取開集 <math>O</math> 的任意點 <math>x</math> 都有一個以 <math>x</math> 為球心的'''開球'''完全包含於 '''<math>O</math>''' 。

=== 賦距空间 ===
只要把上節的[[欧几里得几何|歐式]]距離改成一般的[[度量空间#定义|度量]]，開集的概念很容易推廣到[[度量空间|賦距空间]]<math>(M,d)</math>中。

以下把'''<math>(M,d)</math>''' 中的'''開球'''（open ball）定義成：

: <math>B(a,\,\delta)
:=
\bigg\{
p \in M \,\bigg|\,
d(a,\,p) < \delta
\bigg\}</math>

這樣就可以作如下的定義：
{{Math theorem
| name = 定義
| math_statement = <br/>
''<math>U</math>'' 是 <math>M</math> 的子集，且對所有 <math>p \in U</math>，存在 <math>\delta > 0</math> 使<math>B(a,\,\delta) \subseteq U</math> ，則稱 ''<math>U</math>'' 是 <math>M</math> 的一個'''開集'''。
}}

這的確推廣了歐式空間部分的定義，因為歐式距離 <math>d_n</math> 和<math>\R^n</math>本身就組成了一個賦距空間'''<math>(\R^n,d_n)</math>'''。

賦距空間的開集還會有以下的性質：

{{Math theorem
| math_statement = <br/>
若 <math>(M,d)</math> 為賦距空間，則

(1) ''<math>\varnothing</math>'' 和 <math>M</math> 也是 <math>M</math> 的開集。

(2) 若 ''<math>A</math>'' 和 ''<math>B</math>'' 都是 <math>M</math> 的開集，則 ''<math>A \cap B</math>'' 也是 <math>M</math> 的開集。 

(3) ''<math>\mathcal{F} \subseteq \mathcal{P}(M)</math>'' （ <math>\mathcal{F}</math> 是 <math>M</math> 的一個[[子集族]]），若所有 <math>O \in \mathcal{F}</math> 都是 <math>M</math> 的開集，則 <math>\bigcup \mathcal{F}</math>  也是 <math>M</math> 的開集。（也就是直觀上，任意數量開集的[[并集|聯集]]也是開集）
}}

{| class="mw-collapsible mw-collapsed wikitable"
!'''證明'''
|-
|(1) 對每個<math>p \in M</math>都有<math>B(p,\,1) \subseteq M</math>，所以<math>M</math>是自己的一個開集；另外對所有<math>p \in M</math>都有<math>p \notin \varnothing</math>（直觀上來說沒有點可以當開球的球心），所以邏輯上不用驗證是否有開球包含於<math>\varnothing</math>，就可以得到<math>\varnothing</math>滿足開集的定義 （直觀上來說，前提為假的話，不論結論是否為真，「前提=>結論」都是對的）。<math>\Box</math>


(2) 若<math>p \in A\cap B</math>，依據假設存在<math>\delta_A,\,\delta_B > 0</math> 使得 <math>B(p,\,\delta_A) \subseteq A</math> 且 <math>B(p,\,\delta_B) \subseteq B</math>，這樣取 <math>\delta = \min\{\delta_A,\,\delta_B\}</math>的話，就有<math>B(p,\,\delta) \subseteq A \cap B</math>，是故<math>A\cap B</math>也是<math>M</math> 的開集。<math>\Box</math>


(3) 若<math>p \in \bigcup \mathcal{F}</math>，依照[[并集|聯集]]的性質，存在 <math>O \in \mathcal{F}</math> 使得 <math>p \in O</math> ；但根據假設， <math>O \in \mathcal{F}</math> 都是 <math>M</math> 的開集，換句話說，存在 <math>\delta > 0</math> 使<math>B(p,\,\delta) \subseteq O</math> ，那因為 <math>O \subseteq \bigcup \mathcal{F}</math>，所以有 <math>B(p,\,\delta) \subseteq \bigcup \mathcal{F}</math>，是故 <math>\bigcup \mathcal{F}</math>  也是 <math>M</math> 的開集。<math>\Box</math>
|}
'''事實上這些性質這就是[[拓扑空间]]定義的動機。'''
=== 拓撲空間 ===
開集是[[拓扑空间]]定義的基石；也就是從任意母集合 <math>X</math> 出發，再選取 ''<math>X</math>'' 的特定的[[子集族]] <math>\tau</math> ，規定 '''<math>\tau</math>''' 中的集合'''就是開集'''，这樣的子集族 '''<math>\tau</math>''' 被叫做 ''<math>X</math>'' 上的'''拓扑'''：

{{Math theorem
| name = 定義
| math_statement = <br/>
''<math>X</math>'' 為集合，若 <math>\tau \subseteq \mathcal{P}(X)</math> 滿足

(1) ''<math>\varnothing,\, X \in \tau</math>''

(2) 若 ''<math>A, B \in \tau</math>'' 則 ''<math>A \cap B \in \tau</math>''。

(3) ''<math>\mathcal{F} \subseteq \tau</math>'' ，則 <math>\bigcup_{F\in\mathcal{F}} F \in \tau</math>  。（也就是說，任意數量開集的[[聯集]]也是開集）

則稱 '''<math>\tau</math>''' 為 ''<math>X</math>'' 上的'''拓撲'''，並稱 ''<math>(X,\,\tau)</math>'' 為一'''拓撲空間'''。任何 ''<math>O \in \tau</math>'' 被稱為'''開集'''。 
}}

根據上一節賦距空間的性質，取 '''<math>\tau_d</math>''' 為所有 <math>M</math> 的開集所構成的子集族，則 ''<math>(M,\,\tau_d)</math>'' 也是一拓撲空間。

== 例子 ==
* [[度量空间]]<math>(X,d)</math>中，以点<math>x\in X</math>为中心，<math>\varepsilon</math>为半径的球体<math>B(x,\varepsilon)</math>为开集，任意的开集<math>A</math>包含以<math>x\in A</math>为中心，充分小的<math>\varepsilon</math>为半径的球体<math>B(x,\varepsilon)</math>。
* [[流形]]中的开集为[[子流形]]。

== 用处 ==
开集在[[拓扑学]]分支中有著基础的重要性。當定义[[拓扑空间]]和其他拓扑结构（处理[[邻近性]]与[[收敛]]此類概念，比如[[度量空间]]和[[一致空间]]）時，都會用到开集的概念。

拓扑空间<math>X</math>的每個[[子集]]<math>A</math>都包含至少一个（可能为空）开集；最大的这种开集被叫做<math>A</math>的[[内部]]。它可以通过取包含在<math>A</math>中的所有开集的并集来构造。

给定拓扑空间<math>X</math>和<math>Y</math>以及[[函数]]<math>f:X \rightarrow Y</math>，如果在<math>Y</math>中的所有开集的[[前像]]是在<math>X</math>中的开集，則<math>f</math>是[[连续函数 (拓扑学)|连续]]的，這是實函數上的[[连续函数|連續定義]]的推廣，<math>X=Y=\R</math>時這與實函數的連續定義等價。如果在<math>X</math>中的所有开集的[[像]]是<math>Y</math>中的开集，映射<math>f</math>被叫做[[开映射]]。

[[实直线]]上的开集都是可数個不相交开区间的并集。

== 相关条目 ==
* [[拓扑空间]]
* [[度量空间]]
* [[闭集]]
* [[闭开集]]
==注释==
{{ReflistH}}
{{NoteFoot}}
{{ReflistF}}

{{点集拓扑}}
[[Category:点集拓扑学|K]]