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{{TA|G1=Math}}
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'''开普勒三角形'''是特殊的[[直角三角形]]，它的三边之比等于<math>1:\sqrt\phi:\phi</math>，其中<math>\phi</math>是[[黄金比]]，<math>\phi=\frac{\sqrt5+1}{2}</math>.[[德国]][[数学家]]及[[天文学家]][[开普勒]]最早提出三边满足此比例的三角形。这种三角形将黄金比的性质与[[勾股定理]]巧妙地结合在了一起.

[[Image:Kepler triangle.svg|right|thumb|开普勒三角形]]

==与代数的关系==
给定两个正实数a、b，若他们的[[算术平均数]]、[[几何平均数]]、[[调和平均数]]能够构成一个直角三角形，那么这个直角三角形一定是开普勒三角形。
==作开普勒三角形==
开普勒三角形可通过[[尺规作图]]法作出。方法是先作出[[黄金矩形]]。
[[Image:Kepler Triangle Construction.svg|thumb|通过黄金矩形，用尺规作图作开普勒三角]]
#用尺规作图法作一个正方形
#作出其中一边的中点
#连接这一中点与与之相对的正方形的[[頂點 (幾何)|顶点]]
#以这一中点为圆心，已作出的线段的长为半径作弧。并作出长方形的长边。
#补全作出的黄金矩形
#以黄金矩形的一个[[頂點 (幾何)|顶点]]为圆心，一条长边的长为半径作弧交另一长边于一点，连接该点与顶点，即作出了开普勒三角形。

==數學巧合==
[[File:Kepler triangle squaring the circle.svg|thumb|160px|alt=正方形和圓的圖|正方形和圓的周長近似相等]]

若繪製一個三邊為<math>a, a \sqrt{\varphi}, a \varphi,</math>的开普勒三角形，並且考慮
* 其外接圓
* 邊長等於<math>a \sqrt{\varphi}</math>（三角形中數值介於中間的邊長）的正方形
則正方形的[[周長]]（<math>4a \sqrt{\varphi}</math>）和圓的周長（<math>a \pi \varphi</math>）相當接近，誤差小於0.1%。

這是因為<math>\pi \approx 4/\sqrt\varphi</math>的[[數學巧合]]，上述的圓和正方形其周長不可能相同，若是相同，就可以求解[[化圓為方]]的不可能問題了。換句話說<math>\pi \neq 4/\sqrt\varphi</math>，因為<math>\pi</math>是[[超越數]]。

一些資料指出，[[埃及金字塔]]設計時有用到开普勒三角<ref name="Squaring the circle, Paul Calter">{{Cite web |url=http://www.dartmouth.edu/~matc/math5.geometry/unit2/unit2.html |title=Squaring the circle, Paul Calter |access-date=2016-12-28 |archive-date=2011-09-02 |archive-url=https://web.archive.org/web/20110902032809/http://www.dartmouth.edu/~matc/math5.geometry/unit2/unit2.html |dead-url=yes }}</ref><ref>[https://web.archive.org/web/20140102194148/http://www.petrospec-technologies.com/Herkommer/pyramid/pyramid.htm The Great Pyramid, The Great Discovery, and The Great Coincidence], Mark Herkommer, June 24, 2008 (Web archive)</ref>。不過古埃及人可能不知道有關<math>\pi</math>和黃金比例<math>\varphi</math>之間的數學巧合<ref>{{Cite journal
 | last = Markowsky
 | first = George
 | date = January 1992
 | title = Misconceptions about the Golden Ratio
 | journal = College Mathematics Journal
 | volume = 23
 | issue = 1
 | doi = 10.2307/2686193
 | url = http://www.umcs.maine.edu/~markov/GoldenRatio.pdf
 | format = PDF
 | accessdate = 
 | jstor = 2686193
 | publisher = Mathematical Association of America
 | pages = 2–19
 | quote = It does not appear that the Egyptians even knew of the existence of &phi; much less incorporated it in their buildings
 | archive-date = 2020-12-11
 | archive-url = https://web.archive.org/web/20201211062911/http://aturing.umcs.maine.edu/~markov/GoldenRatio.pdf
 | dead-url = no
 }}</ref>。

==參考資料==
{{reflist}}

==参见==
*[[黄金菱形]]
*[[黄金三角形]]

{{貴金屬比例}}
{{約翰尼斯·克卜勒}}
[[Category:黃金比例|KT]]
[[Category:初等几何|KT]]
[[Category:三角形|KT]]
[[Category:约翰内斯·开普勒]]