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{{noteTA
|G1=物理學
}}

[[拉格朗日力學]]時常涉及'''廣義速度'''。假設一個物理系統的[[廣義坐標]]是<math>(q_1,\ q_2,\ q_3,\ \dots,\ q_N)\,\!</math>，表示廣義速度為<math>(\dot{q}_1,\ \dot{q}_2,\ \dot{q}_3,\ \dots,\ \dot{q}_N)\,\!</math>。廣義速度定義為廣義坐標對於時間<math>t\,\!</math>的導數：
:<math>\dot q_i={dq_i \over dt}\,\!</math>。

==與動能的關係==
在三維空間裏，一個質量為<math>m\,\!</math>、速度為<math>\mathbf{v}\,\!</math>的粒子的[[動能]]是
:<math>T =\frac{1}{2}m v^2 \,\!</math>。

速度是位置<math>\mathbf{r}\,\!</math>對於時間<math>t\,\!</math>的導數。應用[[複合函數求導法則|偏微分-{zh-tw:連鎖律; zh-hans:链式法则}-]]，可以得到
:<math>\mathbf{v}=\frac{d\mathbf{r}}{dt}=\sum_i\ \frac{\partial \mathbf{r}}{\partial q_i}\dot{q}_i+\frac{\partial \mathbf{r}}{\partial t}\,\!</math>；

其中，<math>q_i\,\!</math>是第<math>i\,\!</math>個廣義坐標，<math>\dot{q}_i\,\!</math>是對應的廣義速度。

所以，
:<math>T =\frac{1}{2}m\left(\sum_i\ \frac{\partial \mathbf{r}}{\partial q_i}\dot{q}_i+\frac{\partial \mathbf{r}}{\partial t}\right)^2\,\!</math>。

將方程式展開<ref name="Herb1980">{{cite book |last=Goldstein|first=Herbert|title=Classical Mechanics|year=1980| location=United States of America | publisher=Addison Wesley| edition= 3rd| isbn=0201657023 | language=en| pages=pp. 25}}</ref>，動能可以分為三個項目表示：
:<math>T =T_0+T_1+T_2\,\!</math>；

其中，
:<math>T_0=\frac{1}{2}m\left(\frac{\partial \mathbf{r}}{\partial t}\right)^2\,\!</math>，
:<math>T_1=\sum_i\ m\frac{\partial \mathbf{r}}{\partial t}\cdot \frac{\partial \mathbf{r}}{\partial q_i}\dot{q}_i\,\!</math>，
:<math>T_2=\sum_{i,j}\ \frac{1}{2}m\frac{\partial \mathbf{r}}{\partial q_i}\cdot \frac{\partial \mathbf{r}}{\partial q_j}\dot{q}_i\dot{q}_j,\!</math>。

<math>T_0\,\!</math>、<math>T_1\,\!</math>、<math>T_2\,\!</math>分別為廣義速度<math>\dot{q}_i\,\!</math>的0次、1次、2次[[齊次函數]]。如果這系統是[[定常系統]]，位置不顯性地含時間，<math>\frac{\partial \mathbf{r}}{\partial t}=0\,\!</math>，則只有<math>T_2\,\!</math>不等於零。所以，<math>T =T_2\,\!</math>，動能是廣義速度的2次齊次函數。

==參閱==
*[[拉格朗日力學]]
*[[哈密頓力學]]
*[[虛功 (物理)|虛功]]
*[[廣義力]]

==參考文獻==
<references/>

[[Category:經典力學|G]]
[[Category:拉格朗日力學|G]]
[[Category:速度|G]]