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{{noteTA
|G1=物理學
}}
{{refimprove|time=2015-04-30}}
'''[[廣義相對論]]中的質量'''此一概念較之於[[狹義相對論中的質量]]更為複雜。事實上廣義相對論並沒有對「質量」這一詞彙提供單一的定義，而是提供了許多不同的定義，適用於不同的場合。在一些場合下，廣義相對論中一系統之質量甚至可能是無法定義的。

== 狹義相對論中的質量 ==
{{main|狹義相對論中的質量}}

在[[狹義相對論]]中，一[[孤立系統]]之[[不變質量]]（此後單純稱為「質量」）可以用此系統的[[能量]]與[[動量]]來定義：
:<math>m = \frac{\sqrt{E^2 - \left(p c\right)^2}}{c^2} </math>

其中''E'' 是系統總能量，''p''是系統總動量，而''c'' 是[[光速]]。簡明地說，狹義相對論中一系統的質量為能量-動量[[四維矢量]]的[[範數]](norm)。

== 沿用狹義相對論定義的障礙 ==

欲將[[狹義相對論中的質量|狹義相對論中的質量定義]]推廣到廣義相對論，會遇到兩個主要難關。第一個難關在於如何找出一系統之總能量與總動量，情況並不明確。在[[平直時空]]只需做[[積分]]，將系統各部份之能量-動量[[四維矢量]]加總在一起，即可找出整個系統的總能量-動量四維矢量。 

但不幸地，如此簡單的程序並無法直接推廣到廣義相對論，以各處的四維矢量存在於不同的[[切空間]]，而無法協變式地相加在一起。

第二個難關在於：為了要在廣義相對論中定義質量，必需維持能量是一個[[守恆量]]，而已詮釋為時空[[曲率]]的「[[重力場]]」仍帶有能量，需考慮進去。

但不幸地，廣義相對論中的能量守恆遠不比其他物理學理論中直接。在其他古典理論中，例如[[牛頓重力]]、[[電磁學]]、[[流體力學]](hydrodynamics)，是可以派定一明確的[[能量密度]]值。舉例來說，[[電場]]''E''的能量密度是為<math>{1\over 2}\epsilon_0 E^2 </math>。

在廣義相對論則不然。事實顯示：一般來說，不可能將「重力能量」派定到一個明確位置上。<ref>米斯納(Misner)等人所著，李淑嫻等人所譯之《-{引力論}-》(''Gravitation'')（1973年）第20章第4段）</ref>

欲解決廣義相對論中能量守恆問題的近代手法是完全避免用到「重力場」這一概念，並將能量守恆視為時間平移對稱性(time translation symmetry)的結果。[[諾特定理]](Noether's theorem)當初發展的目的就是特別針對此一問題，每當有時間平移對稱性存在時，則定義了一守恆能量。

然而並非所有系統都有此一要求的時間平移對稱性。對於不具有時間平移對稱性的系統，在廣義相對論中則沒有對於能量的普適定義。

== 廣義相對論中的質量的數個類型 ==
===靜態時空中的柯瑪質量(Komar mass)===
{{main |柯瑪質量}}

靜態時空的非技術性定義可說為：一時空之[[度規]]<math>g_{\mu\nu}\,</math>無一係數是時間函數。[[黑洞]]的[[史瓦西度規]]及[[轉動黑洞]]的[[克爾度規]]是靜態時空的常見例子。

照定義，一[[靜態時空]]具有時間平移對稱性。技術名詞上，則存在有[[類時]]的[[戚靈向量]](Killing vector)。因為此系統有時間平移對稱性，諾特定理保證期會有一守恆能量。又因為一[[靜態系統]]也有一良好定義的靜止系，在其中動量會考慮為零值，則定義系統能量也同時定義其質量。在廣義相對論中，這樣的質量稱作是系統的[[柯瑪質量]](Komar mass)。柯瑪質量僅能對靜態系統做定義。

柯瑪質量也可透過一通量積分(flux integral)來定義。這樣的方式類似於[[高斯定律]]定義一被一個表面包圍住的電荷是正向電力與面積的乘積。不過，用以定義柯瑪質量的通量積分與用以定義電場的通量積分略有差異——正向力(normal force)並非真實的力，而是在「無限遠處的力」。細節請參見[[柯瑪質量]]條目。

上述兩種定義，將柯瑪質量描述為時間平移對稱性者提供了最深層的見解。

===在漸進平直時空中的ADM質量與邦迪(Bondi)質量===

== 相關條目 ==
* [[質量]]
* [[狹義相對論中的質量]]
* [[廣義相對論]]
* [[能量守恆定律]]
* [[柯瑪質量]]
* [[ADM質量]]
* [[邦迪質量]]
==参考资料==
{{reflist}}

== 外部連結 ==
* {{en}}[https://web.archive.org/web/20070605041426/http://math.ucr.edu/home/baez/physics/Relativity/GR/energy_gr.html "Is energy conserved in General Relativity?（「廣義相對論中能量是否守恆？」）]
{{廣義相對論}}
[[Category:廣義相對論|G]]
[[Category:質量|G]]