查看“︁廣義座標”︁的源代码

{{noteTA
|G1=物理學
|G2=Math
}}
'''廣義座標'''是不特定的座標。假若用一組廣義座標來導引方程式，所得到的答案，可以應用於較廣泛的問題；並且，當最後終於設定這座標時，答案仍舊是正確的<ref name="Torby1984">{{cite book |last=Torby |first=Bruce |title=Advanced Dynamics for Engineers |url=https://archive.org/details/advanceddynamics0000torb |series=HRW Series in Mechanical Engineering |year=1984 |publisher=CBS College Publishing |location=United States of America |language=en |isbn=0-03-063366-4 |pages=pp. 259}}</ref>。[[拉格朗日力學]]，[[哈密頓力學]]都需要用到廣義座標來表示基要概念與方程式。

== 獨立的廣義座標 ==
當分析有的問題時（尤其是当有许多[[約束 (經典力學)|约束]]条件的时候），最好盡量選擇獨立的廣義座標。因為，這樣可以減少代表約束的變數。但是，當遇到[[非完整系統|非完整約束]]時，或者當計算約束力時，就必須使用關於這約束力的，相依的廣義座標。

在三維空間裏，假設一個物理系統擁有<math>n\,\!</math>顆粒子；那麼，這系統的[[自由度 (物理学)|自由度]]是<math>3n\,\!</math>。再假設這系統有<math>h\,\!</math>個[[完整系統|完整約束]]；那麼，這系統的自由度變為<math>m=3n - h\,\!</math>。必須用<math>m\,\!</math>個獨立廣義座標<math>(q_1,\ q_2,\ \dots,\ q_m)\,\!</math>與時間<math>t\,\!</math>來完全描述這系統的運動。座標的轉換方程式可以表示如下：
:<math>\mathbf{r}_i=\mathbf{r}_i(q_1,\ q_2,\ \dots,\ q_m,\ t)\ ,\qquad\qquad\qquad(i=1,\ 2,\ \dots n\,\!)</math>。

在處理複雜的系統時，這轉換方程式具有足夠的靈活性來選擇最合適的座標。在思考[[虛位移]]與[[廣義力]]時，這轉換方程式也可以用來建造微分。

== 實例 ==
[[File:Double-Pendulum.svg|thumb|right|雙擺]]
一個[[擺|複擺]]，被約束地移動於一垂直平面，可以用四個[[直角坐標系|直角座標]]<math>\lbrace x_1,\ y_1,\ x_2,\ y_2\rbrace\,\!</math>來描述。但是，這系統的自由度是2；可以用兩個廣義座標來更精簡地描述這雙擺運動：
:<math>\lbrace q_1,\ q_2 \rbrace = \lbrace\theta_1,\ \theta_2 \rbrace\,\!</math>；
這裏，
:<math>\lbrace x_1,\ y_1 \rbrace = \lbrace l_1\sin\theta_1,\ l_1\cos\theta_1 \rbrace\,\!</math>，
:<math>\lbrace x_2,\ y_2 \rbrace = \lbrace l_1\sin\theta_1+l_2\sin\theta_2,\    l_1\cos\theta_1+l_2\cos\theta_2 \rbrace\,\!</math>。

一粒珠子，被約束地移動在一條穿過它的鐵絲上，自由度是1。它的運動可以用一個廣義座標來描述
:<math>q_1= s\,\!</math>；
這裏，<math>s\,\!</math>是珠子離鐵絲上一個參考點的徑長。這三維空間運動已被減縮為一維空間運動了。

一個物體，被約束在一個表面上，自由度是2；雖然它的運動也是嵌在三維空間裏。如果這表面是球表面，一個很好的選擇是
:<math>\lbrace q_1,\ q_2 \rbrace = \lbrace \theta,\ \phi \rbrace \,\!</math>；
這裏，<math>\theta\,\!</math>與<math>\phi\,\!</math>是[[球坐標系]]的角座標。因為<math>r\,\!</math>座標是常數，可以被忽略掉。

== 參閱 ==
* [[拉格朗日力學]]
* [[哈密頓力學]]
* [[虛功 (物理)|虛功]]
* [[廣義力]]
* [[廣義速度]]

== 參考文獻 ==
<references/>
[[Category:力學|G]]
[[Category:經典力學|G]]
[[Category:拉格朗日力學|G]]
[[Category:坐标系|G]]