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[[File:Cantor-like Column Capital Ile de Philae Description d'Egypte 1809.jpg|thumb|一种像康托尔集图案的柱头。{{citation | title= Description d'Egypte | first1= Jean-Baptiste Prosper | last1= Jollois | first2= Edouard | last2= Devilliers | publisher= Imprimerie Imperiale |location= Paris |year= 1809-1828}} 菲莱岛雕塑]]
在数学中，'''康托尔集'''（{{lang|en|Cantor set}}）由[[德国]]数学家[[格奥尔格·康托尔]]在1883年引入<ref>Georg Cantor (1883) "Über unendliche, lineare Punktmannigfaltigkeiten V" [On infinite, linear point-manifolds (sets)]，''Mathematische Annalen'', vol. 21, pages 545–591.</ref><ref>H.-O. Peitgen, H. Jürgens, and D. Saupe, ''Chaos and Fractals: New Frontiers of Science 2nd ed.'' (N.Y., N.Y.: Springer Verlag, 2004), page 65.</ref>（但由{{link-en|亨利·约翰·斯蒂芬·史密斯|Henry John Stephen Smith}}在1875年发现<ref>Henry J.S. Smith (1875) “On the integration of discontinuous functions.” ''Proceedings of the London Mathematical Society'', Series 1, vol. 6, pages 140–153.</ref><ref>“康托尔集”还由Paul du Bois-Reymond发现（1831–1889）。参见：Paul du Bois-Reymond (1880) “Der Beweis des Fundamentalsatzes der Integralrechnung，” ''Mathematische Annalen'', vol. 16, pages 115–128的第128页的脚注。“康托尔集”还由Vito Volterra在1881年发现（1860–1940）。参见：Vito Volterra (1881) “Alcune osservazioni sulle funzioni punteggiate discontinue” [Some observations on point-wise discontinuous functions]，''Giornale di Matematiche'', vol. 19, pages 76–86.</ref><ref>José Ferreirós, ''Labyrinth of Thought: A History of Set Theory and Its Role in Modern Mathematics'' (Basel, Switzerland: Birkhäuser Verlag, 1999), pages 162–165.</ref><ref>Ian Stewart, ''Does God Play Dice?: The New Mathematics of Chaos''</ref>），是位于一条[[线段]]上的一些点的[[集合 (数学)|集合]]，具有许多显著和深刻的性质。通过考虑这个集合，康托尔和其他数学家奠定了现代[[点集拓扑学]]的基础。虽然康托尔自己用一种一般、抽象的方法定义了这个集合，但是最常见的构造是'''康托尔三分点集'''，由去掉一条线段的中间三分之一得出。康托尔自己只附带介绍了三分点集的构造，作为一个更加一般的想法——一个[[无处稠密]]的[[完备集]]的例子。

== 康托尔集的构造 ==
康托尔集是由不断去掉线段的中间三分之一的开集而得出。首先从[[区间]]<math>\left[0,1\right]</math>中去掉中间的三分之一<math>\left(\frac{1}{3},\frac{2}{3}\right)</math>，留下两条线段：<math>\left[0,\frac{1}{3}\right] \cup \left[\frac{2}{3},1\right]</math>。然后，把这两条线段的中间三分之一都去掉，留下四条线段：<math>\left[0,\frac{1}{9}\right] \cup \left[\frac{2}{9},\frac{1}{3}\right] \cup \left[\frac{2}{3},\frac{7}{9}\right] \cup \left[\frac{8}{9},1\right]</math>。康托尔集就是由所有过程中没有被去掉的区间<math>[0,1]</math>中的点组成。这个过程可以由递归的方法描述，首先令：

<math>C_0:=[0, 1]</math>

则第<math>n</math>步递归得到的结果：

<math>C_n := \frac{C_{n-1}}{3}\cup\left(\frac{2}{3}+\frac{C_{n-1}}{3}\right)=\frac{1}{3}\left(C_{n-1 }\cup(2+C_{n-1})\right)</math>, 对于<math>n\ge1</math>

所以：

<math>\mathcal{C} :=</math> <math>\lim_{n\to\infty}C_n</math> <math>= \bigcap_{n=0}^\infty C_n = \bigcap_{n=m}^\infty C_n </math>, 对于 <math>m \ge 0</math>.

下面的图显示了这个过程的最初六个步骤。

[[File:Cantor set in seven iterations.svg|729px]]

有些学术论文详细描述了康托尔集的明确公式。<ref>Mohsen Soltanifar, ''On A sequence of cantor Fractals'', Rose Hulman Undergraduate Mathematics Journal, Vol 7, No 1, paper 9, 2006.</ref><ref>Mohsen Soltanifar, ''A Different Description of A Family of Middle-a Cantor Sets'', American Journal of Undergraduate Research, Vol 5, No 2, pp 9–12, 2006.</ref>

== 参见 ==

* [[康托尔函数]]
* {{tsl|en|Cantor cube|康托尔立方体}}
* [[谢尔宾斯基地毯]]
* [[科赫雪花]]
* [[门格海绵]]
* [[以豪斯多夫维度排序的分形列表]]

==註釋==
{{reflist}}
==參考文獻==
{{refbegin}}
* {{Citation | last1=Steen | first1=Lynn Arthur | author1-link=Lynn Arthur Steen | last2=Seebach | first2=J. Arthur Jr. | author2-link=J. Arthur Seebach, Jr. | title=[[Counterexamples in Topology]] | origyear=1978 | publisher=[[Springer-Verlag]] | location=Berlin, New York | edition=[[Dover Publications|Dover]] reprint of 1978 | isbn=978-0-486-68735-3 | id={{MathSciNet|id=507446}} | year=1995}} ''(See example 29)''.
* Gary L. Wise and Eric B. Hall, ''Counterexamples in Probability and Real Analysis''. Oxford University Press, New York 1993. ISBN 0-19-507068-2. ''(See chapter 1)''.
* [[cut-the-knot]]上的[http://www.cut-the-knot.org/do_you_know/Cantor2.shtml 康托尔集] {{Wayback|url=http://www.cut-the-knot.org/do_you_know/Cantor2.shtml |date=20220509222102 }}
* [[cut-the-knot]]上的[http://www.cut-the-knot.org/do_you_know/cantor.shtml 康托尔集与函数] {{Wayback|url=http://www.cut-the-knot.org/do_you_know/cantor.shtml |date=20220103010641 }}
{{refend}}

==外部連結==
* [http://www.cut-the-knot.org/do_you_know/Cantor2.shtml Cantor Sets] {{Wayback|url=http://www.cut-the-knot.org/do_you_know/Cantor2.shtml |date=20220509222102 }} and [http://www.cut-the-knot.org/do_you_know/cantor.shtml Cantor Set and Function] {{Wayback|url=http://www.cut-the-knot.org/do_you_know/cantor.shtml |date=20220103010641 }} at [[cut-the-knot]]

{{分形}}
{{實數}}
{{点集拓扑}}

[[Category:测度论]]
[[Category:拓扑空间]]
[[Category:分形]]