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在[[数学]]中，以[[格奥尔格·康托尔]]命名的'''康托尔空间'''是对经典[[康托尔集]]的[[拓扑学]]抽象：即与康托尔集[[同胚]]的[[拓扑空间]]。在[[集合论]]中，拓扑空间2<sup>ω</sup>也就是康托尔空间。

== 例子 ==
[[康托尔集]]自身就组成康托尔空间不过，康托尔空间的一般标准例子是[[可数无限]]多个离散两点空间{0,&thinsp;1}的[[积空间|积]]，一般写作<math>2^\mathbb{N}</math>或2<sup>ω</sup>（其中2表示[[离散拓扑]]中的2-元素[[集合 (数学)|集合]]{0,1}）。2<sup>ω</sup>中的一个点是一个由0和1组成的无穷二进制序列，给定这样一个序列''a''<sub>0</sub>，''a''<sub>1</sub>，''a''<sub>2</sub>……，可以将其映射为[[实数]]
:<math>\sum_{n=0}^\infty \frac{2 a_n}{3^{n+1}}</math>
这个映射指出了从2<sup>ω</sup>到康托尔集的同胚，表明2<sup>ω</sup>是一个康托尔空间。

康托尔空间常见于[[实分析]]。例如，它们作为[[子空间拓扑|子空间]]存在于每个[[完美集合|完美]][[完备空间]]（要了解这一点，请注意在这样的空间中，任何非空完美集都包含两个直径任意小的[[不交集|不交]]非空完美子集，因此我们可以模仿通常的[[康托尔集]]的构造。）。另外，每个[[可分空间|可分]][[不可数集|不可数]][[完全可度量空间]]都有康托尔空间作为其子空间。这包括实分析中的大多数常见空间。

== 特征 ==
[[勒伊岑·布劳威尔|布劳威尔]]定理给出了康托尔空间的拓扑特征：<ref>{{citation|first=L. E. J.|last=Brouwer|authorlink=L. E. J. Brouwer|title=On the structure of perfect sets of points|journal=Proc. Koninklijke Akademie van Wetenschappen|volume=12|year=1910|pages=785–794|url=http://www.dwc.knaw.nl/DL/publications/PU00013496.pdf|accessdate=2023-08-28|archive-date=2023-04-10|archive-url=https://web.archive.org/web/20230410095855/https://dwc.knaw.nl/DL/publications/PU00013496.pdf|dead-url=no}}.</ref>
{{block indent|任意两个无[[孤点]]、非空的[[紧空间|紧]][[豪斯多夫空间]]（有可数[[基 (拓扑学)|基]]，包含[[闭开集]]）都是互相同胚的。}}
具有由闭开集构成的基的拓扑空间，也称为“[[零维空间]]”。布劳威尔定理可以重述为
{{block indent|拓扑空间是康托尔空间，[[当且仅当]]其非空、是[[完美集合|完美集]]、是紧空间、是[[完全不连通空间]]、是[[乌雷松度量化定理|可度量]]的。}}
该定理还通过[[Stone布尔代数表示定理]]等价于：任意两个可数无原子布尔代数都[[同构]]。

== 性质 ==
正如布劳威尔定理指出的那样，康托尔空间可以以多种形式出现。但是，康托尔空间的许多性质都可以用2<sup>ω</sup>确定，因为康托尔空间可以构造为它们的积。

康托尔空间有以下性质：
* 任何康托尔空间的[[势 (数学)|势]]是<math>2^{\aleph_0}</math>，也就是[[连续统的势]]。
* 两个（直至任何有限个或可数个）康托尔空间的积仍然是康托尔空间。这一事实与[[康托尔函数]]一同，可以构造[[空间填充曲线]]。
* 当且仅当一个（非空）豪斯多夫拓扑空间是一个康托尔空间的[[连续函数 (拓扑学)|连续]][[像 (数学)|像]]时，它是紧可度量空间。<ref>N.L. Carothers, ''A Short Course on Banach Space Theory'', London Mathematical Society Student Texts '''64''', (2005) Cambridge University Press. ''See Chapter 12''</ref><ref>Willard, ''op.cit.'', ''See section 30.7''</ref><ref>{{Cite web|url=https://imgur.com/a/UDgthQm|title=Pugh "Real Mathematical Analysis" Page 108-112 Cantor Surjection Theorem|access-date=2023-08-28|archive-date=2023-11-19|archive-url=https://web.archive.org/web/20231119021840/https://imgur.com/a/UDgthQm|dead-url=no}}</ref>

令''C''(''X'')表示拓扑空间''X''上所有实值[[有界函数|有界]]连续[[函数]]的空间；令''K''表示紧可度量空间，令Δ表示康托尔集。那么康托尔集具有以下性质：
* ''C''(''K'')与''C''(Δ)的一个[[闭集|闭]]子空间[[等距同构]]。<ref>Carothers, ''op.cit.''</ref>
一般来说，这种同构性不唯一，因此并不是[[范畴论]]意义上的[[泛性质]]。

*康托尔空间的所有同胚[[群 (数学)|群]]都是[[单群]]。<ref>R.D. Anderson, ''The Algebraic Simplicity of Certain Groups of Homeomorphisms'', [[American Journal of Mathematics]] '''80''' (1958), pp. 955-963.</ref>

== 另见 ==
* [[空间 (数学)]]
* [[康托尔集]]
* [[康托尔立方体]]

== 参考文献 ==
<references/>
*{{cite book | author=Kechris, A. |authorlink = Alexander Kechris| title= Classical Descriptive Set Theory | url=https://archive.org/details/classicaldescrip0000kech | url-access=registration | publisher=Springer | year=1995 | isbn = 0-387-94374-9| edition=[[Graduate Texts in Mathematics]] 156}}

[[Category:拓扑空间]]
[[Category:描述集合论]]