查看“︁庫默爾定理”︁的源代码

在[[數學]]裡，'''庫默爾定理'''能計算给出的[[二項式係數|二项式的系數]]的{{tsl|en|P-adic valuation||p-adic賦值}}，即<math>\binom nm</math>含p的幂次。 本定理以[[恩斯特·库默尔|恩斯特·庫默爾]]命名。

== 定理 ==
庫默爾定理指出，給定[[整数]]&nbsp;<math>n\geq m\geq 0</math>和一个質數&nbsp;<math>p</math>, ''p-adic賦值''&nbsp;<math>\nu_p\left( \tbinom n m \right)</math> 等於以&nbsp;''<math>p</math>&nbsp;''為[[底数 (对数)|基底]]時<math>m</math>加 <math>n-m</math>的[[进位|進位]]次數。

==例子==
要计算 <math>\nu_2\left(\tbinom{10}{3}\right)</math>，写出 <math>m=3</math> 和 <math>n-m=7</math> 的二进制表示 <math>3=11_2</math> 和 <math>7=111_2</math>。进行二进制加法 <math>11_2+111_2=1010_2</math> 需要进位三次。 故 <math>\tbinom{10}{3} = 120 = 2^3 \cdot 15 </math> 中 2 的次数是 3。



求具有下述性质的所有整数<math>k</math>：存在无穷多个正整数<math>n</math>，使得<math>n+k</math>不整除 <math>\binom{2n}n</math>。<ref>{{cite journal |author1=刘培杰 |coauthors=张佳 |title=库默尔定理——从一道IMO预选题谈起 |journal=d.wanfangdata.com.cn |doi=10.3969/j.issn.1005-6416.2017.09.004 |url=http://www.cnki.com.cn/Article/CJFDTotal-ZDSX201709004.htm |access-date=2022-03-08 |archive-date=2022-06-12 |archive-url=https://web.archive.org/web/20220612015203/http://www.cnki.com.cn/Article/CJFDTotal-ZDSX201709004.htm }}</ref>

解 ∵ <math>\binom{2n}{n-1}=\frac{2n(2n-1)\cdots(n+2)}{(n-1)!}=\frac{n}{n+1}\binom{2n}n</math>,

∴ <math>\frac1{n+1}\binom{2n}n=\binom{2n}n-\binom{2n}{n-1}</math> 是整数，

∴ <math>n+1\left|\binom{2n}n\right.</math> 对任意正整数<math>n</math>成立，从而 1 不满足要求.

当<math>k\leq 0</math>时，取<math>n=p-k</math>（<math>p</math>为奇素数，<math>p>-2k</math>），满足要求.

当<math>k\geq 2</math>时，取<math>k</math>的一个素因子<math>p</math>，选取正整数<math>m</math>使得 <math>p^m>k</math>，令 <math>n=p^m-k</math>，我们证明：
<math>n+k</math> 不整除 <math>\binom{2n}n</math>.

<math>2n=n+n</math> 最多进位<math>m-1</math>次. 由库默尔定理，<math>\nu_p\left(\binom{2n}n\right)\le m-1</math>，

∵ <math>n+k=p^m</math>，∴ <math>n+k</math>不整除<math>\binom{2n}n</math>.

从而存在无穷多个<math>n</math>满足要求.

综上，<math>k</math>是任意不为1的整数.

== 證明 ==

將组合数<math>{\tbinom  {m+n}{m}}</math>寫成<math>\tbinom{m+n}m={\tfrac  {(m+n)!}{m!n!}}</math>
根据[[勒让德定理]]，它所含<math>p</math>的幂次数为
<math display="block">\sum_{i=1}^{\infty}\left[\frac{m+n}{p^i}\right]-\sum_{i=1}^{\infty}\left[\frac{n}{p^i}\right]-\sum_{i=1}^{\infty}\left[\frac{m}{p^i}\right]
=\sum_{i=1}^{\infty}\left\{\left[\frac{m+n}{p^i}\right]-\left[\frac{n}{p^i}\right]-\left[\frac{m}{p^i}\right]\right\}</math>
<math>\left[\frac{n}{p^i}\right]</math>等于<math>n</math>在<math>p</math>进制表示下，截去末<math>i</math>位得到的数，因此
<math display="block">\left[\frac{m+n}{p^i}\right]-\left[\frac{n}{p^i}\right]-\left[\frac{m}{p^i}\right]=\begin{cases}1&\text{若 第 }i+1\text{ 位 有 进 位}\\0&\text{若 第 }i+1\text{ 位 不 进 位}\end{cases}</math>
最后对<math>i</math>求和，就是<math>m+n</math>在<math>p</math>进制下的进位次数。

== 多项系数的一般化 ==
庫默爾定理，可以推广到 [[多项式定理|多项系数]] <math> \tbinom n {m_1,\ldots,m_k} := \tfrac{n!}{m_1!\cdots m_k!}</math>&nbsp;：

將&nbsp;<math>n</math> 以 <math>p</math>為基底寫做 <math>n=n_0+n_1p+n_2p^2+\cdots+n_rp^r</math>和定义 <math>S_p(n)=n_0+n_1+\cdots+n_r</math> 是 <math>p</math>&nbsp;基底的数位和。 則

<math>\nu_p\left( \dbinom n {m_1,\ldots,m_k} \right) = \dfrac{1}{p-1} \left( \sum_{i=1}^k S_p(m_i) - S_p(n)\right)</math>.


== 參見 ==
* [[卢卡斯定理]]

== 参考文献 ==
* {{Cite journal|title=Über die Ergänzungssätze zu den allgemeinen Reciprocitätsgesetzen|last=Kummer|first=Ernst|journal=Journal für die reine und angewandte Mathematik|doi=10.1515/crll.1852.44.93|year=1852|volume=44|pages=93–146}}
<ref>{{Cite web |url=https://planetmath.org/KummersTheorem |title=存档副本 |access-date=2020-07-31 |archive-date=2021-04-18 |archive-url=https://web.archive.org/web/20210418212304/https://planetmath.org/kummerstheorem |dead-url=no }}</ref>

[[Category:数论定理]]