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在[[点集拓扑学]]中，'''庫拉托夫斯基十四集問題'''敘述是：給定[[拓樸空間]]的子集<math>S</math>，對<math>S</math>做任意有限次數的取[[補集]]或[[閉包 (拓撲學)|閉包]]，最多可以得到幾個不同的集合？

本問題又被稱作'''閉包補集問題，'''由[[庫拉托夫斯基]]於1922年提出，並給出了解答 14<ref>{{Cite journal|title=Sur l'operation A de l'Analysis Situs|url=http://matwbn.icm.edu.pl/ksiazki/fm/fm3/fm3121.pdf|last=Kuratowski|first=Kazimierz|authorlink=卡齊米日·庫拉托夫斯基|journal=Fundamenta Mathematicae|publisher=Polish Academy of Sciences|year=1922|location=Warsaw|volume=3|pages=182–199|issn=0016-2736|access-date=2019-01-29|archive-date=2018-07-20|archive-url=https://web.archive.org/web/20180720141319/http://matwbn.icm.edu.pl/ksiazki/fm/fm3/fm3121.pdf|dead-url=no}}</ref> 。[[约翰·L·凯利]]撰寫的拓樸學經典教科書 ''General Topology'' 將庫拉托夫斯基十四集問題收錄做為一題習題<ref>{{Cite book|title=General Topology|url=https://archive.org/details/generaltopology0000kell|last=Kelley|first=John|authorlink=John L. Kelley|publisher=Van Nostrand|year=1955|isbn=0-387-90125-6|page=[https://archive.org/details/generaltopology0000kell/page/57 57]}}</ref>，使得本問題在往後的 30 年間被許多人所熟知。

== 證明 ==
對所有子集<math>A</math>，將<math>A</math>的[[餘集|補集]]記為<math>A^/</math>，[[閉包 (拓撲學)|閉包]]記為<math>A^-</math>，則有以下 3 件事實

# <math>A^{//}=A</math> (取補集是[[對合]]的)
# <math>A^{--}=A^-</math> (取閉包是[[冪等]]的)
# <math>A^{/-/-/-/-}=A^{/-/-}</math> (或等價的<math>A^{-/-/-/-}=A^{-/-}</math>，等價性來自 1.)

由 1. 和 2. 知，只需要考慮以下兩個序列就足夠了

:<math>S^{/}, S^{/-}, S^{/-/}, S^{/-/-}, S^{/-/-/}, ...</math> 及 <math>S^{-}, S^{-/}, S^{-/-}, S^{-/-/}, S^{-/-/-}, ...</math>

再由 3. 知，最多只會有 14 個相異集合。

若對<math>S</math>取補集或閉包可以產生恰好 14 個相異集合，則稱<math>S</math>是個 '''14-集'''。事實上，實數空間 <math>\mathbb R</math>與一般實數上的拓樸，形成的拓樸空間就有包含 14-集，例如

: <math>(0,1)\cup(1,2)\cup\{3\}\cup\bigl([4,5]\cap\Q\bigr),</math>

其中 ( , ) 和 [ , ] 分別代表[[開區間]]和[[閉區間]]。

== 其他結果 ==
1962 年 T.A. Chapman 發現，對<math>S</math>做任意有限次數的取[[内部]]或[[閉包 (拓撲學)|閉包]]，則最多可以得到 7 幾個不同的集合。證明仍然化約到討論下面的兩個序列

:<math>S^{0}, S^{0-}, S^{0-0}, S^{0-0-}, S^{0-0-0}, ...</math> 及 <math>S^{-}, S^{-0}, S^{-0-}, S^{-0-0}, S^{-0-0-}, ...</math>

其中，<math>A^0</math>代表<math>A</math>的內部。

== 代數結構 ==
雖然問題是屬於點集拓樸學，但是出乎意料的，它的性質卻比較[[代數]]，而非拓樸。1960 年代，類似概念的問題不斷被提出，然而大部分卻已經跟拓樸本身不太有關係了<ref>{{Cite journal|title=Kuratowski's Closure Theorem|last=Hammer|first=P. C.|journal=Nieuw Archief voor Wiskunde|publisher=Royal Dutch Mathematical Society|year=1960|volume=8|pages=74–80|issn=0028-9825}}</ref>。

此外，取閉集或補集的運算定義了一個[[么半群]]，可以用來對不同拓樸空間做分類<ref>{{Cite journal|title=The radical-annihilator monoid of a ring|first=Ryan|last=Schwiebert|doi=10.1080/00927872.2016.1222401}}</ref>。

== 參考資料 ==
{{Reflist}}
== 外部連結 ==

* [http://nzjm.math.auckland.ac.nz/images/6/63/The_Kuratowski_Closure-Complement_Theorem.pdf The Kuratowski Closure-Complement Theorem] {{Wayback|url=http://nzjm.math.auckland.ac.nz/images/6/63/The_Kuratowski_Closure-Complement_Theorem.pdf |date=20220212062843 }} ，作者：B. J. Gardner 和 Marcel Jackson。
* [http://www.maa.org/publications/periodicals/loci/supplements/the-kuratowski-closure-complement-problem The Kuratowski Closure-Complement Problem] {{Wayback|url=http://www.maa.org/publications/periodicals/loci/supplements/the-kuratowski-closure-complement-problem |date=20141005053805 }}，作者：Mark Bowron。

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[[Category:数学问题]]