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'''度規函數'''是[[數學]][[凸分析]]的一個重要函數。設<math>E</math>為<math>\R</math>或<math>\mathbb C</math>上的[[向量空間]]，有需要時可以假設為[[拓撲向量空間]]。設<math>C</math>為在<math>E</math>內的凸集，且包含原點。那麼<math>C</math>的度規函數<math>p</math>是從<math>E</math>到<math>\mathbb R \cup \{+ \infty \}</math>的函數，定義為
:<math>p(x)=  
\inf\, \{\lambda >0 \,\mid\, x \in \lambda C \} </math>,
如果<math>C</math>為[[空集]]，定義<math>p(x)=  +\infty </math>。

從定義立刻得到以下結果，可以進一步說明度規函數：
: <math>\{x\,\mid\,p(x)<1\}\subset C\subset\{x\,\mid\,p(x)\leq1\}</math>
* 若<math>C</math>是在<math>E</math>中的[[開集]]，那麼<math>C=\{x\,\mid\,p(x)<1\}</math>；
* 若<math>C</math>是在<math>E</math>中的[[閉集]]，那麼<math>C=\{x\,\mid\,p(x)\leq1\}</math>。

== 性質 ==
=== 凸性 ===
{{quote|度規函數符合[[次加性泛函|次加性]]，因此是[[凸函數]]。}}

=== 只取有限值的條件 ===
{{quote|包含<math>0</math>的凸集<math>C</math>的度規函數不取<math>+\infty</math>，當且僅當<math>C</math>是[[吸收的]]。}}

同樣地可立刻看出這條件當<math>0</math>是<math>C</math>的[[內點]]時成立。易證逆命題在有限維時成立：簡潔做法是看到<math>p</math>既是有限值和處處定義的凸函數，因而<math>p</math>連續，故此<math>\{x\,\mid\,p(x)<1\}</math>包含在<math>C</math>內且是<math>0</math>的鄰域。

當<math>0</math>是在<math>C</math>的內部時，可以想像這樣一幅圖畫：函數取值1的點正好是凸集<math>C</math>的[[邊界 (拓撲)|邊界]]，其他正數值的水平面是其位似形。如果有不在任一個水平面上的點，函數在該點取值為<math>0</math>。

最後再補充一點。在實向量空間時，<math>C</math>相對<math>0</math>點對稱，其度規函數避開<math>+\infty</math>值，這度規函數便是[[半範數]]；在複向量空間也有同樣結論，只需把對稱的定義，修改為與任何模為1的複數相乘都不變。

=== 原點外不取0值的條件 ===
從定義看出度規函數在原點外一點<math>x_0</math>取 <math>0</math>值，當且僅當從原點過<math>x_0</math>的射線包含在凸集內。

因此立刻可知在[[賦範向量空間]]內，有界凸集的度規函數不在原點外取 <math>0</math>值。

逆命題對有限維空間內的閉凸集成立，用半徑為1的球面的[[緊緻性]]證明。

{{quote|設<math>C</math>為在有限維空間內包含<math>0</math>的閉凸集。<math>C</math>[[有界集合|有界]]當且僅當其度規函數除原點外不取<math>0</math>值。}}

==用途==
* 在[[拓撲向量空間]]理論，引入一族適合的度規函數，便能夠以半範數描繪[[局部凸空間]]的特性。

* 在[[凸集]]的幾何中，度規函數是有用的工具，能把純幾何問題（研究[[超平面]]），轉變成純分析問題（研究超平面的方程）。在[[凸集分離]]和[[支撐超平面]]理論的一個基礎結果，就是[[哈恩-巴拿赫定理]]的幾何形式，其中的證明關鍵，在觀察到對適合方程<math>f(x)=1</math>的超平面，要求超平面避開給定包含原點的開凸集，與要求函數<math>f</math>和凸集的度規函數<math>p</math>適合不定方程<math>p\leq f</math>是相同的。

== 參考書目==
Jean-Baptiste Hiriart-Urruty and Claude Lemaréchal, ''Fundamentals of convex analysis'', coll. « Grundlehren Text Editions », Springer, 2001, ISBN 3540422056, p. 128-130


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