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数学上，'''庞加莱-霍普夫(Poincaré-Hopf)'''定理(也称为'''庞加莱-霍普夫指标定理'''，'''庞加莱-霍普夫指标公式'''，或'''霍普夫指标定理''')是[[微分拓扑]]的重要定理。

'''定理'''：令 ''M'' 为[[紧空间|紧]][[微分流形]]。令 ''v'' 为 ''M'' 上有孤立零点的向量场。若 ''M'' 有[[边界]]，则我们要求在边界上 ''v'' 指向边界的外[[法向量|法向]]。然后，我们有如下公式

:<math>\sum_i \mathrm{index}_v(x_i) = \chi(M)\,</math>

其中，求和取遍 ''v'' 的孤立零点而 <math>\chi(M)</math> 是 ''M'' 的[[欧拉示性数]]。

定理由[[庞加莱]]在二维的情况证明，而后由[[霍普夫]]推广到高维。

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[[Category:微分拓扑学|P]]
[[Category:数学定理|P]]