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'''庞加莱－林德斯泰特方法'''（{{lang-en|Poincaré–Lindstedt method}}）是[[摄动理论]]中一种当正则摄动法失效时求解[[常微分方程]]的近似[[周期]]解的方法， 可以在弱非线性振动问题中消除正则摄动法中出现的[[长期变化|长期项]]。<ref>{{citation | first=P.G. | last=Drazin | title=Nonlinear systems | publisher=Cambridge University Press | year=1992 | isbn=0-521-40668-4 }}, pp. 181–186.</ref>

该方法是以数学家[[昂利·庞加莱]]与[[安德斯·林德斯泰特]]的名字命名的。<ref>{{citation | first=H. | last=Poincaré | authorlink=Henri Poincaré | title=Les Méthodes Nouvelles de la Mécanique Célèste | volume=II | publisher=Dover Publ. | location=New York | year=1957 | origyear=1893 }}, §123–§128.</ref><ref>A. Lindstedt, Abh. K. Akad. Wiss. St. Petersburg 31, No. 4 (1882)</ref>

== 示例：杜芬方程 ==
无阻尼、非强迫运动的[[杜芬方程]]为
:<math>\ddot{x} + x + \varepsilon\, x^3 = 0\,</math>
其中''t''&nbsp;>&nbsp;0，0&nbsp;<&nbsp;''ε''&nbsp;≪&nbsp;1。<ref name=logan>J. David Logan. ''Applied Mathematics'', Second Edition, John Wiley & Sons, 1997. ISBN 0-471-16513-1.</ref>

假设初值为
:<math>x(0) = 1,\,</math> {{pad|5em}} <math> \dot x(0) = 0.\,</math>

使用摄动法，假设级数解为''x''(''t'')&nbsp;=&nbsp;''x''<sub>0</sub>(''t'')&nbsp;+&nbsp;''ε''&nbsp;''x''<sub>1</sub>(''t'')&nbsp;+&nbsp;…&nbsp;。可以得到，级数的前两项为
:<math>x(t) = \cos(t) + \varepsilon \left[ \tfrac{1}{32}\, \left( \cos(3t) - \cos(t) \right) - \tfrac{3}{8}\, t\, \sin(t) \right] + \cdots.\,</math>

此近似解会随着时间无限地增大，与该方程所描述的物理系统不符。而导致这一原因的是其中的[[长期变化|长期项]]''t''&nbsp;sin&nbsp;t 随时间而不断增大。为使近似解随时间变化仍然有效，可以采用如下的庞加莱－林德斯泰特方法。

此方法中，不仅近似解本身表示为[[渐近展开]]，时间''t''也表示为级数形式
:<math>\tau = \omega t,\,</math> {{pad|4em}} 其中 {{pad|4em}} <math>\omega = \omega_0 + \varepsilon \omega_1 + \cdots.\,</math>

由于解的[[角频率]]的领头项为1，取''ω''<sub>0</sub>&nbsp;=&nbsp;1。于是，原方程变为
:<math>\omega^2\, x''(\tau) + x(\tau) + \varepsilon\, x^3(\tau) = 0\,</math>

初值则不变。假设解的形式为 ''x''(''τ'')&nbsp;=&nbsp;''x''<sub>0</sub>(''τ'')&nbsp;+&nbsp;''ε''&nbsp;''x''<sub>1</sub>(''τ'')&nbsp;+&nbsp;…&nbsp;，通过''ε''的零阶与一阶项可以得到
:<math>
  \begin{align}
    x_0 &= \cos(\tau) \\
    x_1 &= \tfrac{1}{32}\, \left(\cos(3\tau)-\cos(\tau)\right) + \left( \omega_1 - \tfrac{3}{8}  \right)\, \tau\, \sin(\tau).
  \end{align}
</math>
取''ω''<sub>1</sub>&nbsp;=&nbsp;<small>{{frac|3|8}}</small>便可消除长期项。按此继续进行分析，便可得到更高阶的精度。以下为精确到''ε''一阶精度的近似解为
:<math>
  x(t) \approx \cos\Bigl(\left(1 + \tfrac{3}{8}\, \varepsilon \right)\, t \Bigr) 
             + \tfrac{1}{32}\, \varepsilon\, \left[\cos\Bigl( 3 \left(1 + \tfrac{3}{8}\,\varepsilon\, \right)\, t \Bigr)-\cos\Bigl(\left(1 + \tfrac{3}{8}\,\varepsilon\, \right)\, t \Bigr)\right]. \,
</math>

== 参考文献 ==
{{reflist}}

[[Category:微擾理論]]