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[[File:Forced Duffing equation Poincaré section.png|300px|thumb|强迫[[杜芬振子|杜芬]]方程的二维庞加莱截面.]]

在[[数学|数学领域]]中, 尤其是对[[动态系统]]的研究中, '''庞加莱映射''', 或'''第一次回归映射'''是[[连续动力系统]]的[[状态空间]]中的[[周期轨道]]与确定的低维子空间的横向交点, 其中的低维子空间被称作'''庞加莱截面'''. 更精确的说, 对于具有初值位于庞加莱截面上的周期轨道, 轨道第一次回到庞加莱截面上的交点就定义了初值的庞加莱映射, 这就是'''第一次回归映射'''的由来. 

== 定义 ==

[[File:Poincare map.svg|thumb|230px|在庞加莱截面 ''S'' 上, 庞加莱映射 ''P'' 将 ''x'' 映射为 ''P(x)''.]]
设 ('''R''', ''M'', φ) 为一个[[全局动态系统]], 其中 '''R''' 是[[实数]], ''M'' 为[[相空间]] , φ 为[[演化函数]]. 设 γ 为通过点''p''的[[周期轨道]], ''S''局部[[可微]], 为过点''p''的庞加莱截面, 即在点''p''处横截穿过φ .

对包含点 ''p'' 的[[连通]][[开尔文|开]][[邻域]] ''U'', [[函数]]
:<math>P: U \to S</math> 
称为通过点 ''p'' 的轨道 γ 在'''庞加莱截面''' ''S'' 上的'''庞加莱映射''', 如果
* ''P''(''p'') = ''p''
* ''P''(''U'') 是点 ''p'' 的一个邻域, 并且 ''P'':''U'' → ''P''(''U'') 是一个[[微分同胚]]
* 对 ''U'' 中的每个点 ''x'' , ''P''(''x'') 是过 ''x'' 正向发展的轨道与截面 ''S'' 第一个交点

== 参阅 ==
* [[龐加萊復現定理]]
* [[Stroboscopic map]]
* [[Henon映射]]
* [[Recurrence plot]]

== 参考文献 ==
* Nicholas B. TUFILLARO, ''[http://www.drchaos.net/drchaos/Book/node101.html Poincaré Map] {{Wayback|url=http://www.drchaos.net/drchaos/Book/node101.html |date=20100204092244 }}'', (1997)
* Shivakumar JOLAD, ''[https://web.archive.org/web/20060520213802/http://www.personal.psu.edu/users/s/a/saj169/Poincaremap/Htmlfiles/PoincareMapintro.html Poincare Map and its application to 'Spinning Magnet' problem]'', (2005)

[[Category:动力系统]]