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[[Image:Poincare halfplane heptagonal hb.svg|400px|right|thumb|
庞加莱模型的星状正则[[3阶七边形镶嵌|七边形镶嵌]]（{{lang|en|Order-3 heptagonal tiling}}）。
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在[[非欧几里得几何]]中，'''庞加莱半平面模型'''（{{lang|en|Poincaré half-plane model}}）是赋有[[庞加莱度量]]的[[上半平面]]，这是二维[[双曲几何]]的一个模型。 

它以[[昂利·庞加莱]]命名，但最初是[[贝尔特拉米]]（{{lang|en|Eugenio Beltrami}}）发现的，他用这个模型与[[克莱因模型]]以及[[庞加莱圆盘模型]]（属于[[波恩哈德·黎曼|黎曼]]）证明了双曲几何与[[欧几里得几何]]的[[等相容性|相容性等价]]（{{lang|en|equiconsistent}}）。圆盘模型与半平面模型在[[共形映射]]下是等价的。

==对称群==
[[射影线性群]] PGL(2,'''C''') 由[[莫比乌斯变换]][[群作用|作用]]在[[黎曼球面]]上。保持上半平面不动的子群是 PGL(2,'''R''')，这些变化的系数是[[实数]]，它们传递、[[等距]]作用在上半平面上，将它变成一个[[齐性空间]]。 

有四个非常相关的[[李群]]通过[[分式线性变换]]作用在上半平面上，且保持双曲距离。

* 由行列式为 +1 的 2×2 实矩阵组成的[[特殊线性群]][[SL2(R)|SL(2,'''R''')]]。注意许多书籍经常说 SL(2,'''R''')，其实际是指 PSL(2,'''R''')。
* 由行列式为 +1 或 -1 组成的 2×2 实矩阵 S*L(2,'''R''') 。注意 SL(2,'''R''') 是这个群的一个子群。
* [[射影线性群]] [[PSL2(R)|PSL(2,'''R''')]] = SL(2,'''R''')/{±''I''}，由 SL(2,'''R''') 中矩阵模去正负恒同矩阵。
* 群 PS<sup>*</sup>L(2,'''R''') = S<sup>*</sup>L(2,'''R''')/{±''I''} 同样是射影群，同样是模去正负恒同矩阵。
这些群与庞加莱模型的关系如下：
* '''H''' 的所有[[等距]]的群，通常记做  Isom('''H''')，同构于 PS<sup>*</sup>L(2,'''R''')。这包括保持定向和反定向的等距。反定向的映射（镜映射）是 <math>z\rightarrow -\overline{z}</math>。
* '''H''' 保持定向的等距，通常记做 Isom<sup>+</sup>('''H''')，同构于 PSL(2,'''R''')。

等距群的一些重要的子群是[[富克斯群]]。其中一个经常见到的是[[模群]] SL(2,'''Z''')。这个群在两个方面很重要。首先，它是正方形 2×2 [[格 (群)|格]]点的[[对称群]]。从而在一个方形网格中周期函数，比如[[模形式]]以及[[椭圆函数]]，将从这个网格继承一个 SL(2,'''Z''') 对称。另一方面，SL(2,'''Z''') 当然也是 SL(2,'''R''') 的一个子群，从而嵌入其中有双曲表现。特别地，SL(2,'''Z''') 可用来将双曲平面镶嵌为等（庞加莱）面积的单元。

==等距对称==
[[特殊线性群]] PSL(2,'''R''') 在 '''H''' 上的作用定义为
:<math>\left(\begin{matrix}a&b\\ c&d\\ \end{matrix}\right) \cdot z = \frac{az+b}{cz+d} = {(ac|z|^2+bd+(ad+bc)\Re(z))  + i\Im(z)\over|cz+d|^2}.\,</math>

注意到这个作用是[[群作用|传递]]的，从而任何对 <math>z_1,z_2\in\mathbb{H}</math>，存在一个 <math>g\in {\rm PSL}(2,\mathbb{R})</math> 使得 <math>gz_1=z_2</math>。这个作用也是[[群作用|忠实]]的：如果对 ''z'' 属于 '''H''' 有 <math>gz=z</math>，那么 ''g''=''e''。

'''H''' 中一个元素 ''z'' [[群作用|稳定子]]或迷向子群是所有 <math>g\in{\rm PSL}(2,\mathbb{R})</math> 使 ''z'' 不变 ''gz''=''z'' 的集合。<math>i</math> 的稳定子是[[特殊正交群|旋转群]]

:<math>{\rm SO}(2) = \left\{ \left(\begin{matrix}\cos\theta&\sin\theta\\ -\sin\theta&\cos\theta\\ \end{matrix}\right)\,:\,\theta\in{\mathbf R}\right\}.\,</math>

由传递性，''H''' 中任何元素 ''z'' 可由 PSL(2,'''R''') 中一个元素映为 <math>i</math>，这意味着任何 ''z'' 的迷向子群[[同构]]于 SO(2)。从而 '''H''' = PSL(2,'''R''')/SO(2)。或者，上半平面上的切[[向量丛]]，称为[[单位切丛]]，同构于 PSL(2,'''R''')。

利用[[模群]] SL(2,'''Z''')，上半平面镶嵌成[[自由正则集合]]（{{lang|en|free regular set}}）。

==测地线==
这个度量张量的测地线是垂直于实数轴的圆弧（即圆心位于实轴上的半圆周）以及终于实轴的竖直直线。

经过 <math>i</math> 的单位速度竖直测地线为：

:<math>\gamma(t) = \left(\begin{matrix}e^{t/2}&0\\ 
                   0&e^{-t/2}\\ \end{matrix}\right) \cdot i 
   = ie^t.\,</math>

因为 PSL(2,'''R''') 作为等距传递作用在上半平面，这条测地线通过 PSL(2,'''R''') 的作用映到其它测地线。从而，一般的单位速度测地线由
:<math>\gamma(t) = 
\left(\begin{matrix}a&b\\ c&d\\ \end{matrix}\right) \left(\begin{matrix}e^{t/2}&0\\ 
                   0&e^{-t/2}\\ \end{matrix}\right) \cdot i
  = \frac {aie^t +b} {cie^t +d} </math>
给出。这给出了上半平面上单位长切丛（复[[线丛]]）[[测地流]]的完整描述。

==另见==
<div class="references-small" style="-moz-column-count:2; column-count:2;">
* [[平行角]]（{{lang|en|Angle of parallelism}}）
* [[阿诺索夫流]]（{{lang|en|Anosov flow}}）
* [[富克斯群]]（{{lang|en|Fuchsian group}}）
* [[富克斯模型]]（{{lang|en|Fuchsian model}}）
* [[克莱因群]]（{{lang|en|Kleinian group}}）
* [[克莱因模型]]
* [[庞加莱度量]]
* [[庞加莱圆盘模型]]（{{lang|en|Poincaré disk model}}）
* [[伪球面]]（{{lang|en|Pseudosphere}}）
* [[施瓦茨-阿尔福斯-皮克定理]]（{{lang|en|Schwarz-Alhfors-Pick theorem}}）
* [[超平行定理]]（{{lang|en|Ultraparallel theorem}}）
</div>

==参考文献==

*Eugenio Beltrami, ''Theoria fondamentale delgi spazil di curvatura constanta'', Annali. di Mat., ser II 2 (1868), 232-255
*Henri Poincaré (1882) "Théorie des Groupes Fuchsiens", ''Acta Mathematica'' v.1,p.1.First article in a legendary series exploiting half-plane model.On page 52 one can see an example of the semicircle diagrams so characteristic of the model.
* Hershel M. Farkas and Irwin Kra, ''Riemann Surfaces'' (1980), Springer-Verlag, New York. ISBN 0-387-90465-4.
* Jurgen Jost, ''Compact Riemann Surfaces'' (2002), Springer-Verlag, New York. ISBN 3-540-43299-X ''(See Section 2.3)''.
* Saul Stahl, ''The Poincaré Half-Plane'', Jones and Bartlett, 1993, ISBN 0-86720-298-X.
* John Stillwell (1998) ''Numbers and Geometry'',pp.100-104, Springer-Verlag,NY ISBN 0-387-98289-2 .An elementary introduction to the Poincaré half-plane model of the hyperbolic plane.


[[Category:共形几何|P]]
[[Category:双曲几何|P]]