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[[数学]]中，'''庞加莱不等式'''（{{lang-en|Poincaré inequality}}）是[[索伯列夫空间]]理论中的一个结果，由[[法国]][[数学家]][[亨利·庞加莱|昂利·庞加莱]]命名。这个[[不等式]]说明了一个[[函数]]的行为可以用这个函数的[[变化率]]的行为和它的[[定义域]]的[[几何]]性质来控制。也就是说，已知函数的变化率和定义域的情况下，可以对函数的上界作出估计。庞加莱不等式在现代的[[变分法]]理论中有重要应用。一个与之相近的结果是[[弗里德里希不等式]]（{{lang-en|Friedrichs's inequality}}）。

==叙述==
===经典形式===

设'''p'''是一个大于等于'''1'''的[[实数]]，'''n'''是一个正整数。<math>\Omega</math> 是'''n'''维[[欧几里得空间]]<math>\mathbb{R}^n</math>上的一个[[有界集|有界]][[开集|开]][[子集]]，并且其边界是满足[[利普希茨连续|利普希兹条件]]的区域（也就是说它的边界是一个[[利普希茨连续]][[函数]]的图像）。在这种情况下，存在一个只与<math>\Omega</math> 和'''p'''有关的[[常数]]'''C'''，使得对[[索伯列夫空间]]<math>\mathbb{W}^{1,p}(\Omega)</math> 中所有的函数'''u'''，都有：

<center><math>\| u - u_{\Omega} \|_{L^{p} (\Omega)} \leq C \| \nabla u \|_{L^{p} (\Omega)}</math></center>

其中的<math>\| \cdot \|_{L^{p}}</math> 指的是[[Lp空间|L<sup>p</sup>空间]]之中的[[范数]]，

:<math>u_{\Omega} = \frac{1}{|\Omega|} \int_{\Omega} u(y) \, \mathrm{d} y</math> 

是函数'''u'''在定义域<math>\Omega</math> 上的[[平均值]]，而<math>| \Omega |</math>指的是区域<math>\Omega</math>的[[勒贝格测度]]。

===推广===
在其他的索伯列夫空间上也有与庞加莱不等式类似的结果。比如说，定义空间'''H'''<sup>1/2</sup>('''T'''<sup>2</sup>)是单位[[环面]]'''T'''<sup>2</sup>上的[[Lp空间|L<sup>p</sup>空间]]中[[傅里叶变换]]'''û'''满足
<div style="text-align: center;">

</div>
<div style="text-align: center;">
<math>[ u ]_{H^{1/2} (\mathbf{T}^{2})}^{2} = \sum_{k \in \mathbf{Z}^{2}} | k | \big| \hat{u} (k) \big|^{2} < + \infty:</math>
</div>

的函数'''u'''所构成的空间，那么存在一个常数'''C'''，使得对于每个'''H'''<sup>1/2</sup>('''T'''<sup>2</sup>)中的函数'''u'''，如果它在单位[[环面]]'''T'''<sup>2</sup>的某个开子集上恒等于零，那么就有

<div style="text-align: center;">
<math>\int_{\mathbf{T}^{2}} | u(x) |^{2} \, \mathrm{d} x \leq C \left( 1 + \frac1{\mathrm{cap} (E \times \{ 0 \})} \right) [ u ]_{H^{1/2} (\mathbf{T}^{2})}^{2},</math>
</div>

其中的<math>\mathrm{cap} (E \times \{ 0 \})</math> 指的是<math>E \times \{ 0 \}</math>作为一个'''R'''<sup>3</sup>中的子集的[[容度|调和容度]]<ref>{{citation
 |last1   = Garroni
 |first1  = Adriana
 |last2   = Müller
 |first2  = Stefan
 |title   = &Gamma;-limit of a phase-field model of dislocations
 |url     = http://math.sns.it/papers/garmue03/garmue03.pdf
 |journal = SIAM J. Math. Anal.
 |volume  = 36
 |year    = 2005
 |issue   = 6
 |pages   = 1943–1964 (electronic)
 |doi     = 10.1137/S003614100343768X
}}{{dead link|date=2017年12月 |bot=InternetArchiveBot |fix-attempted=yes }} {{MathSciNet|id=2178227}}</ref>。

==庞加莱常数==

以上不等式中的常数'''C'''的最优值被称为区域<math>\Omega</math> 中的'''庞加莱常数'''。确定一个区域的庞加莱常数通常是一个困难的工作，与常数'''p'''的值以及区域<math>\Omega</math> 的几何性质有关。在某些特定的条件下，比如已知区域<math>\Omega</math> 是一个有界的[[凸集|凸]]区域，并且[[直径]]是'''d'''，那么当'''p'''='''1'''的时候，庞加莱常数至多等于<math>\scriptstyle \frac{d}{2}</math><ref>{{citation
| last1 = Acosta|first1=Gabriel|last2=Durán|first2=Ricardo G.
| title = An optimal Poincaré inequality in ''L''<sup>1</sup> for convex domains
| url = http://www.ams.org/proc/2004-132-01/S0002-9939-03-07004-7/S0002-9939-03-07004-7.pdf
| journal = Proc. Amer. Math. Soc.
| volume = 132
| year = 2004
| issue = 1
| pages = 195–202 (electronic)
| doi = 10.1090/S0002-9939-03-07004-7
}}</ref>。而当'''p'''='''2'''的时候，庞加莱常数至多等于<math>\scriptstyle \frac{d}{\pi}</math><ref>{{citation
 |last        = M
 |first       = Bebendorf
 |title       = A Note on the Poincar´e Inequality for Convex Domains
 |url         = http://www.heldermann-verlag.de/zaa/zaa22/zaa22043.pdf
 |journal     = Journal for Analysis and its Applications
 |volume      = 22
 |year        = 2003
 |issue       = 4
 |pages       = 751–756
 |deadurl     = yes
 |archiveurl  = https://web.archive.org/web/20120526231645/http://www.heldermann-verlag.de/zaa/zaa22/zaa22043.pdf
 |archivedate = 2012-05-26
}}</ref>。这是只包含直径'''d'''的最佳估计。在维数是一维的时候，有[[维廷格函数不等式]]（{{lang-en|Wirtinger's inequality}}）。

然而，在特殊情况下，庞加莱常数'''C'''可以被完全确定。例如，当'''p'''='''2'''，区域是单位等腰直角三角形的时候，可以得出庞加莱常数<math>\scriptstyle C = \frac{1}{\pi}</math>，这个值严格小于估计<math>\scriptstyle \frac{d}{\pi}</math>，因为这时<math>\scriptstyle{d=\sqrt{2}}</math>。

==参见==
*[[索博列夫不等式]]
==参考来源==
{{reflist}}
* {{citation
| last = Evans|first=Lawrence C. 
| title = Partial differential equations 
| location = Providence, RI 
| publisher = American Mathematical Society 
| year = 1998 
| id = ISBN 0-8218-0772-2
}}
* {{citation
| last1 = Fumio
| first1 = Kikuchi 
| last2= Xuefeng|first2=Liu
| title = Estimation of interpolation error constants for the P0 and P1 triangular finite elements
| journal = Comput. Methods. Appl. Mech. Engrg.
| volume = 196
| year = 2007
| pages = 3750–3758
| doi = 10.1016/j.cma.2006.10.029
}} {{MathSciNet|id=2340000}}

*{{Citation | last1=Payne | first1=L. E. | last2=Weinberger | first2=H. F. | title=An optimal Poincaré inequality for convex domains | year=1960 | journal=Archive for Rational Mechanics and Analysis | issn=0003-9527 | pages=286–292}}

[[Category:分析定理]]
[[Category:不等式]]
[[Category:索伯列夫空间]]
[[Category:亨利·庞加莱|Inequality]]