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'''应变协调性'''（{{lang-en|strain compatibility}}）在[[连续介质力学]]中是指使得物体的[[位移]]单值连续的[[应变]][[张量]]所满足的条件。应变协调是可积条件的特殊情况。1864年，法国力学家[[圣维南]]最早得到了线弹性体的协调条件。1886年，意大利数学家[[贝尔特拉米]]对此进行了严格证明。<ref name="Amrouche">C Amrouche, PG Ciarlet, L Gratie, S Kesavan,  On Saint Venant's compatibility conditions and Poincaré's lemma, C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I, 342 (2006), 887-891.  {{doi|10.1016/j.crma.2006.03.026}}</ref>

== 无限小应变的协调条件 ==
=== 二维 ===
对于二维无限小应变问题，其应变－位移关系为
:<math>
   \varepsilon_{11} = \cfrac{\partial u_1}{\partial x_1} ~;~~
   \varepsilon_{12} = \cfrac{1}{2}\left[\cfrac{\partial u_{1}}{\partial x_2} + \cfrac{\partial u_{2}}{\partial x_1}\right]~;~~
   \varepsilon_{22} = \cfrac{\partial u_{2}}{\partial x_2} 
</math>
其所对应的协调条件为
:<math>
   \cfrac{\partial^2 \varepsilon_{11}}{\partial x_2^2}
   - 2\cfrac{\partial^2 \varepsilon_{12}}{\partial x_1 \partial x_2}
   + \cfrac{\partial^2 \varepsilon_{22}}{\partial x_1^2} = 0
</math>

=== 三维 ===
在三维问题中，共有六个条件需满足。除了二维问题中的一个协调条件扩展为三个条件之外，另外三个协调条件的形式为
:<math>
   \cfrac{\partial^2 \varepsilon_{33}}{\partial x_1 \partial x_2} = \cfrac{\partial}{\partial x_3}\left[
   \cfrac{\partial \varepsilon_{23}}{\partial x_1} + \cfrac{\partial \varepsilon_{31}}{\partial x_2} - 
   \cfrac{\partial \varepsilon_{12}}{\partial x_3}\right]
 </math>

使用指标记号可以将所有六个条件合写为<ref name=Slaughter>Slaughter, W. S., 2003, ''The linearized theory of elasticity'', Birkhauser</ref>
:<math>
   e_{ikr}~e_{jls}~\varepsilon_{ij,kl} = 0
 </math>
其中<math>e_{ijk}</math>为[[列维-奇维塔符号]]。使用张量符号则可以表示成
:<math>
  \boldsymbol{\nabla}\times(\boldsymbol{\nabla}\times\boldsymbol{\varepsilon}) = \boldsymbol{0}
</math>
二阶张量
:<math>
  \boldsymbol{R} := \boldsymbol{\nabla}\times(\boldsymbol{\nabla}\times\boldsymbol{\varepsilon}) ~;~~ R_{rs} := e_{ikr}~e_{jls}~\varepsilon_{ij,kl}
</math>
被称为不协调张量，即圣维南张量。

== 有限应变的协调条件 ==
在有限应变理论中，协调条件为
:<math>
   \boldsymbol{\nabla}\times\boldsymbol{F} = \boldsymbol{0}
</math>
其中<math>\boldsymbol{F}</math>为变形梯度张量。在[[笛卡尔坐标系]]中，该条件可表示为
:<math>
  e_{ABC}~\cfrac{\partial F_{iB}}{\partial X_A} = 0 
</math>
该条件是从映射<math>\mathbf{x} = \boldsymbol{\chi}(\mathbf{X},t)</math>得到的连续变形的必要条件，同时也是保证[[单连通]]物体应变协调的充分条件。

=== 右柯西－格林变形张量的协调条件 ===
右柯西－格林变形张量的协调条件为
:<math>
  R^\gamma_{\alpha\beta\rho} := 
   \frac{\partial }{\partial X^\rho}[\Gamma^\gamma_{\alpha\beta}] -
   \frac{\partial }{\partial X^\beta}[\Gamma^\gamma_{\alpha\rho}] +
  \Gamma^\gamma_{\mu\rho}~\Gamma^\mu_{\alpha\beta} - 
  \Gamma^\gamma_{\mu\beta}~\Gamma^\mu_{\alpha\rho} = 0
</math>
其中<math>\Gamma^k_{ij}</math>表示第二类[[克里斯托费尔符号]]，<math>R^m_{ijk}</math>则表示[[黎曼曲率张量|黎曼－克里斯托费尔曲率张量]]。

== 参考文献 ==
{{reflist}}

[[Category:连续介质力学]]