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'''库塔-儒可夫斯基定理'''（'''Kutta–Joukowski theorem'''）是[[空气动力学]]的基本定理，計算機翼或是二維物體（例如[[圓柱]]）在均勻流體中的[[升力]]，且此流場的速度夠快，使物體的速度場是穩定及無分離的。定理顯示出，機翼產生的升力與機翼通過[[流體]]的[[速度]]、流體[[密度]]以及[[环量]]有所關聯<ref name="Glenn">{{cite web |url=http://www.grc.nasa.gov/WWW/K-12/airplane/cyl.html |title=Lift on rotating cylinders |publisher=NASA Glenn Research Center |date=2010-11-09 |accessdate=2013-11-07 |archive-url=https://web.archive.org/web/20140111061848/http://www.grc.nasa.gov/WWW/K-12/airplane/cyl.html |archive-date=2014-01-11 |dead-url=yes }}</ref>。库塔-儒可夫斯基定理得名自德國科學家[[馬丁·威爾海姆·庫塔]]及俄國科學家[[尼古拉·葉戈羅維奇·茹科夫斯基]]，他們在二十世紀初首次提出這様的概念。库塔-儒可夫斯基定理是考慮壓力及升力的[[無粘性流|無粘性]]理論，不過在典型的空氣動力學應用中，可以用來模擬實際的黏性流。

對於圍繞機翼的流體，[[环量]]被定義為與閉合回路相切的「流體切線速度的[[曲线积分|線積分]]」<ref>Anderson, J.D. Jr., ''Introduction to Flight,'' Section 5.19, McGraw-Hill, NY (3rd ed. 1989.)</ref>，其速度的大小及方向會沿著路徑而改變。

库塔-儒可夫斯基定理建立升力和环量的關係，類似[[馬格努斯效應]]建立旋轉和側向力的關係一樣<ref name="Glenn">{{cite web |url=http://www.grc.nasa.gov/WWW/K-12/airplane/cyl.html |title=Lift on rotating cylinders |publisher=NASA Glenn Research Center |date=2010-11-09 |accessdate=2013-11-07 |archive-url=https://web.archive.org/web/20140111061848/http://www.grc.nasa.gov/WWW/K-12/airplane/cyl.html |archive-date=2014-01-11 |dead-url=yes }}</ref>。不過此處的环量不是因為機翼的旋轉而產生，而是因為以下提及的機制而產生。由於機翼的存在，氣流的變化可以視為平移流場及旋轉流場（[[渦旋]]）的[[疊加原理|疊加]]。此旋轉流是由翼型的外傾角、攻角及銳利的後緣角所產生，不同於外形像[[龍捲風]]的[[渦旋]]。若離機翼夠遠時，旋轉流可以視為是由渦旋所引發的，渦旋的中心線平行二維平面。在描述[[機翼]]的库塔-儒可夫斯基定理時，一般會假設機翼是圓柱形或是其他的[[茹科夫斯基變換|茹科夫斯基翼型]]。

==升力公式==
此定理和在二維流場中的[[翼型]]（或是[[翼展]]無窮大的圓柱）有關，可以計算單位翼展下的升力。當环量<math>\Gamma\,</math>已知，其升力<math>L\,</math>除以翼展下的單位翼展升力（或表示為<math>L'\,</math>）可以表示為以下的方程式<ref>Clancy, L.J., ''Aerodynamics'', Section 4.5</ref>：
{{NumBlk|:|<math>L^\prime = -\rho_\infty V_\infty\Gamma,\,</math>|{{EquationRef|1}}}}
其中
:<math>\rho_\infty\,</math>及<math>V_\infty\,</math>分別為流體密度及在翼型上游，遠離翼型位置的流體速度，<!--airfoil which is now regarded fix on a body fixed frame-->
:<math>\Gamma\,</math>為以下[[線積分]]定義的环量（逆時針為正值）

:<math>\Gamma= \oint_{C} V \cdot d\mathbf{s}=\oint_{C} V\cos\theta\; ds\,</math>

上述环量是沿著一個封閉圍道<math>C</math>進行，此圍道包覆著翼型或是圓柱，且沿著其正方向（逆時針）進行。其路徑需在[[位流]]的範圍內，不能在圓柱的[[邊界層]]內。被積分式<math>V\cos\theta\,</math>是局部流體速度沿著曲線<math>C\,</math>切線方向的分量，且<math>ds\,</math>為曲線<math>C\,</math>的無窮小面積。方程式{{EquationNote|1|(1)}}是库塔-儒可夫斯基定理中的一個形式。

Kuethe和Schetzer用以下的話描述库塔-儒可夫斯基定理：<ref>A.M. Kuethe and J.D. Schetzer, ''Foundations of Aerodynamics'', Section 4.9 (2nd ed.)</ref>
:任意截面積的柱形物體，其單位長度的受力等於<math>-\rho_\infty V_\infty \Gamma</math>，方向和<math>V_\infty.</math>垂直。

在使用库塔-儒可夫斯基定理時，需注意环量<math> \Gamma</math>的計算。

==环量和库塔條件==
一個產生升力的翼型或者具有彎度，或者是在均勻的流體中以一定攻角<math>\alpha>0\,</math>（机翼弦线和平移方向的角度）平移。而且翼型需要有一個銳利的後緣。上述條件類似鳥的翅膀，有銳利的後緣，有彎度，在天空中有一定的攻角。

實際的流體是有黏性的，流體速度在翼型邊緣為零，因此若考慮黏性流體，且以翼型形狀為圍道計算環量，其環量也為零。甚至由翼形上方及下方的流體會在後緣相會，而黏滯耗散會使流體不旋轉。這稱為真實流場的库塔條件。[[普朗特]]發現若[[雷諾數]]<math>Re=\frac{\rho V_{\infty}c_A}{\mu}\,</math>夠大，攻角夠小，翼型夠薄，則流場可以分為靠近機翼小區域的黏滯層（稱為[[邊界層]]），以及其他區域的非黏性流。

库塔和儒可夫斯基發現在計算雷諾數夠大，攻角夠小，厚度夠薄的翼型之壓力和升力時，若假定已考慮库塔條件，可以假設整個流場是非黏性流。這稱為[[位流]]理論，在實務上結果相當接近。在非黏性流施加库塔條件相當於計算环量。

簡單來說，類似鳥翅膀的機翼自然會產生升力，在飛行中的流場滿足库塔條件。若使用位流理論（在計算壓力及升力時假設是非黏性流及無旋轉流，計算阻力時用普朗特邊界層來近似），要求飛行時間符合库塔條件，會得到一個由=库塔-儒可夫斯基定理和環量產生的升力，和實際的升力非常接近。

==推導==
以下有二種推導方式，第一個是基於物理的直覺，較[[启发法|启发]]式的推導，第二種是比較正式及技術式的推導，需要用到[[向量分析]]及[[複變分析]]的知識。

===啟發式的推導===
以較啟發式的說法，考慮一個薄的機翼，其[[翼弦]]為<math>c</math>，有無限長的翼展，在密度為<math>\rho</math>的[[空氣]]中移動。令翼和氣流有一個攻角，使翼的一側的氣流速度為<math>V</math>，另一側的氣流速度為<math>V + v</math>，因此其[[環流]]為

:<math>\Gamma = Vc-(V+ v)c = -v c.\,</math>

機翼兩側的壓力差<math>\Delta P</math>可以由[[伯努利定律]]求得

:<math>\frac {\rho}{2}(V)^2 + (P + \Delta P) = \frac {\rho}{2}(V + v)^2 + P,\,</math>

:<math>\frac {\rho}{2}(V)^2 + \Delta P = \frac {\rho}{2}(V^2 + 2 V v + v^2),\,</math>

:<math>\Delta P = \rho V v \qquad \text{(ignoring } \frac{\rho}{2}v^2),\,</math>

因此單位翼展的浮力為

:<math>L = c \Delta P = \rho V v c =-\rho V\Gamma.\,</math>

此理論的[[微分]]版本可應用在機翼中的每一個元素，也是薄翼理論（thin-airfoil theory）的基礎。

===正式的推導===
:{| class="toccolours collapsible collapsed" width="60%" style="text-align:left"
!库塔-儒可夫斯基定理的正式推導
|-
|首先先計算任何截面積、單位長度的長條物體在流體中的受力<ref>Batchelor, G. K., ''An Introduction to Fluid Dynamics'', p 406</ref>。先令單位長度的力（以下簡稱為力）為<math>\mathbf{F}\,</math>，因此總受力為：

: <math> \mathbf{F}=-\oint_C p \mathbf{n}\, ds, </math>

其中''C''為長條物體的邊緣、<math>p</math>為流體的{{link-en|靜壓|Static pressure}}、<math>\mathbf{n}\,</math>為和長條物體表面垂直的[[單位向量]]、''ds''是截面積邊緣的弧狀元素。令<math>\phi</math>為法向量和垂直的夾角，上述力的分量為：

: <math> F_x= -\oint_C p \sin\phi\, ds \quad, \qquad F_y= \oint_C p \cos\phi\, ds. </math>

以下是重要步驟：將上述的二維空間當作[[複數平面]]，每個向量可以用[[复数 (数学)|複數]]表示，第一個分量對應其實部數值，第二個分量對應其虛部數值，因此上述的力可以表示為：

: <math>F=F_x+iF_y=-\oint_Cp(\sin\phi-i\cos\phi)\,ds .</math>

下一步是取力<math>F</math>的[[共轭复数]]，再做一些處理：

: <math>\bar{F}=-\oint_C p(\sin\phi+i\cos\phi)\,ds=-i\oint_C p(\cos\phi-i\sin\phi)\, ds=-i\oint_C p e^{-i\phi}\,ds.</math>

表面元素''ds''和''dz''的變化有關：

: <math> dz=dx+idy=ds(\cos\phi+i\sin\phi)=ds\,e^{i\phi} \qquad \Rightarrow \qquad d\bar{z}=e^{-i\phi}ds.</math>

將這些代入積分中，可得：

: <math> \bar{F}=-i\oint_C p \, d\bar{z}.</math>

接下來為了將壓力移出積分以外，應用[[伯努利定律]]。假設沒有其他外在的力場，流體的質量密度為<math>\rho.</math>，壓力<math>p</math>和速度<math> v=v_x+iv_y</math>有以下的關係：

: <math>p=p_0-\frac{\rho |v|^2}{2}. </math>

將上式代入力的積分式，可得：

: <math> \bar{F}=-ip_0\oint_C d\bar{z} +i \frac{\rho}{2} \oint_C |v|^2\, d\bar{z} = \frac{i\rho}{2}\oint_C |v|^2\,d\bar{z}.</math>

還剩下一個步驟要進行：引入<math>w=f(z),</math>，流場的複變勢函數，和速度分量的關係是<math> w'=v_x-iv_y=\bar{v},</math>，其中[[撇号]]表示對複數變數''z''的微分。速度會相切於邊緣''C''，因此<math> v=\pm |v| e^{i\phi}.</math>，則<math> v^2d\bar{z}=|v|^2dz, \,</math>，受力的表示式可以改寫為下式：

: <math> \bar{F}=\frac{i\rho}{2}\oint_C w'^2\,dz,</math>

稱為[[布拉乌斯-恰普雷金公式]]（[Blasius–Chaplygin formula）。

若要得到库塔-儒可夫斯基定理，需計算上述積分的值，根據複變分析可知，一個[[全纯函数]]可以用[[洛朗級數]]來表示，根據此問題的物理特性，複變勢函數<math>w</math>的微分會如以下所示：

: <math> w'(z)=a_0+\frac{a_1}{z}+\frac{a_2}{z^2}+\dots .</math>

因為在無窮遠處的速度為有限值，此函數沒有其他高階項。因此<math>a_0\,</math>即為此函數在無窮遠處的導數：<math>a_0=v_{x\infty}-iv_{y\infty}\,</math>. 
下一個任務是找出<math>a_1\,</math>的意義，根據[[留數定理]]可得

: <math> a_1=\frac{1}{2\pi i} \oint_C w'\, dz. </math>

再計算以下的積分：

: <math> \oint_C w'(z)\,dz =\oint_C (v_x-iv_y)(dx+idy)= \oint_C (v_x\,dx+v_y\,dy)+i\oint_C(v_x\,dy-v_y\,dx)=\oint_C \mathbf{v}\,{ds} +i\oint_C(v_x\,dy-v_y\,dx).</math>

第一個積分即為[[环量]]，可以用<math>\Gamma.</math>表示，第二個積分可以用以下方式計算：

: <math>\oint_C(v_x\,dy-v_y\,dx)=\oint_C\left(\frac{\partial \psi}{\partial y}dy+\frac{\partial\psi}{\partial x}dx\right)=\oint_C d\psi=0.</math>

此處<math>\psi\,</math>為{{link-en|流函數|stream function}}，因為邊界C本身即為流線，因此在上面流函數不會變化，即<math>d\psi=0 \,</math>，因此第二個積分為零，因此：

:<math>a_1=\frac{\Gamma}{2\pi i}.</math>

複變勢函數取平方：

: <math>w'^2(z)=a_0^2+\frac{a_0\Gamma}{\pi i z} +\dots.</math>

將上式代入布拉乌斯-恰普雷金公式中，利用留數定理算積分：

: <math> \bar{F}=\frac{i\rho}{2}\left[2\pi i \frac{a_0\Gamma}{\pi i}\right]=i\rho a_0 \Gamma = i\rho \Gamma(v_{x\infty}-iv_{y\infty})=\rho\Gamma v_{y\infty}+ i\rho\Gamma v_{x\infty}=F_x-iF_y.</math>

因此库塔-儒可夫斯基定理為：

: <math>F_x=\rho \Gamma v_{y\infty} \quad, \qquad F_y= -\rho \Gamma v_{x\infty}. </math>
|}

==較複雜情形下的升力==
库塔-儒可夫斯基定理預測的升力是以[[無粘性流]]的[[勢流]]理論為基礎，但若流場是穩定且無分離的，库塔-儒可夫斯基定理的結果很接近實際的黏性流<ref>Anderson J  Fundamentals of Aerodynamics, Mcgraw-Hill Series in Aeronautical and Aerospace Engineering, McGraw-Hill Education, New York 2010</ref>。

在推導库塔-儒可夫斯基定理時，有假設流場是無旋轉流，若在物體外有自由渦流，就像許多不穩定流的情形，此流場為旋轉流，在推導升力時就需要一些更複雜的理論。

*小攻角下突然啟動的流場：若是機翼突然加速，或是攻角較小的情形下突然啟動的流場，在機翼後緣會連續的出現{{link-en|涡片|vortex sheet}}泄离，此時的升力是時變不穩定的。若是小攻角下啟動的流場，涡片會延著平面的路徑，[[升力係數]]的曲線會隨時間而變化，其形式會是Wagner函數<ref>Wagner H  Uber die Entstehung des dynamischen Auftriebes von Tragflueln. Z. Angew. Math. Mech.1925, 5, 17.</ref>。此時最終升力會如同库塔-儒可夫斯基定理所預測的一樣，但初升力只有最終升力的一半<ref name="ReferenceA">Saffman PG Vortex dynamics, Cambridge University Press, New York, 1992 .</ref>。當機翼前進七倍翼弦的距離時，其升力才會達到最終升力的90%。

*大攻角下突然啟動的流場：若攻角夠大的話，機翼後緣的涡片一開始會是螺旋形的，理論升力在一開始會是無限大<ref>Graham JMR，The lift on an aerofoil in starting flow |publisher= Journal of Fluid Mechanics, 1983, vol 133, pp 413-425</ref>。一般認為升力的曲線是隨時間單調遞增的，但在大攻角下，會有一段很短暫的時間會有升力下降的情形。

*大攻角下啟動，有銳利的機翼前緣：若針對一片平粄，也有銳利的前緣，涡片泄离會出現在前緣，而前緣的涡片泄离有二種不同的效果：
:1.若仍接近前緣，可以提昇Wagner升力曲線，可以增加升力。
:2.若前緣的涡片泄离和後緣有關，引入新的後緣螺旋形涡片，延著升力增加的方向移動，則會破壞升力。
:對於這種流場，涡升力线（VFL）圖<ref name=LW>{{cite web|last=Li J and Wu ZN|title= Unsteady lift for the Wagner problem in the presence of additional leading trailing edge vortices |url=http://dx.doi.org/10.1017/jfm.2015.118 |publisher=Journal of Fluid Mechanics,  2015, Vol 769,  pp 182 - 217.}}</ref>可以用來了解不同情形下涡流帶來的效果（包括流場啟動及其他的條件），也可以控制涡流以增強或降低升力。涡升力线圖是一個二維的圖，其中會繪出涡升力线，其對升力的貢獻和其速度、環量及渦升力線和流線的餘弦成正比，因此渦升力線可以看出涡流對升力的提升或破壞程度。

*Lagally定理：若在機翼外面有固定的渦源，其對升力的修正可以表示為渦源的強度，及因其他因素造成渦源處誘導速度，這稱為Lagally定理。<ref>Milne-Thomson LM  Theoretical Hydrodynamics[p226], Macmillan Education LTD, Hong Kong.1968</ref>。
:針對二相的非黏性流，傳統的库塔-儒可夫斯基定理預測阻力為零，不過若機翼外有渦源，會產生阻力，其形成原因類似升力。

==相關條目==
*[[馬格努斯效應]]
*[[马蹄形旋涡]]
*[[升力係數]]
*[[庫塔條件]]
*[[翅膀]]

==參考資料==
{{reflist}}

* Batchelor, G. K. (1967) ''An Introduction to Fluid Dynamics'', Cambridge University Press
* Clancy, L.J. (1975), ''Aerodynamics'', Pitman Publishing Limited, London ISBN 0-273-01120-0
* A.M. Kuethe and J.D. Schetzer (1959), ''Foundations of Aerodynamics'', John Wiley & Sons, Inc., New York ISBN 0-471-50952-3

[[Category:空气动力学]]
[[Category:流体动力学]]
[[Category:物理定理]]