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[[File:Lattice of the divisibility of 60.svg|thumb|250px|60的所有除数的集合的[[哈斯图]]，按整除性部分有序]]
'''序理论'''是研究捕获数学排序的[[直觉]]概念的各种[[二元关系]]的[[数学]]分支。

== 背景和动机 ==
次序无所不在——至少在数学和相关领域比如[[计算机科学]]是这样。你典型遇到的第一个次序是[[小学]]数学教育中的[[自然数]]的次序。这个直觉概念很容易扩展到其他[[数]]的集合的排序，比如[[整数]]和[[实数]]。实际上大于或小于另一个数的概念一般是数系统的基本直觉（尽管你通常还感兴趣于两个数实际的[[差]]，它不能由这个次序给出）。排序的另一个非常熟悉的例子是词典中[[词典次序]]。

上述类型的次序有特殊性质：每个元素都是可以“比较”于另一个元素，就是说，它或者大于、或者小于、或者等于另一个元素。但是，这不总是想要的要求。一个周知的例子是[[集合 (数学)|集合]]的[[子集]]排序。如果一个集合<math>A</math>包含集合<math>B</math>的所有元素，则''<math>B</math>''被称为小于等于''<math>A</math>''。然而有些集合不能在这种方式来比较，因为其中每个都包含着其他集合中不存在的某些元素。所以，子集包含是'''[[偏序|偏]]'''次序，对立了前面给出的'''[[全序|全]]'''次序。

序理论在一般性架构下捕获了上述例子引发的直觉次序。这是通过指定[[关系 (数学)|关系]]<math>\leq</math>必须是数学上次序的一些性质来完成的。这种更加抽象的方式更有意义，因为你可以从一般性架构推导出各种定理，而不用关心任何特定次序的细节。这种洞察可以容易的转换到很多具体应用中。

由次序的各种实践使用所驱动，已经定义了多个特殊种类的有序集合，其中某些已经发展出自己的数学领域。此外，序理论不限制于各种种类的排序关系，还考虑在它们之间的适当的[[函数]]。函数的序理论的性质的一个简单例子来自在[[数学分析]]中常见的[[单调函数]]。

== 基礎定義 ==
此部分我們建立一些概念作為導引：[[集合論]]、[[算術]]和[[二元關係]]。

=== 偏序集合 ===<!-- 此章節連結自[[無差異曲線]] -->
序是特別的二元關係。假定<math>P</math>是一集合，且<math>\leq</math>是在''<math>P</math>''的關係，則<math>\leq</math>是個'''偏序'''當他是[[自反關係|自反的]]，[[反對稱關係|反對稱的]]，且[[遞移關係|遞移的]]，則，對於所有<math>a,b</math>和<math>c</math>於''<math>P</math>''，皆能滿足：

:<math>a\leq a</math>（自反的）
:如果<math>a\leq b</math>并且<math>b\leq a</math>則<math>a=b</math>（反對稱性）
:如果<math>a\leq b</math>并且<math>b\leq c</math>則<math>a\leq c</math>（遞移性）

一個[[偏序集合|偏序]]性質的集合稱為'''偏序集合'''、'''poset'''或是'''有序集合'''（當其所強調的意指明確）。藉由查看這些性質，我們能知道在自然數、整數、有理數、以致於實數皆有明確的序關係。當然，它們還有額外的性質成為'''[[全序關係|全序]]'''，即在''<math>P</math>''中對於每一個''a''和''b''皆能滿足：

:<math>a\leq b</math>或<math>b\leq a</math>（全序性）

這些序又稱為'''線性序'''或'''鏈'''。當許多典型序為線性，集合內的有序子集合會發生不滿足此性質的例子。另一個例子為給定一個整除性關係"<math>|</math>"。對於兩個數<math>n</math>和<math>m</math>，當<math>m</math>除以<math>n</math>未留餘數時，我們書寫為<math>n|m</math>，我們可輕易的明白這是一個偏序關係。非常多進階的性質主要在於非線性序中。

== 参考文献 ==
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* B. A. Davey and H. A. Priestley, 2002. ''Introduction to Lattices and Order'', 2nd ed. Cambridge University Press. ISBN 0-521-78451-4
: A good contemporary introduction to the subject. Suitable for undergraduates.
* G. Gierz, K. H. Hofmann, K. Keimel, J. D. Lawson, M. Mislove, and D. S. Scott, 2003, "Continuous Lattices and Domains," in ''Encyclopedia of Mathematics and its Applications'', Vol. 93, Cambridge University Press. ISBN 0-521-80338-1
: The comprehensive new version of the famous "Compendium" of continuous lattices. Assumes some advanced mathematical background.
* S. N. Burris and H. P. Sankappanavar, 1981. ''[http://www.thoralf.uwaterloo.ca/htdocs/ualg.html A Course in Universal Algebra.]{{Wayback|url=http://www.thoralf.uwaterloo.ca/htdocs/ualg.html |date=20050123031934 }}'' Springer Verlag.
: A free online introduction to universal algebra, with much material on lattices.
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== 外部链接 ==
*[http://www.apronus.com/provenmath/orders.htm Orders at ProvenMath]{{Wayback|url=http://www.apronus.com/provenmath/orders.htm |date=20061011211620 }} partial order, linear order, well order, initial segment; formal definitions and proofs within the axioms of set theory.

== 参见 ==
{{Portal box|数学}}
* [[格 (数学)]]
* [[域理论]]
* [[偏序关系]]
* [[全序关系]]
* [[预序关系]]

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{{Authority control}}

[[Category:序理论| ]]
[[Category:组织行为]]