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我們可在序數上定義-{若干}-[[算術]]運算，這是對自然數運算的推廣。 ==加法== 給出序數 ''S'' 與 ''T''，在 {(s,0):s ∈ ''S''} ∪ {(t,1):''t'' ∈ ''T''} 定義以下的良序關係：(a,δ)<(b,β) ⇔ δ<β 或 (δ=β 而 a<b)。 假設 ''S'' 與 ''T'' 不相交，這等於考慮 ''S'' ∪ ''T''，而 ''S'' 的元素定義為小於 ''T'' 的元素。這良序集對應的序數記作 ''S''+''T''，稱為序數和。 序數和適合[[結合律]]，即 (''S''+''T'')+''R''=''S''+(''T''+''R'')。 第一個超窮序數是 ω，自然數集的序數。ω+ω 就像 :0 < 1 < 2 < 3 < ... < 0' < 1' < 2' < ... 這不同於 ω。 在 ω 只有 0 沒有直接前導者，而在 ω+ω 0 and 0' 都沒有直接前導者。 3 + ω 就像 :0 < 1 < 2 < 0' < 1' < 2' < ... 稍一留心，會發覺這與 ω 沒有分別，是以 3 + ω = ω。而 ω + 3 就像 :0 < 1 < 2 < 3 < ... < 0' < 1' < 2' 卻是不同於 ω 原因它有個最大元。是以序數和不符[[交換律]]。 讀者可試證 (ω + 4) + ω = ω + (4 + ω) = ω + ω。 ==乘法== 給出序數 ''S'' 與 ''T''，在[[笛卡儿积]] ''S'' × ''T''上定義以下的良序關係：(a,δ)<(b,β) ⇔ δ<β 或 (δ=β 而 a<b)。對應的序數記作 ''ST''，稱為序數積。 序數積適合[[結合律]]，即 (''ST'')''R''=''S''(''TR'')。 序數積也不符合[[交換律]]。舉例，ω2 就像: :0<sub>0</sub> < 1<sub>0</sub> < 2<sub>0</sub> < 3<sub>0</sub> < ... < 0<sub>1</sub> < 1<sub>1</sub> < 2<sub>1</sub> < 3<sub>1</sub> < ... 於是 ω2 = ω + ω。但 2ω 卻是: :0<sub>0</sub> < 1<sub>0</sub> < 0<sub>1</sub> < 1<sub>1</sub> < 0<sub>2</sub> < 1<sub>2</sub> < 0<sub>3</sub> < 1<sub>3</sub> < ... 可見 2ω = ω ≠ ω2。 [[分配律]]只是部分成立。有 ''R''(''S''+''T'') = ''RS'' + ''RT'' 但沒有 (''T''+''U'')''R'' = ''TR'' + ''UR''：(1+1)ω=2ω = ω 但 1ω + 1ω=ω+ω。 ==幂== 給出序數 ''S'' 與 ''T''，幂數 ''S''<sup>''T''</sup> 是指 {''S''<sup>''R''</sup> : ''R'' < ''T''}的[[最小上界]]。當然有 ''S''<sup>0</sup>=1，''S''<sup>1</sup>=''S''，''S''<sup>2</sup>=''S''×''S''，''S''<sup>3</sup>=''S''×''S''×''S''，……。 第一個無限序數是 ω，第一個不能由 ω 有限引伸而成的序數是 ε<sub>0</sub>。對多數利用[[超窮歸納法]]的證明，ε<sup>0</sup>已經足夠。要知道 <math>\epsilon_0 = \omega^{\omega^{\omega^{\cdots}}}</math> 且 <math>\epsilon_0 = \omega^{\epsilon_0}</math>。 ==康托尔范式== 任一序數 <math>\alpha>0</math> 可以寫成 <math>\omega^{\beta_1} c_1 + \omega^{\beta_2}c_2 + \ldots + \omega^{\beta_k}c_k</math>，當中 <math>k, c_1, c_2, \ldots, c_k</math> 為正整數而 <math>\beta_1 > \beta_2 > \ldots > \beta_k \ge 0</math> 為序數。此分解稱為 <math>\alpha</math> 的'''康托尔范式'''(Cantor normal form)，可以看作是個 ω 進制的[[记数系统]]，而 <math>\beta_1</math> 叫作 <math>\alpha</math> 的次數。一般來說，<math>\beta_1\le\alpha</math>；但若然 <math>\alpha<\epsilon_0</math>, 就有 <math>\beta_1<\alpha</math>, 並可得出一個只有自然數及 ωs 的表達式。 注意，給出基數 ''S'' 與 ''T''（基數也是序數），''S''<sup>''T''</sup> 代表的序數和它代表的基數是不同的！當然，''T'' 是自然數時例外。 最小的[[不可數]]序數記作 ω<sub>1</sub>。 ==參考條目== *[[首個不可數序數]] == 引用 == *Jech, Thomas, 2003. ''Set Theory: The Third Millennium Edition, Revised and Expanded''. Springer. ISBN 3-540-44085-2. *Kunen, Kenneth, 1980. ''Set Theory: An Introduction to Independence Proofs''. Elsevier. ISBN 0-444-86839-9. [[Category:序数]]
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