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[[数学]]上，'''序拓撲'''是可以定義在任意[[全序集]]上的[[拓扑学|拓扑结构]]。 此為將[[实数]]的拓撲結構推廣到任意全序集上所得。 具有此種拓撲結構的拓撲空間稱為'''序空間'''。

如果 ''X'' 為全序集，則 ''X'' 的'''序拓扑'''由無界開區間
: <math> (a,\infty )=\{x\mid a<x\} </math>
: <math> (-\infty ,b)=\{x\mid x<b\} </math>
組成的[[基 (拓撲學)|準基]]生成，其中 ''a,b'' 取遍 ''X ''的所有元素。這等價於，開[[區間|區间]]
: <math> (a,b)=\{x\mid a<x<b\} </math>
連同上述無界開區間組成序拓撲的一組[[基 (拓撲學)|基]]，換言之， ''X'' 內的開集可寫成該些開區間和無界開區間的（允許無窮）[[并集|並]]。

若可對一个[[拓扑空间]] ''X'' 的元素定義一個全序，使得該全序給出的序拓撲就是 ''X'' 自身的拓撲，則称 ''X'' 为'''可序化的''' 。 ''X'' 上的序拓撲使 ''X'' 成為一個[[正规空间|完全正規的]][[豪斯多夫空间]]。

[[实数|實數集]] <math>\mathbb{R}</math>、[[有理數|有理數集]] <math>\mathbb{Q}</math>、[[整數|整數集]] <math>\mathbb{Z}</math> 和[[自然數|自然數集]] <math>\mathbb{N}</math> 上的'''標準拓撲'''均為序拓撲。然而，[[無理數|無理數集]] <math>\mathbb{R} \setminus \mathbb{Q}</math> 上的標準拓樸並不是序拓樸。
== 誘導拓扑 ==
若 ''Y'' 為 ''X ''的子集，則 ''Y'' 继承了 ''X ''的全序。''Y'' 因此具有序拓扑结构， 稱為'''导出拓扑'''。作为 ''X ''的子集，''Y'' 还有一个[[相對化拓撲|子空间拓扑]]。子空间拓撲至少比誘導拓撲更[[拓撲比較|精細]]，但一般情況下它们不相同。

例如，考虑有理數集的子集 ''Y'' ={-1} &#x222A; {1/''n''}<sub>''n''&#x2208;'''N'''</sub> 。 在子空间拓扑中，單元集 {-1} 在 ''Y ''中是開集，但在诱导拓扑中，任何含有 -1 的開集都必须包含 ''Y ''（除有限個以外）的所有元素。

== 全序空間的子空间拓撲不一定可序化 ==
虽然上述 ''Y'' ={-1} &#x222A; {1/''n''}<sub>''n''&#x2208;'''N'''</sub> 的子空間拓撲不是由 ''Y ''的誘導排序產生，它仍是 ''Y ''上的序拓撲；事实上，在子空间拓撲中，每一点都是孤立的（即，單元集 {''y''} 是 ''Y ''的開集），故子空间拓扑是 ''Y'' 上的離散拓撲（使得每一个子集都是'' Y'' 的开集)，而任何集上的离散拓扑都是序拓扑。要定义 ''Y'' 的全序使得其产生的序拓扑是 ''Y ''上的離散拓撲，只需修改 ''Y'' 上的誘導排序，使得 -1 是最大的元素，並保持其他元素的大小次序。於是，在新的排序（称為 ''<''<sub>''1''</sub> ）中，有 1/''n'' ''<''<sub>''1''</sub> -1 對任意 ''n''&#x2208;'''N '''均成立。這樣，''<''<sub>''1''</sub> 在 ''Y'' 中給出的序拓撲是離散的。

以下將定義一個序空間 ''X'' 及其子集 ''Z'' ，使得不存在 ''Z'' 上的全序給出一個序拓撲與 ''Z'' 的子空間拓撲完全一樣。換言之，儘管該子空間拓撲為某序空間的子空間拓撲，其不為序拓撲。

取 <math>Z = \{-1\}\cup (0,1) </math> 為實數軸的子集。同上可知，''Z'' 上的子空间拓扑不等于 ''Z'' 上诱导的序拓扑。且可證，''Z ''上的子空间拓扑不等于 ''Z'' 上的任何序拓扑。

用反證法。假设 ''Z'' 有一個[[全序关系|严格全序]] < ，使得 < 給出的序拓撲等于 ''Z'' 的子空間拓撲（注意，並未假定 < 是 ''Z'' 上的誘導排序，即 < 可以是任意一种新的全序）。區間也相應地按 < 理解，下同。 此外，如果 ''A'' 和 ''B'' 是集合，則 <math> A<B </math> 表示：對任意 ''A'' 的元素 ''a'' 和 ''B'' 的元素 ''b'' ，都有 <math> a<b </math> 。

設 ''M''=''Z'' \{-1} 為單位開區間，則 ''M'' 連通。若'' m,n'' &#x2208; ''M ''且 ''m''<-1<''n ，''則 <math>(-\infty, -1)</math> 和 <math>(-1, \infty)</math> 是 ''M ''的分隔，矛盾。因此，''M''<{-1} 或者 {-1}<''M'' 。不妨設 {-1}<''M 。''因 {-1} 是 ''Z'' 的開集，存在 ''M'' 中的一點 ''p'' 使得 (-1,'' p'' ) 為空。又因 {-1}<''M ，''-1 是唯一小于 ''p'' 的元素，因此 ''p'' 是 ''M'' 中最小的。但這樣，''M'' \ {''p''}=''A'' &#x222A; ''B''，其中 ''A ''和 ''B'' 是實軸上不相交的兩個開集（從實軸上的開區間去除一点，剩下的是兩個開區間）。由連通性，没有 ''Z'' \''B'' 中的點在排序後介於 ''B'' 的兩點之間，也没有 ''Z'' \''A'' 中的點在排序後介於 ''A'' 的兩點之間。因此，任何一个 ''A''<''B'' 或 ''B''<''A''. 又不妨設 ''A''<''B''. 如果 ''a'' 為 ''A'' 中任何一点，則 ''p''<''a'' ，且 (''p'','' a'')<math>\subseteq</math>''A''. 又 (-1, ''a'') = [''p'', ''a'')，因此 [''p'', ''a'') 是开集。而 {''p''}&#x222A;''A'' = [''p'', ''a'')&#x222A;''A''，因此 {''p ''}&#x222A;''A'' 是 ''M ''的開子集，因此 ''M'' = ({''p'' }&#x222A;''A'') &#x222A; ''B'' 把 ''M'' 分割成兩個不相交的開集，這與 ''M'' 連通矛盾。

拓撲結構為序拓撲的空間稱為'''序空間'''，而序空间的子空間称为'''廣義序空间'''。因此，以上例子 ''Z'' 是一个廣義序空间，但不是一個序空間。

== 左、右序拓扑 ==
類似的拓扑结构有：
* ''X ''上的'''右序拓扑'''，其具有 (''a'', &#x221E;) 形式的開集（包括 (-&#x221E;, &#x221E;) ）。<ref>Steen, [https://books.google.com/books?id=DkEuGkOtSrUC&printsec=frontcover&source=gbs_v2_summary_r&cad=0#v=onepage&q=&f=false p. 74] {{Wayback|url=https://books.google.com/books?id=DkEuGkOtSrUC&printsec=frontcover&source=gbs_v2_summary_r&cad=0#v=onepage&q=&f=false |date=20190605161749 }}.</ref>
* X 上的'''左序拓扑'''，其具有 (−∞, ''b'') 形式的開集（包括 (-∞, ∞) ）。

左序拓撲和右序拓扑可作為點集拓扑學上的一些反例。例如，有界集上的左序拓撲或右序拓扑是[[紧空间]]，但不是[[豪斯多夫空间|豪斯多夫的]]。

集合論裏，左序拓扑給出一個[[布尔代数|布尔代數]]上的標準拓撲。

== 序數空间 ==
对于任何[[序数]] &#x3BB; ，序數集

:<math>[0,\lambda) = \{\alpha \mid \alpha < \lambda\}</math>
:<math>[0,\lambda] = \{\alpha \mid \alpha \le \lambda\}</math>

具有自然的序拓撲結構。这種拓撲空間空间称为'''序數空间'''。（注意，按照集合論通常構造序數的方法，有 &#x3BB; =[0,&#x3BB;) 和 &#x3BB; +1=[0,&#x3BB;] ）显然，當 &#x3BB; 為無窮序數時，情況較複雜；否则，對於有限的序數，其序拓扑是简单的[[离散空间|离散拓扑]]。

当 &#x3BB; = &#x3C9; （最小的无窮序數）時，空间 [0,&#x3C9;) 只是 '''N''' 及其往常的離散拓扑，而 [0,&#x3C9;] 則是[[紧化|單點緊化]]的 '''N''' 。

{{main|首個不可數序數}}
當 &#x3BB; = &#x3C9;<sub>1</sub> （即所有可数序數組成的集合）時，情況有所不同。元素 &#x3C9;<sub>1</sub> 是子集 [0,&#x3C9;<sub>1</sub>) 的[[极限点]]，但不存在 [0,&#x3C9;<sub>1</sub>) 中的序列以 &#x3C9;<sub>1</sub> 为極限。確切地說，[0,&#x3C9;<sub>1</sub>]不是[[第一可數空間|第一可数]]的。然而，子空间 [0,&#x3C9;<sub>1</sub>) 是第一可数的，因為唯一無可数[[邻域系]]的點是 &#x3C9;<sub>1</sub>. 其他性質包括
* [0,&#x3C9;<sub>1</sub>) 和 [0,&#x3C9;<sub>1</sub>] 皆不[[可分空间|可分]]，也不[[第二可數空間|第二可数]]。
* [0,&#x3C9;<sub>1</sub>] 是[[紧空间|紧的]]，同时 [0,&#x3C9;<sub>1</sub>) [[序列緊]]且[[可数紧]]，但不是緊的，也不是[[仿紧空间|仿緊的]]。

== 参見 ==
* [[長直線]]

== 參考資料 ==
<references />

{{点集拓扑}}
[[Category:点集拓扑学]]
[[Category:序理论]]
[[Category:序数]]
[[Category:拓扑空间]]