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在[[數學]]上, 若一個[[拓撲空間]]裏，每個[[序列|無窮序列]]都有[[極限 (數列)|收斂]][[子序列]]，則稱該拓撲空間'''序列緊'''（{{lang-en|sequentially compact}}）。
雖然對於[[度量空間]]，[[緊空間|緊]]等價於序列緊，但是對於一般的拓撲空間來說，'''緊'''（{{lang-en|compact}}）和序列緊是兩個不等價的性質。

== 例子和性質 ==

[[實數軸]]上的[[实数#拓撲性質|標準拓撲]]不是序列緊的，例如 {{nowrap|(''s<sub>n</sub>'' {{=}} ''n'')}} 便是一個沒有收斂子序列的序列。但由[[波爾查諾－魏爾斯特拉斯定理]]可知所有<math>\mathbb{R}</math>上的閉區間導出的[[子空間拓撲]]都是序列緊的。

對於度量空間，序列緊與緊等價。<ref>Willard, 17G, p. 125.</ref> 然而，一般情況下，存在序列緊而非緊的拓撲空間，比如具有[[序拓撲]]的[[首個不可數序數]]，也存在緊而非序列緊的拓撲空間，比如由 <math>2^{\aleph_0}=\mathfrak c</math> 多個[[區間|單位閉區間]]組成的[[積空間]]。<ref>Steen and Seebach, Example '''105''', pp. 125—126.</ref>

== 有關概念 ==
*若拓撲空間 ''X'' 的任意無窮子集都有一個[[極限點]]在 ''X'' 中，則稱 ''X'' 為[[聚點緊]]的。
*若拓撲空間 ''X'' 的任意可數[[覆盖 (拓扑学)|開覆蓋]]都有一個有限子覆蓋，則稱 ''X'' 為[[可數緊]]的。

對於度量空間，序列緊、聚點緊、可數緊、緊都是互相等價的性質。<ref>Munkres, p. 179-180.</ref> 

對於[[序列空間]]，序列緊與可數緊等價。<ref>Engelking, General Topology, Theorem 3.10.31<br> K.P. Hart, Jun-iti Nagata, J.E. Vaughan (editors), Encyclopedia of General Topology, Chapter d3 (by P. Simon)
</ref>

[[緊化#亚历山德罗夫单点紧化|單點緊化]]的構想是，在拓撲空間中加入一點，然後要求所有無收斂子序列的序列都收斂到該額外的點。
<ref>Brown, Ronald, "Sequentially proper maps and a sequential
compactification", J.  London Math Soc. (2) 7 (1973)
515-522.
</ref>例如實數軸的單點緊化<math>\alpha \mathbb{R}</math>，它令所有在標準拓撲不收斂的序列收斂至額外的點，該點又稱為[[無窮遠點]]。

== 相關條目 ==

*[[波爾查諾－魏爾斯特拉斯定理]]

==參考來源==
{{reflist}}

==參考書目==

* {{cite book
 | author = [[詹姆士·雷蒙·芒克勒斯|Munkres, James]]
 | year = 1999
 | title = Topology
 | edition = 2nd
 | publisher = [[Prentice Hall]]
 | isbn = 0-13-181629-2
}}
* [[Lynn Arthur Steen|Steen, Lynn A.]] and [[J. Arthur Seebach, Jr.|Seebach, J. Arthur Jr.]]; ''[[Counterexamples in Topology]]'', Holt, Rinehart and Winston (1970). {{ISBN|0-03-079485-4}}.
*{{cite book | author=Willard, Stephen | title=General Topology | url=https://archive.org/details/generaltopology0000will | publisher=Dover Publications | year=2004 | isbn=0-486-43479-6}}

{{点集拓扑}}
[[Category:点集拓扑学]]
[[Category:拓扑空间性质]]