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{{About|范畴论中的广群|具有单一二元运算的代数结构|原群}}

在[[数学]]中，尤其在[[范畴论]]和[[同伦|同伦论]]中，'''广群'''（groupoid，或勃兰特广群，Brandt groupoid）是对[[群]]的概念的抽象化。广群可被视为：
*以[[偏函数]]取代[[二元运算]]的'''[[群]]'''；
*所有[[态射]]都可逆的'''[[范畴 (数学)|范畴]]'''。这一类范畴可被视作增加了一种[[一元运算]]，与[[群论]]中的逆元相对应。<ref name="dicks-ventura-96">{{cite book|author=Dicks & Ventura|year=1996|title=The Group Fixed by a Family of Injective Endomorphisms of a Free Group|url={{Google books|plainurl=y|id=3sWSRRfNFKgC|page=6|text=G has the structure of a graph}}|page=6}}</ref> 只有一个对象的广群一般是群。

在存在[[依赖类型]]的情况下，一般来说，一个范畴可视作是类型化的[[幺半群]]；广群也可简单视作类型化的群。对象到对象的态射形成类型的依赖族，于是态射可以是类型化的<math>g:A \rightarrow B</math>、<math>h:B \rightarrow C</math>。于是组合是全函数：<math>\circ : (B \rightarrow C) \rightarrow (A \rightarrow B) \rightarrow A \rightarrow C </math>，于是<math>h \circ g : A \rightarrow C </math>。

广群的特例包括：
*'''集合体（Setoid）'''，即带有[[等价关系]]的[[集合_(数学)|集合]]；
*'''[[群作用|G-集合]]'''，即带有''G'' 的[[群作用|作用]]的集合。

广群常用于研究[[流形]]等[[几何]]物体。广群最先由[[海因里希·勃兰特]]于1927年引入，其思想暗含在[[勃兰特半群]]的概念中。<ref>{{SpringerEOM|title=Brandt semi-group|ISBN=1-4020-0609-8}}</ref>

== 定义 ==
广群指的是代数结构<math>(G,\ast)</math>，包含非空集''G''与定义在''G''上的二元[[偏函数]]'<math>\ast</math>'。

=== 代数定义 ===
广群是具备[[一元运算]]<math>{}^{-1}:G\to G,</math>与[[偏函数]]<math>*:G\times G \rightharpoonup G</math>的集合''G''，当中的*不是[[二元运算]]，因为其不一定定义在''G''中所有的元素对上。这里不阐述定义*的确切条件，这些条件因情况而异。

运算*、<sup>−1</sup>有以下公理性质：<math>\forall a,\ b,\ c\in G</math>：
# ''[[结合律]]''：若定义了<math>a*b,\ b*c</math>，则<math>(a * b) * c=a * (b * c)</math>。
# ''[[倒数|逆元]]''：<math>a^{-1} * a</math>、<math>a*{a^{-1}}</math>总有定义。
# ''[[单位元]]''：若定义了<math>a*b</math>，则<math>a*b*{b^{-1}} = a;\ {a^{-1}} * a * b = b</math>。（由前两条性质可推知。）

从中可得到两个简单方便的性质：
* <math>(a^{-1})^{-1} = a</math>；
* 若定义了<math>a*b</math>，则<math>(a*b)^{-1} = b^{-1} * a^{-1}</math>。<ref>

第一个性质的证明：由公理2、3，可知<math>a^{-1}=a^{-1}*a*a^{-1};\ (a^{-1})^{-1}=(a^{-1})^{-1}*(a^{-1})*(a^{-1})^{-1}.</math>将1式代入2式，再应用公理3：<math>(a^{-1})^{-1}=(a^{-1})^{-1}*a^{-1}*a*a^{-1}*(a^{-1})^{-1}=(a^{-1})^{-1}*a^{-1}*a=a.</math>得证。
第二个性质的证明：由于定义了<math>a*b</math>，于是是<math>(a*b)^{-1}*a*b.</math>因此也定义了<math>(a*b)^{-1}*a*b*b^{-1}=(a*b)^{-1}*a</math>。进一步地，由于定义了<math>a*b</math>，有<math>a*b*b^{-1}=a,\ a*b*b^{-1}*a^{-1}</math>也定义了。由公理3可知<math>(a*b)^{-1}=(a*b)^{-1}*a*a^{-1}=(a*b)^{-1}*a*b*b^{-1}*a^{-1}=b^{-1}*a^{-1}.</math>得证。</ref>

===范畴论定义===
广群是小范畴，其中每个[[态射]]都可逆，即是[[同构]]。<ref name="dicks-ventura-96"/>更明确地说，广群''G''是对象集合<math>G_0</math>，其中
* 每对对象''x''、''y''，都有从''x''到''y''的态射（或箭头）的（可能是空）集合<math>G(x,\ y)</math>，其中的元素写作<math>f:\ x\to y;</math>
* 每个对象''x''，<math>G(x,\ x)</math>的指定元素<math>\mathrm{id}_x;</math>
* 对任意三个元素''x''、''y''、''z''都有[[函数]]<math>\mathrm{comp}_{x,y,z} : G(y, z)\times G(x, y) \rightarrow G(x, z): (g, f) \mapsto gf;</math>
* 对任意两个元素''x''、''y''都有函数<math>\mathrm{inv}: G(x, y) \rightarrow G(y, x): f \mapsto f^{-1},\ \forall f:\ x\to y,\ g:\ y\to z,\ h:\ z\to w;</math>
** <math>f\ \mathrm{id}_x = f</math>、<math>\mathrm{id}_y\ f = f;</math>
** <math>(h g) f = h (g f);</math>
** <math>f f^{-1} = \mathrm{id}_y</math>、<math>f^{-1} f = \mathrm{id}_x.</math>
若<math>f\in G(x,\ y)</math>则称''x''为''f''的'''源'''，记作<math>s(f)</math>；''y''称作''f''的'''目标'''，记作<math>t(f)</math>。广群''G''有时记作<math>G_1 \rightrightarrows G_0</math>，当中<math>G_1</math>是所有态射的集合，两个箭头<math>G_1 \to G_0</math>代表源和目标。

更一般地，可以考虑任意范畴中的[[广群对象]]，其允许有限的纤维积。

===定义比较===
代数定义与范畴论定义等价，下面证明。给定范畴论定义广群，令''G''为所有集合<math>G(x,\ y)</math>的[[不交并]]（即''x''到''y''的态射的集合）；则<math>\mathrm{comp}</math>、<math>\mathrm{inv}</math>就成了''G''上的偏运算，而<math>\mathrm{inv}</math>事实上在任意地方都可被定义。我们定义*为<math>\mathrm{comp}</math>、<sup>−1</sup>为<math>\mathrm{inv}</math>，这样就得到了代数定义的广群。可以不再明确提及<math>G_0</math>（及<math>\mathrm{id}</math>）。

反过来，给定代数定义的广群''G''，用<math>\sim</math>定义其元素上的等价关系：
<math>a \sim b</math>，若<math>a*a^{-1}=b*b^{-1}.</math>令''G''<sub>0</sub>为<math>\sim</math>的等价类集合，即<math>G_0:=G/\!\!\sim</math>。若<math>a\in G</math>且<math>x\in G_0</math>，用<math>1_x</math>记''a'' ∗ ''a''<sup>−1</sup>。

现在定义<math>G(x, y)</math>为所有使<math>1_x*f*1_y</math>存在的''f''的集合。给定<math>f \in G(x,y),\ g \in G(y, z),</math>其组合定义为<math>gf:=f*g \in G(x,z).</math>这是良定义的，因为可观察到<math>(1_x*f)*1_y</math>、<math>1_y*(g*1_z)</math>都存在，<math>(1_x*f*1_y)*(g*1_z)=f*g</math>也存在。这样，''x''的恒等态射就是<math>1_x</math>，''f''的范畴论逆是''f''<sup>−1</sup>。

上述定义中的集合可用[[类 (数学)|类]]代替，这在范畴论中很常见。

===顶点群与轨道===
给定广群''G''，其中的'''顶点群'''或'''迷向群'''或'''轨道群'''是<math>G(x,\ x)(x\in G)</math>的子群。从上述公理不难看出，它们确实是群，因为每对元素都可组合，且逆元都在同一个群中。

广群''G''在点<math>x \in X</math>处的'''轨道'''由集合<math>s(t^{-1}(x)) \subseteq X</math>给出，当中包含了可用''G''中的态射连接到x的每个点。若''x''、''y''两点在相同的轨道上，则它们的顶点群''G(x)''、''G(y)''[[群同构]]：若<math>f:\ x\to y</math>，则同构由<math>g\to fgf^{-1}</math>给出。

轨道构成了集合X的一部分。若广群只有一个轨道（等价地是[[连通 (范畴论)|连通的]]），则称之为'''传递'''的。那么，所有顶点群都同构（另一方面，这不是传递性的充分条件，反例下详）。

===子广群与态射===
<math>G \rightrightarrows X</math>的'''子广群'''是[[子范畴]]<math>H \rightrightarrows Y</math>，其本身是一个广群。若它是宽或满的子范畴，即<math>\forall x,y \in Y</math>都有<math>X = Y</math>或<math>G(x,y)=H(x,y)</math>，则也称其为'''宽'''或'''满'''。

'''广群映射'''简单说就是两个（范畴论）广群间的函子。

有几种特殊的广群态射值得关注。若<math>\forall x\in E,\ \forall b\in B:\ p(x)\to,</math>都有<math>e\in E:\ x\to</math>，使得<math>p(e)=b</math>，则广群的态射<math>p: E \to B</math>称作[[纤维化 (数学)|纤维化]]。若这样的''e''是唯一的，则纤维化称作'''覆盖态射'''或'''广群的覆盖'''。广群的覆盖态射很有用，可用来模拟空间的[[覆叠空间|覆盖映射]]。<ref>J.P. May, ''A Concise Course in Algebraic Topology'', 1999, The University of Chicago Press {{ISBN|0-226-51183-9}} (''see chapter 2'')</ref>
同样，给点广群''B''的覆盖态射范畴，等同于广群''B''对对集合的作用范畴。

== 例子 ==
===拓扑===
{{Main|基本广群}}
给定[[拓扑空间]]''X''，令<math>G_0</math>为集合''X''。从点''p''到点''q''的态射是''p''到''q''的[[连续函数#拓扑空间之间的连续函数|连续]][[路径 (拓扑学)|路径]]的[[等价类]]，若两条路径[[同伦]]，就称它们等价。
先沿第一条路径，再沿第二条路径，两个这样的态射便组合到一起；同伦等价性保证这种组符合[[结合律]]。这样的广群称作''X''的[[基本广群]]，记作<math>\pi_1(X)</math>（有时是<math>\Pi_1(X)</math>）。<ref>{{Cite web|url=https://ncatlab.org/nlab/show/fundamental+groupoid|title=fundamental groupoid in nLab|website=ncatlab.org|access-date=2017-09-17|archive-date=2023-04-06|archive-url=https://web.archive.org/web/20230406133929/https://ncatlab.org/nlab/show/fundamental+groupoid|dead-url=no}}</ref>通常的基本群<math>\pi_1(X,x)</math>于是就是点x的顶点群。

基本广群<math>\pi_1(X)</math>的轨道是''X''的路径连通成分。相应地，路径连通空间的基本广群是传递的，我们恢复了已知的事实，即任意基点上的基本群是同构的。此外，基本广群和基本群这时作为范畴是[[范畴的等价|等价]]的（一般理论见[[#与群的关系|下文]]）。

这一思想的重要推广是考虑基本广群<math>\pi_1(X,A)</math>，其中<math>A\subset X</math>是选定的基点集合。当中<math>\pi_1(X,A)</math>是<math>\pi_1(X)</math>的（宽）子广群，这里只考虑端点属于''A''的路径。集合''A''可据当前情况的几何形状来选择。

===等价关系===
若''X''是[[集合体]]，即具有[[等价关系]]<math>\sim</math>的集合，则“表示”这等价关系的广群可由如下构成：
* 广群对象是''X''的元素；
* <math>\forall x,\ y\in X,</math>有单态射<math>(y,x):\ x\to y</math>，当且仅当<math>x\sim y</math>；
*<math>(z,y)</math>与<math>(y,x)</math>的组合是<math>(z,x)</math>。
这个广群的顶点群总是平凡的；此外，这个广群一般不传递，其轨道正是等价类。有两个极端例子：

* ''X''每个元素若都与''X''的其他元素有联系，则就得到了''X''的'''对广群'''，其以整个<math>X \times X</math>作为箭头集，且是传递的。
* ''X''每个元素若只与自身有关系，就得到了'''单位广群'''，其以''X''为箭头集，<math>s = t = id_X</math>，是完全不传递的（每个单子<math>\{x\}</math>都是轨道）。

==== 例子 ====
*若<math>f: X_0 \to Y</math>是[[微分流形|光滑流形]]的光滑[[满射]][[浸没 (数学)|浸没]]，则<math>X_0\times_YX_0 \subset X_0\times X_0</math>是等价关系<ref name=":0" />，因为在拓扑空间的满射下，''Y''与<math>X_0</math>的[[商空间|商拓扑]]拓扑同构。若记<math>X_1 = X_0\times_YX_0</math>则可得广群<blockquote><math>X_1 \rightrightarrows X_0</math></blockquote>有时称为光滑流形的满射浸没的'''平庸广群'''。
*若放宽自反性要求、考虑''偏等价关系''，则就可考虑关于集合的可计算实现子上的[[递归可枚举集合|半可决定]]概念。这使得广群可用于集合论的可计算近似，称作'''PER模型'''。作为一个范畴，PER模型是具有自然数对象与子对象分类子的笛卡儿闭范畴，从而产生了[[马丁·海兰德]]所谓[[有效拓扑斯]]。

=== 切赫广群 ===
{{See also|单纯流形|神经复形}}
切赫广群<ref name=":0">{{cite arXiv|last1=Block|first1=Jonathan|last2=Daenzer|first2=Calder|date=2009-01-09|title=Mukai duality for gerbes with connection|class=math.QA|eprint=0803.1529}}</ref>{{rp|5}}是一类特殊的广群，与某个流形''X''的开覆盖<math>\mathcal{U} = \{U_i\}_{i\in I}</math>所给出的等价关系相关联。其对象由不交并
<blockquote><math>\mathcal{G}_0 = \coprod U_i</math></blockquote>
给出，其箭头是相交
<blockquote><math>\mathcal{G}_1 = \coprod U_{ij}</math>.</blockquote>
源映射与目标映射由诱导映射给出<blockquote><math>\begin{align}
s = \phi_j: U_{ij} \to U_j\\
t = \phi_i: U_{ij} \to U_i
\end{align}</math></blockquote>包含映射<blockquote><math>\varepsilon: U_i \to U_{ii}</math></blockquote>则给出了广群的结构。实际上，还可设置<blockquote><math>\mathcal{G}_n = \mathcal{G}_1\times_{\mathcal{G}_0} \cdots \times_{\mathcal{G}_0}\mathcal{G}_1</math></blockquote>为''n''次迭代的纤维积来进一步扩展，其中<math>\mathcal{G}_n</math>表示''n''个可组合箭头的多元组。纤维积的结构映射隐含了目标映射，因为<blockquote><math>\begin{matrix}
U_{ijk} & \to & U_{ij} \\
\downarrow & & \downarrow \\
U_{ik} & \to & U_{i}
\end{matrix}</math></blockquote>是笛卡儿图，其中到<math>U_i</math>的映射是目标映射。这种构造可看作是某些[[∞-广群]]的模型；此外，这种构造的另一个产物是[[切赫上同调|k-上循环]]<blockquote><math>[\sigma] \in \check{H}^k(\mathcal{U},\underline{A})</math></blockquote>对某个阿贝尔群之常数[[层 (数学)|层]]可表为函数<blockquote><math>\sigma:\coprod U_{i_1\cdots i_k} \to A</math></blockquote>给出了上同调类的明确表示。

===群作用===
若[[群]]''G''作用于集合''X''，则可由如下方式组成代表[[群作用]]的'''作用广群'''或'''变换广群'''：
*对象是''X''的元素；
*<math>\forall x,\ y\in X</math>，[[态射]]<math>x\to y</math>对应<math>g\in G</math>，使得<math>gx = y</math>；
*[[复合函数|态射的复合]]解释了''G''的[[二元运算]]。

更明确地说，''作用广群''是小范畴<math>\mathrm{ob}(C)=X</math>、<math>\mathrm{hom}(C)=G\times X</math>，源映射和目标映射分别为<math>s(g,x) = x</math>、<math>t(g,x) = gx</math>。通常表示为<math>G \ltimes X</math>（对于右作用记为<math>X\rtimes G</math>）。广群中的乘法（或组合）就是<math>(h,y)(g,x) = (hg,x)</math>，定义条件是<math>y=gx</math>。

<math>\forall x\in X</math>，顶点群由<math>gx=x</math>的<math>(g,x)</math>组成，这只是给定作用在''x''处的[[群作用#不動點與穩定子群|迷向子群]]（这就是顶点群称为迷向子群的原因）。同样，作用广群的轨道是群作用的[[群作用#軌道|轨道]]，广群是传递的当且仅当群作用也有[[群作用#群作用的种类|传递性]]。

另一种描述''G''集合的方法是[[函子范畴]]<math>[\mathrm{Gr},\mathrm{Set}]</math>，当中<math>\mathrm{Gr}</math>是1个元素的广群（范畴），[[同构]]于群''G''。事实上，这个范畴的每个函子''F''都定义了集合<math>X=F(\mathrm{Gr});\ \forall g\in G</math>（即对<math>\mathrm{Gr}</math>中的每个态射）诱导了[[双射]]<math>F_g</math>：<math>X\to X</math>。函子''F''的范畴结构保证了''F''定义了集合''G''上的''G''作用。（唯一）[[可表函子]]''F''：<math>\mathrm{Gr} \to \mathrm{Set}</math>是''G''的[[凯莱定理|凯莱表示]]。事实上，这个函子与<math>\mathrm{Hom}(\mathrm{Gr},-)</math>同构，因此将<math>\mathrm{ob}(\mathrm{Gr})</math>送到集合<math>\mathrm{Hom}(\mathrm{Gr},\mathrm{Gr})</math>，后者的定义就是“集合”''G''和<math>\mathrm{Gr}</math>的态射''g''（即''G''的元素''g''）到集合''G''的置换<math>F_g</math>。由[[米田引理|米田嵌入]]推导出：群''G''同构于''G''的[[置换群]]的[[子群]]<math>\{F_g\mid g\in G\}</math>。

====有限集====
考虑<math>\mathbb{Z}/2</math>在有限集<math>X = \{-2, -1, 0, 1, 2\}</math>上的群作用，其将每个数取负，于是<math>-2 \mapsto 2</math>、<math>1 \mapsto -1</math>。商广群<math>[X/G]</math>是这个群作用的等价类集合<math>\{[0],[1],[2]\}</math>，<math>[0]</math>在其上有群作用<math>\mathbb{Z}/2</math>。

==== 商簇 ====
任何映射到<math>GL(n)</math>的有限群''G''都会在[[仿射空间]]<math>\mathbb{A}^n</math>上产生群作用（由于这是自同构群）。于是，商广群的形式可以是<math>[\mathbb{A}^n/G]</math>，有一点的稳定子''G''位于原点。这样的例子构成了[[轨形]]理论的基础。另一个常研究的轨形族是[[加权射影空间]]<math>\mathbb{P}(n_1,\ldots, n_k)</math>及其子空间，如[[卡拉比-丘流形|卡拉比-丘轨形]]。

===广群的纤维积===
给定具有广群态射的广群图
:<math>
\begin{align}
 & & X \\
 & & \downarrow \\
Y &\rightarrow & Z
\end{align}
</math>

其中<math>f:X\to Z</math>、<math>g:Y\to Z</math>，可组成广群<math>X\times_ZY</math>，其对象为三元组<math>(x,\phi,y)</math>，其中<math>x \in \text{Ob}(X),\ y \in \text{Ob}(Y),\ \phi: f(x) \to g(y),\ \in Z</math>。态射可定义为一对态射<math>(\alpha,\beta)</math>，其中<math>\alpha: x \to x',\ \beta: y \to y'</math>，使得对三元组<math>(x,\phi,y), (x',\phi',y'),\ Z</math>中有<math>f(\alpha):f(x) \to f(x'),\ g(\beta):g(y) \to g(y'),\ \phi,\phi'</math>的交换图。<ref>{{Cite web|url=https://www.math.ubc.ca/~behrend/cet.pdf|title=Localization and Gromov-Witten Invariants|page=9|url-status=live|archive-url=https://web.archive.org/web/20200212202830/https://www.math.ubc.ca/~behrend/cet.pdf|archive-date=2020-02-12}}</ref>

===同调代数===
[[具体范畴|具体]][[阿贝尔范畴]]中对象的二项复形
:<math>
C_1 \overset{d}{\rightarrow}C_0
</math>
可形成广群。其对象是集合<math>C_0</math>，箭头是集合<math>C_1\oplus C_0</math>；源映射只是到<math>C_0</math>的映射，目标映射是对<math>C_1</math>与''d''的组合跟到<math>C_0</math>的映射的加法。也就是说，给定<math>c_1 + c_0 \in C_1\oplus C_0</math>，有
:<math>
t(c_1 + c_0) = d(c_1) + c_0.
</math>
当然，若阿贝尔范畴是概形上的[[凝聚层]]范畴，则这种构造可用于形成广群的[[预层 (范畴论)|预层]]。

=== 游戏 ===
[[魔方]]可用群论来建模（见[[魔方群]]），也有些游戏更适合用广群建模。<ref>[https://www.crcpress.com/An-Introduction-to-Groups-Groupoids-and-Their-Representations/Ibort-Rodriguez/p/book/9781138035867 An Introduction to Groups, Groupoids and Their Representations: An Introduction] {{Wayback|url=https://www.crcpress.com/An-Introduction-to-Groups-Groupoids-and-Their-Representations/Ibort-Rodriguez/p/book/9781138035867 |date=20200113011150 }}; Alberto Ibort, Miguel A. Rodriguez; CRC Press, 2019.</ref>

[[数字推盘游戏]]的变换就是广群（不是群，因为并非所有移动都能复合）。<ref>Jim Belk (2008) [https://cornellmath.wordpress.com/2008/01/27/puzzles-groups-and-groupoids/ Puzzles, Groups, and Groupoids] {{Wayback|url=https://cornellmath.wordpress.com/2008/01/27/puzzles-groups-and-groupoids/ |date=20230310133517 }}, The Everything Seminar</ref><ref>[http://www.neverendingbooks.org/the-15-puzzle-groupoid-1 The 15-puzzle groupoid (1)] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20151225220110/http://www.neverendingbooks.org/the-15-puzzle-groupoid-1 |date=2015-12-25 }}, Never Ending Books</ref><ref>[http://www.neverendingbooks.org/the-15-puzzle-groupoid-2 The 15-puzzle groupoid (2)] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20151225210035/http://www.neverendingbooks.org/the-15-puzzle-groupoid-2 |date=2015-12-25 }}, Never Ending Books</ref>这一广群作用作用于构型。

===马蒂厄广群===
[[马蒂厄广群]]是[[约翰·何顿·康威]]提出的作用于13个点的群，这样固定一个点的元素就构成了[[马蒂厄群]]M<sub>12</sub>的一个副本。

== 与群的关系 ==
{{Group-like structures}}
若广群只有一个对象，则其态射集构成[[群]]。由代数定义，这样的广群实际上就是群。 <ref>Mapping a group to the corresponding groupoid with one object is sometimes called delooping, especially in the context of [[Homotopy|homotopy theory]], see {{Cite web|url=https://ncatlab.org/nlab/show/delooping#delooping_of_a_group_to_a_groupoid|title=delooping in nLab|website=ncatlab.org|access-date=2017-10-31|archive-date=2023-04-05|archive-url=https://web.archive.org/web/20230405134256/https://ncatlab.org/nlab/show/delooping#delooping_of_a_group_to_a_groupoid|dead-url=no}}.</ref>[[群论]]的许多概念都能推广到广群，用[[函子]]概念取代[[群同态]]。

每个传递/连通的广群（即如上所述，任意两对象都由至少一个态射相连）都与作用广群（如上定义）<math>(G, X)</math>同构。根据传递性，这个作用下只有一个[[群作用#軌道|轨道]]。

注意刚才提到的同构不唯一，也没有[[自然变换|自然]]的选择。为一个传递广群选择这样的同构实际上等于选择对象<math>x_0</math>、[[群同构]]<math>h:\ G(x_0)\to G</math>、<math>\forall x\ne x_0,\ </math>态射<math>\in G:\ x_0\to x</math>。

若广群没有传递性，则就同构于上述类型的广群的[[不交并]]，也称作其'''连通成分'''（每个连通成分可能具有不同的群''G''与集合''X''）。

用范畴论的术语来说，广群的每个连通成分都[[范畴的等价|等价]]（但不[[范畴的同构|同构]]）于只有1个对象的广群，即单群。因此，任何广群都等价于无关群的[[多重集]]；换句话说，对等价（而非同构），我们不需要指定集合''X''，而只需指定群''G''。例如，

*''X''的基本广群等价于''X''的每个路径连通成分的[[基本群]]的集合，但同构要指定每个成分的点集；
*具有等价关系<math>\sim</math>的集合''X''等价（作为广群）于每个[[等价类]]的[[平凡群]]的一个副本，但同构需要说明每个等价类；
*具备群''G''的[[群作用|作用]]的集合''X''等价（作为广群）于作用的每个轨道的''G''的一个副本，但同构需要说明每个轨道是什么集合。

即使从范畴论的角度来看，把广群坍缩为单纯的群集合也会失去一些信息，因为是不[[自然变换|自然]]的。因此，当广群以其他结构出现时，保持整个广群是有帮助的；否则就必须选择一种方法，以从单群的角度看待每个<math>G(x)</math>，而这一选择是任意的。在[[拓扑学]]的例子中，必须连贯地选择路径（或路径的等价类），从相同路径连通成分的每个''p''点到每个''q''点。

一个更有启发性的例子是，有[[自同态]]的广群的分类并不能归结为单纯的群论考虑。这类似于有一个自同态的[[向量空间]]的分类并不平凡。

广群的态射比群的更多样：例如，有[[纤维化 (数学)|纤维化]]、覆盖态射、[[泛性质|泛态射]]、商态射。因此，群''G''的子群''H''会产生‘’G''对''G''中''H''的[[陪集]]集的作用，从而产生''K''到''G''的覆盖态射''p''，其中''K''是顶点群与''H''同构的广群。这样，群''G''的表示就可以“提升”到广群''K''的表示，这是获取子群''H''的表现信息的有用方法。

== 广群范畴 ==
对象是广群、态射是广群态射的范畴称作'''广群范畴'''，记作'''Grpd'''。

'''Grpd'''与小范畴相似，是[[笛卡儿闭范畴]]：对任意广群<math>H,K</math>，我们都可以构造广群<math>\operatorname{GPD}(H,K)</math>，其对象是态射<math> H \to K </math>、箭头是态射的自然等价。于是，若<math> H,K </math>只是群，则这些箭头就是态射的共轭。主要结果是，对任何广群<math> G,H,K </math>都有自然双射

<math>\operatorname{Grpd}(G \times H, K) \cong \operatorname{Grpd}(G, \operatorname{GPD}(H,K)).</math>

即使所有广群<math> G,H,K </math>都只是群，这个结果也有意义。

'''Grpd'''既是[[完全范畴]]，又是余完全范畴。

=== 与[[小范畴范畴|Cat]]的关系 ===
包含态射<math>i : \mathbf{Grpd} \to \mathbf{Cat}</math>有左右[[伴随函子]]：

:<math> \hom_{\mathbf{Grpd}}(C[C^{-1}], G) \cong \hom_{\mathbf{Cat}}(C, i(G)) </math>
:<math> \hom_{\mathbf{Cat}}(i(G), C) \cong \hom_{\mathbf{Grpd}}(G, \mathrm{Core}(C)) </math>

当中，<math>C[C^{-1}]</math>表示反转每个态射的范畴局部化，<math>\mathrm{Core}(C)</math>表示所有同构的子范畴。

=== 与[[单纯集合|sSet]]的关系 ===
[[神经 (范畴论)|神经函子]]<math>N :  \mathbf{Grpd} \to \mathbf{sSet}</math>将'''Grpd'''嵌入为单纯集范畴的子范畴。广群的神经总是[[阚纤维|阚复形]]。

神经有左伴随
:<math> \hom_{\mathbf{Grpd}}(\pi_1(X), G) \cong \hom_{\mathbf{sSet}}(X, N(G)) </math>
当中<math>\pi_1(X)</math>表示单纯集''X''的基本广群。

=== Grpd中的广群 ===
{{Main|双重广群}}
广群范畴内部的范畴还可派生一种额外结构，即'''双重广群'''。<ref>{{cite arXiv|last1=Cegarra|first1=Antonio M.|last2=Heredia|first2=Benjamín A.|last3=Remedios|first3=Josué|date=2010-03-19|title=Double groupoids and homotopy 2-types|class=math.AT|eprint=1003.3820}}</ref><ref>{{Cite journal|last=Ehresmann|first=Charles|date=1964|title=Catégories et structures : extraits|url=http://www.numdam.org/item/?id=SE_1964__6__A8_0|journal=Séminaire Ehresmann. Topologie et géométrie différentielle|language=en|volume=6|pages=1–31|access-date=2023-11-29|archive-date=2023-06-04|archive-url=https://web.archive.org/web/20230604102652/http://www.numdam.org/item/?id=SE_1964__6__A8_0|dead-url=no}}</ref>因为'''Grpd'''是2范畴，这些对象构成了2范畴，比1范畴有额外的结构。本质上说，这些对象是具有函子<blockquote><math>s,t: \mathcal{G}_1 \to \mathcal{G}_0</math></blockquote>的广群<math>\mathcal{G}_1,\mathcal{G}_0</math>，以及由恒等函子<blockquote><math>i:\mathcal{G}_0 \to\mathcal{G}_1</math></blockquote>给出的嵌入。思考这些2广群的一种方法是其包含对象、态射与可以纵横组合的方块。例如，给定方块<blockquote><math>\begin{matrix}
\bullet & \to & \bullet \\
\downarrow & & \downarrow \\
\bullet & \xrightarrow{a} & \bullet
\end{matrix}
</math>与<math>\begin{matrix}
\bullet & \xrightarrow{a} & \bullet \\
\downarrow & & \downarrow \\
\bullet & \to & \bullet
\end{matrix}</math></blockquote>其中<math>a</math>是同一个态射，则可以垂直相连，得到图<blockquote><math>\begin{matrix}
\bullet & \to & \bullet \\
\downarrow & & \downarrow \\
\bullet & \xrightarrow{a} & \bullet \\
\downarrow & & \downarrow \\
\bullet & \to & \bullet
\end{matrix}</math></blockquote>可将垂直箭头转置，得到另一个方块。方块的横向连接也有类似规律。

== 具有几何结构的广群 ==
研究几何对象时，产生的广群通常带有[[拓扑空间|拓扑]]，使其成为[[拓扑广群]]；一些[[微分结构]]还能将其变为[[李广群]]。最后这些对象也可根据其相关的[[李代数胚]]进行研究，这与[[李群]]和[[李代数]]之间的关系类似。

从几何产生的广群通常具有与群乘法相互作用的结构。例如，[[泊松流形|泊松几何]]中有[[辛流形|辛广群]]的概念，后者是具有相容辛形式的李广群。同样，也可拥有具备相容[[黎曼流形|黎曼度量]]或[[复流形]]等结构的广群。

== 另见 ==
*[[∞-广群]]
*[[2-群]]
*[[同伦类型论]]

== 脚注==
{{reflist}}

==参考文献==
{{refbegin}}
*{{citation|title=Über eine Verallgemeinerung des Gruppenbegriffes|journal=Mathematische Annalen
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}}
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* &mdash;, [https://groupoids.org.uk/hdaweb2.html Higher dimensional group theory.] {{Wayback|url=https://groupoids.org.uk/hdaweb2.html |date=20231116152149 }}  Explains how the groupoid concept has led to higher-dimensional homotopy groupoids, having applications in [[homotopy theory]] and in group [[cohomology]]. Many references.
* {{citation |last1=Dicks |first1=Warren  |last2=Ventura |first2=Enric |title=The group fixed by a family of injective endomorphisms of a free group |series=Mathematical Surveys and Monographs |volume=195 |year=1996 |publisher=AMS Bookstore |isbn=978-0-8218-0564-0 }}
* {{cite journal |last1=Dokuchaev |first1=M. |last2=Exel |first2=R. |last3=Piccione |first3=P. |year=2000 |title=Partial Representations and Partial Group Algebras |journal=Journal of Algebra |volume=226 |pages=505–532 |publisher=Elsevier |issn=0021-8693 |doi= 10.1006/jabr.1999.8204|arxiv= math/9903129
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* {{nlab|id=fundamental+groupoid|title=fundamental groupoid}}
* {{nlab|id=core|title=core}}
{{refend}}

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[[Category:同伦论]]