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[[黎曼猜想]]是[[数学]]中最重要的猜想之一，描述了[[黎曼ζ函数]]非平凡零点的分布规律。而其中黎曼ζ函数可以用各种整体[[L函数]]（global L-function）替代，由此得到黎曼猜想不同类型的推广。这些推广的猜想描述的是不同L函数非平凡零点分布的规律。许多数学家相信这些猜想是正确的。不过其中仅有部分[[函数域]]情形下的推广得到了证明。

整体L函数可以与[[椭圆曲线]]、[[数域]]（此时称为[[戴德金ζ函数]]）、[[马斯形式]]（Maass form）或[[狄利克雷特征]]（此时称为[[狄利克雷L函数]]）相联系。其中，描述戴德金ζ函数的黎曼猜想被称为'''扩展黎曼猜想'''（extended Riemann hypothesis，ERH），而描述狄利克雷L函数的黎曼猜想则被称为'''广义黎曼猜想'''（generalized Riemann hypothesis，GRH）。（也有许多数学家用“广义黎曼猜想”用作对各种整体L函数推广的总称，而非单指狄利克雷L函数下的情形。）

== 广义黎曼猜想 ==
狄利克雷L函数下的广义黎曼猜想最初可能是由皮尔茨（Piltz）于1884年提出的。与原始的黎曼猜想类似，该猜想对研究[[素数]]分布十分重要。

如查一个已知的[[狄利克雷特征]]χ，可以定义如下狄利克雷L函数

:<math>
L(\chi,s) = \sum_{n=1}^\infty \frac{\chi(n)}{n^s}
</math>

其中，''s''为实部大于1的所有[[复数 (数学)|复数]]。这一函数可以[[解析延拓]]为整个[[复平面]]上的[[亚纯函数]]。广义黎曼猜想即是指，狄利克雷L函数L(χ,''s'')的所有非平凡零点的实部都为1/2。

当对所有''n''都有χ(''n'') = 1时，广义黎曼猜想退化为普通的黎曼猜想。

===廣義黎曼猜想的結果===
[[狄利克雷定理]]指稱，若{{math|a}}和{{math|d}}為彼此互質的[[自然數]]，那麼在以{{math|a}}為首項，以{{math|d}}為公差的[[等差數列]]<math>a, a+d, a+2d, \cdots</math>中會包含[[無窮多]]個質數。設{{nowrap|π(''x'', ''a'', ''d'')}}為前述的等差數列中不大於{{math|x}}的質數，那麼在廣義黎曼猜想成立的狀況下，對於任意彼此互質的{{math|a}}和{{math|d}}的以及任意的<math>\varepsilon > 0</math>而言，有以下關係式：
:<math>\pi(x,a,d) = \frac{1}{\varphi(d)} \int_2^x \frac{1}{\ln t}\,dt + O(x^{1/2+\varepsilon})\quad\mbox{ as } \ x\to\infty,</math>
其中<math>\varphi</math>是[[歐拉函數]] ，而<math>O</math>是[[大O符號]]。這是[[質數定理]]的一個顯著改進。

若廣義黎曼猜想成立，那麼<math>(\mathbb Z/n\mathbb Z)^\times</math>這個乘法群的所有真子群，都會略過一個小於{{nowrap|2(ln ''n'')<sup>2</sup>}}的數，以及一個小於{{nowrap|3(ln ''n'')<sup>2</sup>}}且和{{math|n}}互質的數；<ref>{{Cite journal |last=Bach |first=Eric |year=1990 |title=Explicit bounds for primality testing and related problems |journal=[[Mathematics of Computation]] |volume=55 |issue=191 |pages=355–380 |doi=10.2307/2008811 |jstor=2008811 |doi-access=free }}</ref>也就是說，<math>(\mathbb Z/n\mathbb Z)^\times</math>可由一個小於{{nowrap|2(ln ''n'')<sup>2</sup>}}的數構成的集合生成。這點常用於證明，且有著許多結果，其中一些在假定廣義黎曼猜想成立的狀況下因此可得的結果如下：
*[[米勒-拉賓質數判定法]]保證以多項式時間運行。（然而2002年出現了[[AKS質數測試]]這個不需仰賴廣義黎曼猜想且以多項式時間運行的質數判定法。）
*{{link-en|Shanks–Tonelli演算法|Shanks–Tonelli algorithm}}保證以多項式時間運行。
*Ivanyos–Karpinski–Saxena deterministic決定性演算法<ref>{{cite book|first1=Gabor|last1=Ivanyos|last2=Karpinski|first2=Marek|first3=Nitin|last3=Saxena|title=Proceedings of the 2009 international symposium on Symbolic and algebraic computation (ISAAC)|chapter=Schemes for deterministic polynomial factoring|year=2009|pages=191–198|doi=10.1145/1576702.1576730|isbn=9781605586090|arxiv=0804.1974|s2cid=15895636}}</ref> 這個用以分解有限域上次數為質常數光平滑數的多項式的演算法保證以多項式時間運行。

若廣義黎曼猜想成立，那麼對於任意的質數{{math|p}}而言，都有一個小於<math>O((\ln p)^6)</math>的[[原根]]。<ref>{{cite journal |first=Victor |last=Shoup |title=Searching for primitive roots in finite fields |journal=Mathematics of Computation |volume=58 |issue=197 |year=1992 |pages=369–380 |doi= 10.2307/2153041|jstor=2153041 |doi-access=free }}</ref>

[[弱哥德巴赫猜想]]在廣義黎曼猜想成立的狀況下成立，在[[哈洛德·賀歐夫各特]]對弱哥德巴赫猜想的證明中，他確認了廣義黎曼猜想對數千個虛部大到特定大小的小特徵成立，並因此證明了弱哥德巴赫猜想對所有大於<math>10^29</math>的正整數成立，而對於比這數小的狀況，則直接以計算驗證。<ref>p5. {{cite arXiv|last=Helfgott|first=Harald|eprint=1305.2897|title=Major arcs for Goldbach's theorem|class=math.NT|year=2013}}</ref>

在廣義黎曼猜想成立的狀況下，{{link-en|特徵和|Character sum|Pólya–Vinogradov不等式}}中對特徵和的估計值可改進為<math>O\left(\sqrt{q}\log\log q\right)</math>，其中{{math|q}}是特徵的模。

===Linnik-Sprindzuk定理===
Linnik-Sprindzuk定理是一個在普通的[[黎曼猜想]]成立的狀況下，滿足特定條件就可推出廣義黎曼猜想的定理。

這定理指出，在普通的[[黎曼猜想]]成立的前提下，如果對以最簡分數表達且<math>0 < |h| \le \frac{k}{2}</math>的有理數<math>\xi=\frac{h}{k}</math>，以及任意給定的<math>\varepsilon > 0</math>而言，以下關係式在<math>x\to0^+</math>時成立，那狄利克雷L函數上的廣義黎曼猜想成立：<ref>{{cite journal |last1=Banks |first1=William |title=The Generalized Riemann Hypothesis from zeros of a single L-function |journal=Indagationes Mathematicae |date=2024-11-01 |volume=35 |issue=6 |pages=1282–1293 |doi=10.1016/j.indag.2024.07.009 |url=https://www.sciencedirect.com/science/article/abs/pii/S0019357724000879 |issn=0019-3577}}</ref>

:<math>\sum_{\rho=\frac{1}{2}+i\gamma}|\gamma|^{i\gamma}e^{-i\gamma-\frac{\pi|\gamma|}{2}}(x+2\pi i\xi)^{-\rho}+\frac{\mu(k)}{\phi(k)}\frac{1}{x\sqrt{2\pi}}\le C(\xi,\varepsilon)x^{-\frac{1}{2}-\varepsilon}</math>，其中<math>\mu</math>是[[默比烏斯函數]]，<math>\phi</math>是[[歐拉函數]]，<math>\rho</math>是黎曼ζ函數的非平凡零點，而<math>\gamma</math>是<math>\rho</math>的虛部，而<math>C(\xi,\varepsilon)</math>是一個取決於<math>\xi</math>和<math>\varepsilon</math>的常數。

這定理及變體僅要求[[黎曼ζ函數]]的非平凡零點有特定的分布，而不需要對狄利克雷L函數的零點分布有任何了解。

== 扩展黎曼猜想 ==
假设''K''为[[数域]]（[[有理数]]域的有限次代数[[扩张域]]），O<sub>''K''</sub>为''K''的[[整数环]]，''a''为O<sub>''K''</sub>的[[理想 (环论)|理想]]，''Na''则为非零理想的绝对范数。于是可以定义''K''上的戴德金ζ函数

:<math>
\zeta_K(s) = \sum_a \frac{1}{(Na)^s}
</math>

其中，''s''为实部大于1的所有复数。求和运算对O<sub>''K''</sub>的所有非零理想''a''进行。

这一函数也可以解析延宕到整个复平面上。扩展黎曼猜想是指，戴德金ζ函数ζ<sub>''K''</sub>(''s'')的所有非平凡零点的实部都为1/2。

当数域''K''取有理数域'''Q'''，其整数环则为'''Z'''时，扩展黎曼猜想退化为普通的黎曼猜想。

拓展黎曼猜想的一個結果是{{link-en|Chebotarev密度定理|Chebotarev density theorem}}的有效形式。<ref>{{cite journal|first1=J.C.|last1=Lagarias|first2=A.M.|last2=Odlyzko|title=Effective Versions of the Chebotarev Theorem|journal=Algebraic Number Fields|year=1977|pages=409–464}}</ref>也就是說，設{{math|L / K}}是伽羅瓦群{{math|G}}的有限伽羅瓦擴張，並設{{math|C}}是{{math|G}}的共軛類的聯集，那麼{{math|K}}對於Frobenius共軛類小於範[[x]]的{{link-en|分岐 (數學)|Ramification (mathematics)|未分岐質數}}的數量如次：
:<math>\frac{|C|}{|G|}\Bigl(\operatorname{li}(x)+O\bigl(\sqrt x(n\log x+\log|\Delta|)\bigr)\Bigr)</math>
其中由大O符號指出的常數是絕對的，而{{math|n}}是{{math|L}}在有理數域{{math|'''Q'''}}上的次數，而{{math|Δ}}為判別式。

== 參見 ==
* {{link-en|阿廷L函數|Artin L-function|阿廷L函數猜想}}
* [[狄利克雷L函數]]
* {{link-en|塞爾伯格類|Selberg class}}
* {{link-en|大黎曼猜想|Grand Riemann hypothesis}}

== 参考文献 ==
{{reflist}}

== 延伸閱讀 ==
*{{Springer|id=R/r081940|title=Riemann hypothesis, generalized}}

{{L-functions-footer}}
[[Category:Ζ函數與L函數]]
[[Category:代数几何]]
[[Category:猜想]]