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[[数学]]上，'''广义正交群'''或称'''伪正交群'''、'''不定正交群'''O(''p'',''q'')是所有保持n=p+q维实[[向量空间]]上的符号为 (p,q)的非退化[[对称双线性形式]]的[[线性变换]]组成的[[李群]]。这个群的[[维数]]是n(n−1)/2。

广义[[特殊正交群]]SO(''p'',''q'')是O(''p'',''q'')中所有[[行列式]]为1的元素构成的[[子群]]。

[[度量张量|度量]]的符号（''p''、''q''分别为正负[[特征值]]的个数）在同构的意义下决定该群；交换''p''和''q''相当于度量改变惯性指数，所以给出同样的群。如果''p''或''q''等于0，那么同构于普通[[正交群]]O(''n'')。我们假设下文中''p''和''q''均是正整数。

群O(''p'',''q'')定义在[[实数|实]]向量空间上。对于[[複數 (數學)|複]]空间，所有群O(''p'',''q''; '''C''')都同构于通常正交群O(''p'' + ''q''; '''C''')，因为複共轭变换<math>z_j \mapsto iz_j</math>能改变二次型的惯性指数。
==矩阵定义==

和经典正交群O(''n'')一样，O(''p'',''q'')能表示为[[矩阵]]群。'''R'''<sup>''p'',''q''</sup>上由[[对角矩阵]]给出标准内积：
:<math>\eta = \mathrm{diag}(\underbrace{1,\cdots,1}_{p},\underbrace{-1,\cdots,-1}_{q}).\,</math>
作为二次型，<math>Q(x_1,\dots,x_n) = x_1^2 + \cdots + x_p^2 - x_{p+1}^2 - \cdots - x_{p+q}^2 .\,</math>

群O(''p'',''q'')是由''n''×''n''矩阵''M''（这里''n'' = ''p''+''q''）使得<math>M^T\eta M = \eta</math>。，或作为双线性形式<math>Q(Mv)=Q(v)</math>组成的群。

这里''M''<sup>''T''</sup>表示矩阵''M''的转秩。容易验证所有这样的矩阵构成一个群。''M''的逆满足
:<math>M^{-1} = \eta^{-1}M^T\eta.\,</math>

我们得到一个同构群。事实上将η换成任意''p''个正特征值''q''个负特征值的[[对称矩阵]]（这样的矩阵必是[[非奇异矩阵|非奇异]]的），等价的，任何符号为 (''p'',''q'')的二次型。对角化这个矩阵给出此群共轭于标准群O(''p'',''q'')。

==拓扑==

O(''p'',''q'')和SO(''p'',''q'')都不是[[连通空间|连通]]的，分别有4个和2个[[連通分支 (拓撲)|分支]]。
<math>\pi_0(O(p,q)) \cong C_2 \times C_2</math>是[[克莱因四元群]]，每个分支保持或改变''p''维正定或''q''维负定子空间的定向。特殊正交群有分支<math>\pi_0(SO(p,q)) = \{(1,1), (-1,-1)\}</math>，同时保持或同时改变两个定向。

O(''p'',''q'')的[[单位分支]]常记作SO<sup>+</sup>(''p'',''q'')，能和SO(''p'',''q'')中同时保持两个定向的元素的集合等价起来。

群O(''p'',''q'')也不是[[紧群|紧]]，但包含紧子群O(''p'')和O(''q'')，分别作用在两个确定子空间上。事实上，O(''p'')×O(''q'')是O(''p'',''q'')的[[极大紧子群]]。而<math>S(O(p)\times O(q))</math>是SO(''p'',''q'')的极大紧子群。同样，SO(''p'')×SO(''q'')是SO<sup>+</sup>(''p'', ''q'')的极大紧子群。从而在同论的意义上来说，这些群是（特殊）正交群的积，这样代数拓扑不变量都可以计算出来。

特别的，SO<sup>+</sup>(''p'', ''q'')的[[基本群]]是分支基本群的乘积，<math>\pi_1(\mbox{SO}^{+}(p,q)) = \pi_1(\mbox{SO}(p))\times\pi_1(\mbox{SO}(q))\,\!</math>，由下表给出：
:{| border="1" cellpadding="11" style="border-collapse: collapse; border: 1px #aaa solid;"
!style="background:#efefef;"| <math>\pi_1(\mbox{SO}^{+}(p,q))</math>
!style="background:#efefef;"| <math>p=1</math>
!style="background:#efefef;"| <math>p=2</math>
!style="background:#efefef;"| <math>p\geq 3</math>
|-
!style="background:#efefef;"| <math>q=1</math>
| {1} || <math>\mathbf{Z}</math> || <math>\mathbf{Z}_2</math>
|-
!style="background:#efefef;"| <math>q=2</math>
| <math>\mathbf{Z}</math> || <math>\mathbf{Z} \times \mathbf{Z}</math>
 || <math>\mathbf{Z} \times \mathbf{Z}_2</math>
|-
!style="background:#efefef;"| <math>q \geq 3</math>
| <math>\mathbf{Z}_2</math> || <math>\mathbf{Z}_2 \times \mathbf{Z}</math>
 || <math>\mathbf{Z}_2 \times \mathbf{Z}_2</math>
|}

==参考文献==
*{{springer|id=O/o070300|title=Orthogonal group|author=V. L. Popov}}
*Anthony Knapp, ''Lie Groups Beyond an Introduction'', Second Edition, Progress in Mathematics, vol. 140, Birkhäuser, Boston, 2002. ISBN 0-8176-4259-5. (372页有不定正交群的描述)

*Joseph A. Wolf, ''Spaces of constant curvature'', (1967) 335页。

==参见==
*[[洛伦兹群]]
*[[正交群]]
*[[旋量群]]

[[Category:李群]]