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{{noteTA
|1=zh:量綱; zh-hans:量纲; zh-hant:因次
}}
在[[機率論]]與[[統計學]]中，'''幾何標準差'''形容一組數值有多分散，用於當這一組數字理應優先選用的平均數為[[幾何平均數]]之時。對於這類數據，幾何標準差可能優於普通的[[標準差]]。留意幾何標準差是個乘法因數，因此是[[無因次]]的，而不似普通的算術標準差，與輸入數值有同樣的[[因次分析|因次]]。

== 定義 ==
若一組數字{''A''<sub>1</sub>, ''A''<sub>2</sub>, ..., ''A''<sub>''n''</sub>}的幾何平均數用μ<sub>''g''</sub>表示，則幾何標準差是

:<math> \sigma_g = \exp \left( \sqrt{ \sum_{i=1}^n ( \ln { A_i \over \mu_g } )^2 \over n } \right) \qquad \qquad (1) </math>

== 推導 ==

若幾何平均數是

:<math> \mu_g = \sqrt[n]{ A_1 A_2 \cdots A_n  } </math>

則兩邊取[[自然對數]]得

:<math> \ln \mu_g = {1 \over n} \ln (A_1 A_2 \cdots A_n) </math>

乘積的對數等於對數的和（假設對於所有<math>i</math>，<math>A_i</math>是正數），所以

:<math> \ln \mu_g = {1 \over n} [ \ln A_1 + \ln A_2 + \cdots + \ln A_n ] </math>

現在可以看出<math> \ln \, \mu_g </math>是這組<math> \{ \ln A_1, \ln A_2, \dots , \ln A_n \} </math>的[[算術平均數]]，因此這同一組的算術標準差應為

:<math> \ln \sigma_g = \sqrt{ \sum_{i=1}^n ( \ln A_i - \ln \mu_g )^2 \over n } </math>  

這化簡成

:<math> \sigma_g = \exp{\sqrt{ \sum_{i=1}^n (  \ln { A_i \over \mu_g } )^2 \over n }}  </math>

== 幾何標準分數 ==

[[標準分數]]的幾何版本是

:<math> z = {{\ln ( x ) - \ln ( \mu_g )} \over \ln \sigma_g } = {\log _{\sigma_g} (x / \mu_g)} </math>

若已知一個數據的幾何平均數、幾何標準差、和幾何標準分數，則可重構{{link-en|原始分數|raw score}}

:<math> x = \mu_g {\sigma_g}^z </math>

== 與對數正態分佈的關係 ==
幾何標準差用於量度[[對數正態分佈]]的離散程度，就如幾何平均數<ref>{{cite journal |last1=Kirkwood |first1=TBL |title=Geometric means and measures of dispersion |url=https://archive.org/details/sim_biometrics_1979-12_35_4/page/908 |journal=Biometrics |year=1979 |volume=35 |pages=908–9| jstor = 2530139}}</ref>。由於對數正態分佈通過對數變換得出正態分佈，可見幾何標準差是e的冪，指數為對數變換後的標準差，即是<math>\sigma_g = \exp(\operatorname{stdev}(\ln(A)))</math>。

於是乎，從一個呈對數正態分佈的母體中，抽取樣本來計算出幾何平均數和幾何標準差，可用來找出置信區間的上下限，如同使用算術平均數和標準差求正態分佈的置信區間。詳見[[對數正態分佈]]。

== 參考 ==
{{Reflist}}

{{DEFAULTSORT:Geometric Standard Deviation}}
[[Category:Scale statistics]]
[[Category:統計學術語]]