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[[File:Jiushutu.png|220px|洛書（九数图），朱熹《周易本義》|thumb]]

'''幻方'''，有时又称'''魔术方阵'''（其简称“魔方”现一般指[[立方体]]的[[魔術方塊]]）或'''纵横图'''，由一组排放在正方形中的[[整数]]组成，其每行、每列以及每一条主对角线的和均相等。通常幻方由从<math>1</math>到<math>N^2</math>的连续整数组成，其中<math>N</math>为正方形的行或列的数目。因此<math>N</math>阶幻方有<math>N</math>行<math>N</math>列，并且所填充的数为从<math>1</math>到<math>N^2</math>。

幻方可以使用<math>N</math>阶方阵来表示，方阵的每行、每列以及两条对角线的和都等于常数<math>M_2(N)</math>，如果填充数为<math>1,2,\dots,N^2</math>，那么有
:<math>M_2(N) = \frac{N(N^2+1)}{2}</math>

== 幻方简史 ==

《繫辭》云：「河出圖，洛出書，聖人則之。」在宋朝之前，洛書的記述只有文字。

[[九宮圖]]實物最早發現於西漢，1977年中國考古學家在安徽阜陽縣雙古堆西漢古墓中發現漢文帝七年（前173年）的太乙九宮占盤，乃是中國漢代幻方的實物。東漢《[[數術記遺]]》也有記載。

後來[[陳摶]]以降認為[[河圖洛書]]的洛書代表九宫图，為<math>1,\dots,9</math>这<math>9</math>个数，而<math>3</math>行、<math>3</math>列以及两对角线上各自的数之和均为15。

==杨辉纵横图==
[[File:Yanghui magic square.GIF|thumb|right|200px|杨辉纵横图]]
[[南宋]]数学家[[杨辉]]著《续古摘奇算法》把类似于[[九宫图]]的[[图形]]命名为[[纵横图]]，书中列举3、4、5、6、7、8、9、10阶幻方。其中所述三阶幻方构造法：“九子斜排，上下对易，左右相更，四维挺出，戴九履一，左三右七，二四为肩，六八为足”，比[[法国]]数学家Claude Gaspar Bachet提出的方法早三百余年。

== 构造法 ==
根据构造方法的不同，幻方可以分成三类：[[奇数阶幻方]]、<math>4k</math>阶幻方和<math>4k+2</math>阶幻方，其中<math>M</math>为[[自然数]]，<math>2</math>阶幻方不存在。幻方构造法主要有：[[连续摆数法]]、[[阶梯法]]（楼梯法）、奇偶数分开的[[菱形法]]、[[对称法]]、[[对角线法]]、[[比例放大法]]、[[斯特雷奇法]]、[[LUX法]]、[[拉伊尔法]]（基方、根方合成法）、[[镶边法]]、[[相乘法]]、[[幻方模式]]等。

=== 奇数阶幻方构造法 ===

==== 右斜角降位法1 ====

假設要建構n階幻方，n為奇數。

# 先在第一橫列中央的方格填入1。
# 向右上方的格子推進，依次填入2、3、4、…、n<sup>2</sup>，若超過方陣框外，則將數字填入到該橫列或該直行的相對位置。
# 若右上方的格子已有數字，則將數字填入下面的格子中。

以下图<math>5</math>阶幻方为例，<math>1</math>填写在<math>(1,3)</math>（第一行第三列）的位置上；<math>2</math>应当填写在其右上方格即<math>(0,4)</math>中，由于<math>(0,4)</math>超出顶边界，所以从最底行进入，即<math>(5,4)</math>；<math>3</math>填写在<math>(5,4)</math>的右上方格<math>(4,5)</math>中；<math>4</math>填写在<math>(4,5)</math>的右上方格<math>(3,6)</math>中，由于<math>(3,6)</math>超出右边界，所以从最左列进入，即<math>(3,1)</math>；<math>5</math>填写在<math>(3,1)</math>的右上方格<math>(2,2)</math>中；<math>6</math>应该填写的方格<math>(1,3)</math>已经被<math>1</math>所占据，因此填写在<math>(2,2)</math>的正下方格<math>(3,2)</math>中；按照上面的步骤直到所有数填入。
<center>
{| cellpadding="2"
|-----
| align="center" valign="center" | <math>\begin{bmatrix}
8 & 1 & 6 \\
3 & 5 & 7 \\
4 & 9 & 2 \\
\end{bmatrix}</math>
| align="center" valign="center" | <math>\begin{bmatrix}
17 & 24 & 1 & 8 & 15 \\
23 & 5 & 7 & 14 & 16 \\
4 & 6 & 13 & 20 & 22 \\
10 & 12 & 19 & 21 & 3 \\
11 & 18 & 25 & 2 & 9
\end{bmatrix}</math>
| align="center" valign="center" | <math>\begin{bmatrix}
47 & 58 & 69 & 80 & 1 & 12 & 23 & 34 & 45 \\
57 & 68 & 79 & 9 & 11 & 22 & 33 & 44 & 46 \\
67 & 78 & 8 & 10 & 21 & 32 & 43 & 54 & 56 \\
77 & 7 & 18 & 20 & 31 & 42 & 53 & 55 & 66 \\
6 & 17 & 19 & 30 & 41 & 52 & 63 & 65 & 76 \\
16 & 27 & 29 & 40 & 51 & 62 & 64 & 75 & 5 \\
26 & 28 & 39 & 50 & 61 & 72 & 74 & 4 & 15 \\
36 & 38 & 49 & 60 & 71 & 73 & 3 & 14 & 25 \\
37 & 48 & 59 & 70 & 81 & 2 & 13 & 24 & 35 
\end{bmatrix}</math>
|-----
| align="center" | <math>3</math>阶 || align="center" | <math>5</math>阶
| align="center" | <math>9</math>阶
|}
</center>

魔方阵不是唯一的，比如5阶魔方阵还可以是：
<center>
{| cellpadding="2"
|-----
| align="center" valign="center" | <math>\begin{bmatrix}
15 & 6 & 19 & 2 & 23 \\
16 & 12 & 25 & 8 & 4 \\
9 & 5 & 13 & 21 & 17 \\
22 & 18 & 1 & 14 & 10 \\
3 & 24 & 7 & 20 & 11
\end{bmatrix}</math>
|-----
|align="center" | <math>5</math>阶
|}
</center>

==== 右斜角降位法2 ====

假設要建構n階幻方，n為奇數。

# 先在第一橫列中央的方格填入1。
# 向「右(n-1)/2格、上(n-1)/2格」的格子推進，依次填入2、3、4、…、n<sup>2</sup>，若超過方陣框外，則將數字填入到該橫列或該直行的相對位置。
# 若右上方的格子已有數字，則將數字填入下面的格子中。

==== 右斜角升位法 ====

假設要建構n階幻方，n為奇數。

# 先在中央格的正上方一格的方格填入1。
# 向右上方的格子推進，依次填入2、3、4、…、n<sup>2</sup>，若超過方陣框外，則將數字填入到該橫列或該直行的相對位置。
# 若右上方的格子已有數字，則將數字填入上面兩格的格子中。

==== 菱形法 ====

假設要建構n階幻方，n為奇數。

# 先以對角線為兩邊，做一個包含n階方陣的菱形方陣，此方陣總共有2n<sup>2</sup>-2n+1（第n個[[中心正方形數]]）個格子。
# 從這個菱形方陣中的最上方的尖端格子，由左上往右下，再由右上往左下，依次填入1、2、3、4、…、n<sup>2</sup>。
# 將原先方陣上側外的格子向下平行移動n格，填入原方陣的空格處，相同的步驟，若格子是在下側，往上移，若格子是在左側，往右移，若格子是在右側，往左移。

=== 偶数阶幻方构造法 ===

==== <math>4k</math>阶幻方构造法 ====

===== 消去對角線法 =====

# 將1、2、3、4、…、n<sup>2</sup>由上到下、再由左到右，依次填入。
# 將方陣以四階方陣為單位分割（可分割成n<sup>2</sup>個四階方陣），然後在每個四階方陣中，對角線上的數字擦掉。
# 把擦掉的數字由大的數開始，由上到下、再由左到右，依次填入。

===== 保留對角線法 =====

假設要建構n階幻方，n為4的倍數。

# 將1、2、3、4、…、n<sup>2</sup>由上到下、再由左到右，依次填入。
# 將方陣以四階方陣為單位分割（可分割成n<sup>2</sup>個四階方陣），然後在每個四階方陣中，不在對角線上的數字擦掉。
# 把擦掉的數字由大的數開始，由上到下、再由左到右，依次填入。

如4阶幻方的排列法：<br />
<math>\begin{bmatrix}
1 & 2 & 3 & 4 \\
5 & 6 & 7 & 8 \\
9 & 10 & 11 & 12 \\
13 & 14 & 15 & 16
\end{bmatrix}</math><br />
按如上图排列好，再将非主副对角线上的各个数关于中心对调，即成下图：<br />
<math>\begin{bmatrix}
1 & 15 & 14 & 4 \\
12 & 6 & 7 & 9 \\
8 & 10 & 11 & 5 \\
13 & 3 & 2 & 16
\end{bmatrix}</math><br />
八阶幻方构造如下<br />
<math>\left[ \begin{array}{cccc|cccc}
  \diagdown & \bigstar & \bigstar & \diagup & \diagdown & \bigstar & \bigstar & \diagup \\ 
  \bigstar & \diagdown & \diagup & \bigstar & \bigstar & \diagdown & \diagup & \bigstar \\
  \bigstar & \diagup & \diagdown & \bigstar & \bigstar & \diagup & \diagdown & \bigstar \\
  \diagup & \bigstar & \bigstar & \diagdown & \diagup & \bigstar & \bigstar & \diagdown \\
  \hline
  \diagdown & \bigstar & \bigstar & \diagup & \diagdown & \bigstar & \bigstar & \diagup \\ 
  \bigstar & \diagdown & \diagup & \bigstar & \bigstar & \diagdown & \diagup & \bigstar \\
  \bigstar & \diagup & \diagdown & \bigstar & \bigstar & \diagup & \diagdown & \bigstar \\
  \diagup & \bigstar & \bigstar & \diagdown & \diagup & \bigstar & \bigstar & \diagdown \\
\end{array} \right]</math><br />
即：<br />
<math>\begin{bmatrix}
 1 & 63 & 62 &  4 &  5 & 59 & 58 &  8\\ 
56 & 10 & 11 & 53 & 52 & 14 & 15 & 49\\ 
48 & 18 & 19 & 45 & 44 & 22 & 23 & 41\\ 
25 & 39 & 38 & 28 & 29 & 35 & 34 & 32\\ 
33 & 31 & 30 & 36 & 37 & 27 & 26 & 40\\ 
24 & 42 & 43 & 21 & 20 & 46 & 47 & 17\\ 
16 & 50 & 51 & 13 & 12 & 54 & 55 &  9\\ 
57 &  7 &  6 & 60 & 61 &  3 &  2 & 64
\end{bmatrix}</math>

==== <math>4k+2</math>阶幻方构造法 ====

=====LUX法=====
在(4M+2)×(4M+2）個方格的適當格點上，先排出2M+1階的幻方。在前M+1行的格點，全部標上「L」；在第M+1行的中間格點標上「U」，其余格點標上「L」；在第M+2行的中间格點標上「L」，其余格點標上「U」；在餘下的M-1行的格點全部標上「X」。將格點上的數乘以4再減4，再按下面的規則加上1至4其中一個數，填入對應的格上：

  4 1    1 4    1 4
   L      U      X
  2 3    2 3    3 2

例子：
<pre>
[ 68  65  96  93   4   1  32  29  60  57 ]
   17L     24L      1L      8L     15L
[ 66  67  94  95   2   3  30  31  58  59 ]

[ 92  89  20  17  28  25  56  53  64  61 ]
   23L      5L      7L     14L     16L
[ 90  91  18  19  26  27  54  55  62  63 ]

[ 16  13  24  21  49  52  80  77  88  85 ]
    4L      6L     13U     20L     22L
[ 14  15  22  23  50  51  78  79  86  87 ]

[ 37  40  45  48  76  73  81  84  9   12 ]
   10U     12U     19L     21U      3U
[ 38  39  46  47  74  75  82  83  10  11 ]

[ 41  44  69  72  97  100  5  8   33  36 ]
   11X     18X     25X      2X      9X
[ 43  42  71  70  99  98   7  6   35  34 ]
</pre>

===== 斯特拉奇法 =====

{{main|en:Strachey method for magic squares}}

=== 任何階數的幻方都適用的構造法 ===

==== 艾歆緹雅法 ====

此方法可用來建構任何階數的幻方，當要建構n階幻方時，使用兩個方陣，一個填入正整數1到n各n次，另一個則填入0、n、2n、3n、…、(n-1)*n各n次，儘管奇數階幻方與偶數階幻方的填入方式有所不同。

對於奇數階幻方：

第一個方陣：在第一橫列中央的方格填入1，並且往左下角不斷填入1，若超出方陣外，則向右平移n格，直到每一橫列都有一個方格填入1為止，再把所有填入1的方格右邊的格子填入2（若超出方陣外，則向左平移n格），再把所有填入2的方格右邊的格子填入3，一直到填入n為止。

第二個方陣：在第一直行中央的方格填入0，並且往右下角不斷填入1，若超出方陣外，則向上平移n格，直到每一直行都有一個方格填入0為止，再把所有填入0的方格右邊的格子填入n（若超出方陣外，則向上平移n格）。再把所有填入n的方格右邊的格子填入2n，一直到填入(n-1)*n為止。

再把兩個方陣中的數相加。

事實上，你可以將這兩個方陣中的每一個相同數字都替換為另一個數字，只要這兩個方陣中原本有出現的n個數字都仍然各出現n次即可，唯一的條件是第一個方陣中(n+1)/2這個數字，以及第二個方陣中(n-1)*n/2這個數字，不能被替換。

對於偶數階幻方：

第一個方陣：第一直行由上到下依次填入1到n，第二直行由下到上依次填入1到n，第三直行與第二直行相同，第四直行與第一直行相同，若超過四直行，則重複第一到第四直行的步驟。

第二個方陣：第一橫列由上到下依次填入0到n*(n-1)，第二橫列由下到上依次填入0到n*(n-1)，第三橫列與第二橫列相同，第四橫列與第一橫列相同，若超過四橫列，則重複第一到第四橫列的步驟。

此方法暫時只適用於4k階的幻方。

事實上，你可以將這兩個方陣中的每一個相同數字都替換為另一個數字，只要這兩個方陣中原本有出現的n個數字都仍然各出現n次即可，唯一的條件是第一個方陣中每個直行相對的兩個數字之和必須是n+1，以及第二個方陣中每個橫列相對的兩個數字之和必須是n*(n-1)。

如果是4k+2階的幻方，就必須在第二個方陣中，檢查每個直行相對的兩個數字之和為n*(n-1)的格子，對於這些格子，第一個方陣的對應格子。

==== 加邊法 ====

當n為大於等於5的正整數時，此方法可由n-2階幻方外圍加上一圈來構造n階幻方。

以<math>6</math>阶为例子，先排出<math>4</math>阶的幻方，如上图，再将图中每一个数都加上<math>8m+2=10</math>，有下图：<br />
<math>\begin{bmatrix}
11 & 25 & 24 & 14 \\
22 & 16 & 17 & 19 \\
18 & 20 & 21 & 15 \\
23 & 13 & 12 & 26
\end{bmatrix}</math><br />
	
在外围加上一圈格子，把<math>1,2,3,\dots,8m+2</math>和<math>16m^2+8m+3,16m^2+8m+4,\dots,(4m+2)^2</math>这些数安排在外圈格子内，但要使相对两数之和等于<math>16m(m+1)+5</math>。对于<math>m=1</math>这些数是：<math>1,2,3,4,5,6,7,8,9,10</math>；<math>27,28,29,30,31,32,33,34,35,36</math>。<br />结果如下：<br />
<math>\begin{bmatrix}
1 & 9 & 34 & 33 & 32 & 2 \\
6 & 11 & 25 & 24 & 14 & 31 \\
10 & 22 & 16 & 17 & 19 & 27 \\
30 & 18 & 20 & 21 & 15 & 7 \\
29 & 23 & 13 & 12 & 26 & 8 \\
35 & 28 & 3 & 4 & 5 & 36
\end{bmatrix}</math>

==== 方陣合成法 ====

當n可以分解成兩個大於等於3的正整數a與b的乘積時，此方法可由a階幻方與b階幻方來構造n階幻方。

# 以a(k)表示a階幻方中的每一個數字加上k*a<sup>2</sup>的結果，則所有的a(k)都是幻方，且a(0)=原本的a階幻方。
# 將b階幻方中的數字k都用幻方a(k-1)取代。

===編程語言參考實現===
#include<stdio.h>
int a[17],b[17],m;
void s(int i)
{  /*搜索全部四階幻方，C代碼,運行時間7秒*/
    int n=0,j=0;
    while(++j<17)
        if(!a[j])
        {
            a[b[i]=j]=1;
            switch(i)
            {
                case 1:case 2:case 3:case 5:case 6:case 7:case 9:case 10:s(i+1);break;
                case 11:if(b[6]+b[7]+b[10]+b[11]==34)s(12);break;
                case 4:case 8:case 12:if(b[i-3]+b[i-2]+b[i-1]+b[i]==34)s(i+1);break;
                case 13:if(b[1]+b[5]+b[9]+b[13]==34&&b[4]+b[7]+b[10]+b[13]==34)s(14);break;
                case 14:case 15:if(b[i-12]+b[i-8]+b[i-4]+b[i]==34)s(i+1);break;
                case 16:for(printf("\n"),++m;++n<17;n%4?0:printf("\n"))printf("%2d ",b[n]);
             }
             a[j]=0;
        }
}
int main(void)
{
    s(1);
    printf("四階幻方總數量:%d(含旋轉反射相同)",m);
    return 0;
}

===四階幻方全解搜索(C/C++)<ref>{{cite web |url=http://blog.csdn.net/mhl_1208980380/article/details/54342165 |title="所有四阶幻方" |language=zh-cn |date= |accessdate=2017-01-11 |archive-date=2017-01-13 |archive-url=https://web.archive.org/web/20170113110811/http://blog.csdn.net/mhl_1208980380/article/details/54342165 |dead-url=no }}</ref>{{需要更好来源}}===
<syntaxhighlight lang="C">
#include<stdio.h>
int a[17],b[17],m;
void s(int i)
{  /*搜索全部四階幻方，C代碼,運行時間7秒*/
    int n=0,j=0;
    while(++j<17)
        if(!a[j])
        {
            a[b[i]=j]=1;
            switch(i)
            {
                case 1:case 2:case 3:case 5:case 6:case 7:case 9:case 10:s(i+1);break;
                case 11:if(b[6]+b[7]+b[10]+b[11]==34)s(12);break;
                case 4:case 8:case 12:if(b[i-3]+b[i-2]+b[i-1]+b[i]==34)s(i+1);break;
                case 13:if(b[1]+b[5]+b[9]+b[13]==34&&b[4]+b[7]+b[10]+b[13]==34)s(14);break;
                case 14:case 15:if(b[i-12]+b[i-8]+b[i-4]+b[i]==34)s(i+1);break;
                case 16:for(printf("\n"),++m;++n<17;n%4?0:printf("\n"))printf("%2d ",b[n]);
             }
             a[j]=0;
        }
}
int main(void)
{
    s(1);
    printf("四階幻方總數量:%d(含旋轉反射相同)",m);
    return 0;
}
</syntaxhighlight>

==== 奇數階幻方算法的[[Java]]語言實現====
<syntaxhighlight lang="java">
/**
* @author: contribute to wikipedia according GNU
* @description:用於創建奇數階的幻方
*/

public class magic_squre_odd {
       static int[][]  matrix;
       static int   n;
       public static void magic_squre_odd_generate()
       { matrix = new int[n][n];
         //所有的數初始化為0

         matrix[0][(n-1)/2] = 1;
         int x = 0,y = (n-1)/2;

         //count:記住已經插入過的數
          for(int count = 2; count<=n*n;count++)
          while(true)
          {
          //先x-1 y+1
        	  x--;
        	  y++;

        	  //判斷是否可以插入
          	  while(true)
                 {//循環判斷是否越界，直到一個地方不越界為止
                    //判斷是否越界：
                    //越上界x<0，則移到最下方x=x+n，y不變; continue
                   if(x<0)
                   {
                   	x += n;
                   	continue;
                   }

                   //越右界y>=n，則y=y-n，x不變;continue
                   if(y>=n)
                   {
                   	y -= n;
                   	continue;
                   }

        	    //循環判斷是否該位置已經有數據，直到找到一個空位
                      //如果有數據，則移到x = x + 2;y = y - 1; continue
                   if (y<0){y+=n;continue;}
                   if(matrix[x][y] != 0 )
                   {
                   	x += 2;y -= 1;
                   	if (x>=n){x-=n;continue;}
                   	if (y<0){y+=n;continue;}
                   	continue;
                   }
                   break;
                 }

                 //將當前的count值賦給選出的空位
                      matrix[x][y]= count;
                      break;
         }
       }

       public static void print()
       {
        	for(int i = 0; i < n; i++)
        	{
        		for(int j = 0; j < n; j++)
        	    {
        			//System.out.println(matrix[i][j]);
        			System.out.print(matrix[i][j]);
        			System.out.print("_");
        	    }
        		System.out.println();
        	}
       }

       public  static void main(String[] args)
       {   //手工輸入n的值，並確保為奇數
             n = 11;
           magic_squre_odd_generate();
           print();
       }
}
</syntaxhighlight>
 以下是本算法將n設置為11時得出的11階幻方的構造結果：

 68 81 94 107 120 1 14 27 40 53 66
 80 93 106 119 11 13 26 39 52 65 67
 92 105 118 10 12 25 38 51 64 77 79
 104 117 9 22 24 37 50 63 76 78 91
 116 8 21 23 36 49 62 75 88 90 103
 7 20 33 35 48 61 74 87 89 102 115
 19 32 34 47 60 73 86 99 101 114 6
 31 44 46 59 72 85 98 100 113 5 18
 43 45 58 71 84 97 110 112 4 17 30
 55 57 70 83 96 109 111 3 16 29 42
 56 69 82 95 108 121 2 15 28 41 54

==== <math>4</math>階幻方算法的Java語言實現 ====
<syntaxhighlight lang="java">
 /**
 * @author: contribute to wikipedia according GNU
 * @description:用於創建4階的幻方
 *
 */

 public class magic_square_4m {

 	/**
 	 * @param args
 	 */
 	static int  matrix[][];
 	static int   n;

 	static void magic_squre_4m_generate()
 	{
 	  //初始化matrix
 		matrix = new int[n][n];

 	  //將matrix裡的位置用數順序排列
 	  int ini = 0;
 	  for(int i = 0; i < n; i++)
 		  for(int j = 0; j < n; j++)
 			  matrix[i][j] = ++ini;
 		
 	  //輸出對調前的樣子
 	  System.out.println("對調之前的樣子：");
 	  print();
 	
 	  //然後對調（僅對右上方的數進行遍歷）
 	  for(int i = 0; i < n; i++)
 	      for(int j = i + 1; j < n; j++)
 	      {
 	    	  if(( i != j) && (i + j) != (n -1) )
 	    	  {   //對不在主付對角線上的數關於中心對調
 	    		  int temp;
 	    		  temp = matrix[i][j];
 	    		  matrix[i][j] = matrix[n -1 - i][n - 1 - j];
 	    		  matrix[n -1 - i][n - 1 - j] = temp;
 	    	  }
 		  }
 	}
 	
 	public static void print()
 	{
 		for(int i = 0; i < n; i++)
 		{
 			for(int j = 0; j < n; j++)
 		    {
 				System.out.print(matrix[i][j]);
 				System.out.print("_");
 		    }
 			System.out.print("\n");
 		}
 	}
 	
 	public static void main(String[] args) {
         //這裡手動設置n的數值為4，這裡只能設置為4，因為只求4階幻方	
 		n = 4;
 		magic_squre_4m_generate();
 		System.out.println("對調之後的樣子：");
 		print();
 	}
 }
 </syntaxhighlight>
 以下是本算法輸出的結果：

 對調之前的樣子：
 1_2_3_4_
 5_6_7_8_
 9_10_11_12_
 13_14_15_16_
 對調之後的樣子：
 1_15_14_4_
 12_6_7_9_
 8_10_11_5_
 13_3_2_16_

== 研究价值 ==
知名华人数学家[[陈省身]]曾在数学演讲中说幻方只是一个奇迹，它在数学中没有引起更普遍深刻的影响，不属于“好的数学”。<ref>{{cite news |url=http://news.hexun.com/2015-03-02/173643288.html |title=陈省身：如何做“好的数学” |author=黄且圆 |journal=[[天津日报]] (摘自数学家[[杨乐]]夫人黄且圆所著的《大学者》); [[和讯网]] (转载网站) |language=zh-cn |date=2015年3月2日 |access-date=2019年9月29日 |quote="可惜幻方只是一个奇迹，它在数学中没有引起其他更普遍深刻的影响。相反地，另外一个奇迹，所有的圆、圆的周长和它的直径之比都是一个不变的数，数学上称之为圆周率，记作。这个结果可重要了，因为这个数渗透了整个数学！...幻方只是一个偶然现象，虽很巧妙，但不属于好的数学。" |archive-date=2019年9月29日 |archive-url=https://web.archive.org/web/20190929050744/http://news.hexun.com/2015-03-02/173643288.html |dead-url=no }}</ref>

对幻方的学习和研究一直局限于[[趣味数学]]本身，更接近数字游戏或[[文字游戏]]，缺乏与主流数学的联系(和[[璇玑图]]在中国诗歌中的地位有一些相似)。数学和物理中也有具有更多学术价值的特殊数字方阵，如推动了[[试验设计]]研究的[[拉丁方陣]]和已有应用的[[阿达玛矩阵]]，还有在[[量子力学]]中有重要价值的[[泡利矩阵]]及其推广版本[[盖尔曼矩阵]]。[[魔术方块]]则可以与[[群论]]建立联系(见[[魔方群]])，可以作为[[抽象代数]]的入门教具，也是[[计算群论]]的研究案例之一，并非单纯的几何玩具。高性能的计算机诞生后，幻方、[[幻星]]、素数环(prime ring problem)等很多这类需要满足特殊规律的填数问题，只要所需的数字规模不大，都可以考虑通过[[深度优先搜索]]算法暴力求解和枚举。

== 艺术与流行文化 ==
* 德国画家与雕刻家[[阿尔布雷希特·丢勒]]曾在一幅名作《忧郁》(Melencolia I)的角落中画下一个幻方。这个著名的幻方图也被知名工程数学软件[[MATLAB]]加入自己的帮助文档中。{{citation needed}}

== 参见 ==
* [[九宫图]]
* [[九宫算]]
* [[洛书]]
* [[幻圆]]
<!--* {{link-en||Antimagic square|Antimagic square}}-->
<!--* {{link-en||Associative magic square|Associative magic square}}
* {{link-en||Combinatorial design|Combinatorial design}}
* {{link-en||Freudenthal magic square|Freudenthal magic square}}
* {{link-en||John R. Hendricks|John R. Hendricks}}
* {{link-en||Hexagonal tortoise problem|Hexagonal tortoise problem}}-->
<!--* {{link-en||Magic cube classes|Magic cube classes}}
* {{link-en||Magic series|Magic series}}
* {{link-en||Most-perfect magic square|Most-perfect magic square}}
* {{link-en||Nasik magic hypercube|Nasik magic hypercube}}-->
* [[素数倒数幻方]]
<!--*{{link-en||Room square|Room square}}
* {{link-en||Sigil (magic)|Sigil (magic)}}
* {{link-en||Sriramachakra|Sriramachakra}}-->
* [[數獨]]
* [[未解决的数学问题]]
* [[吠陀方形]]
<!--* {{link-en||Magic polygon|Magic polygon}}-->
* [[Frenicle 标准型式]]
* [[数字推盘游戏]]
* [[泛對角幻方]]

== 參考資料 ==
=== 引用 ===
{{reflist}}

=== 延伸阅读 ===
* {{cite book |author=高治源 |title=九宫图探秘 |publisher=香港天马图书有限公司 |language=zh-hk |year=2004}}
* {{cite book |author=张道鑫 |title=素数幻方 |publisher=香港天马图书有限公司 |language=zh-hk |year=2003}}
* {{cite book |author=李杭强 |title=趣味数学幻方 |publisher=香港天马图书有限公司 |language=zh-hk |year=2002}}
* {{cite book |author=林正禄 |title=开拓智力的奇方——幻方 |publisher=香港天马图书有限公司 |language=zh-hk |year=2001}}

== 外部链接 ==
{{Portal|中國數學史}}
* [https://web.archive.org/web/20190218042229/http://mathworld.wolfram.com/MagicSquare.html 幻方介绍及其建造方法（英语）]
* [https://web.archive.org/web/20090425060356/http://oddest.nc.hcc.edu.tw/mqmain.htm 一個小學老師對幻方的研究]

{{Authority control}}

{{DEFAULTSORT:magic square}}
[[Category:幻方| ]]
[[Category:矩陣]]
[[Category:中国数学发现]]
[[Category:数学中未解决的问题]]