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在[[泛函分析]]中，'''幺正算符'''（{{lang-en|'''unitary operator'''}}，或称'''酉算符'''）是定义在[[希尔伯特空间]]上的[[等距同构|有界线性算符]]''U''&nbsp;:&nbsp;''H''&nbsp;→&nbsp;''H''，满足如下规律：

:<math>U^*U=UU^*=I</math>

其中 ''U''<sup>∗</sup> 是 ''U''的[[共轭转置|厄米转置]], 而 ''I''&nbsp;:&nbsp;''H''&nbsp;→&nbsp;''H''是[[恒等式|恒等算符]]。 幺正算符具有如下性质：

#''U'' 保持了[[希尔伯特空间]]上内积〈  ,  〉的不变性, 即对于[[希尔伯特空间]]上的任意[[矢量]] ''x''和''y'' ,都有: <math>\langle Ux, Uy \rangle = \langle x, y \rangle.</math>
#''U'' 是[[满射]]的。 

这两个条件还可以用两个较弱的但是等价的定义表示出来：

#''U'' 保证了[[内积空间|内积]]的不变
#''U'' 是一个[[稠密集|稠集]].

U保持内积不变可以推出U是个[[等距同构|有界线性算符]]；而U是[[稠密集|稠集]]保证了U的逆''U''<sup>&minus;1</sup>的存在。而''U''<sup>&minus;1</sup> = ''U''<sup>∗</sup>是很明显的。   

所以，幺正算符是[[希尔伯特空间]]的[[自同构]]，即幺正算符保持空间结构的不变，比如说空间的线性叠加性和内积以及拓扑性质的不变。在群论中，一个给定[[希尔伯特空间]]''H''上的所有幺正算符组成了该空间的'''希尔伯特群'''，表示为Hilb(''H'')。

较弱的条件''U''<sup>∗</sup>''U''&nbsp;=&nbsp;''I''说明算符U是等距算符。另一个条件''U'' ''U''<sup>∗</sup>&nbsp;=&nbsp;''I''说明算符是伴同等距算符<ref>{{harvnb|Halmos|1982|loc=Sect. 127, page 69}}</ref>。

'''单位元''' 是单位算符的一般化形式。在单位元[[*-代数]]中， 其中的单元''U'' 被叫做 单位元, 当满足如下条件：
:<math>U^*U=UU^*=I</math>
其中 ''I'' 是单位算符。<ref>
{{cite book | last = Doran | first = Robert S. |coauthors = Victor A. Belfi | title = Characterizations of C*-Algebras: The Gelfand-Naimark Theorems | url = https://archive.org/details/characterization0000dora | publisher = Marcel Dekker | location = New York | year = 1986 | isbn = 0824775694 }}
</ref>

==范例==
*[[恒等函数]]就是一个平凡的幺正算符。

*在一个'''R'''<sup>''2''</sup>上旋转是一个最简单但又很重要的幺正算符。旋转并不改变一个矢量的长度或者两个矢量的夹角。这个算符还可以推广到'''R'''<sup>''3''</sup>中。

*在一个[[复数 (数学)|复数]]的[[矢量空间]]'''C'''里，乘以一个[[绝对值]]是1的数，也就是，一个数形式为 ''e''<sup>''i θ''</sup> ，其中''θ'' ∈ '''R'''，就是一个幺正算符。''θ''表示一个相位，相乘就是指乘以一个相位。注意到，''θ''的值是以2''π'' 为模，但并不影响我们相乘的结果，所以这些在C空间内独立的幺正算符是有周期性的。作为一个集合，这个周期对应的群，我们称作U(1)。

*一般地说，[[酉矩阵]]是在有限维的[[希尔伯特空间]]下的幺正算符，所以，幺正算符的概念包括了酉矩阵的概念。[[正交矩阵]]就是酉矩阵的一个特例，当酉矩阵中元素都为实数。他们是在'''R'''<sup>''n''</sup>上的幺正算符。

*在整数索引的[[Lp空间|序列空间]]<math>\ell^2</math>上的{{le|变换算符|shift operator|双边变换算符}}是单一的。一般而言，在一个希尔伯特空间中任何一个通过围绕[[标准正交基]]变换作用的算符都是单一的。在有限维的情况下，这样的算符就是排列矩阵。{{le|变换算符|shift operator|单边变换}}是一个等距[[算子]]（isometry），他的共轭是一个半同等距算子（coisometry）。

*{{le|傅里叶算符|Fourier operator}}是一个幺正算符，也就是，一个执行[[傅里叶变换]]（有适当的归一化）的算符。这是由[[帕塞瓦定理]]推得。

*幺正算符在{{le|幺正表示|unitary representations}}中应用。

==线性叠加性==
幺正算符的叠加性并不是第一的性质，也就是说并不是强加上去的性质，而是可以从内积的线性叠加性和恒正行推导出来的性质：
:<math> \langle \lambda\cdot Ux-U(\lambda\cdot x), \lambda\cdot Ux-U(\lambda\cdot x) \rangle </math>
:<math>  = \| \lambda \cdot Ux \|^2 + \| U(\lambda \cdot x) \|^2 - \langle U(\lambda\cdot x), \lambda\cdot Ux \rangle - \langle \lambda\cdot Ux, U(\lambda\cdot x) \rangle </math>
:<math> = |\lambda|^2 \cdot \| Ux \|^2 + \| U(\lambda \cdot x) \|^2 - \overline{\lambda}\cdot \langle U(\lambda\cdot x), Ux \rangle - \lambda\cdot \langle Ux, U(\lambda\cdot x) \rangle </math>
:<math> = |\lambda|^2 \cdot \| x \|^2 + \| \lambda \cdot x \|^2 - \overline{\lambda}\cdot \langle \lambda\cdot x, x \rangle - \lambda\cdot \langle x, \lambda\cdot x \rangle </math>
:<math> = 0</math>
可以得到近似后
:<math>\langle U(x+y)-(Ux+Uy), U(x+y)-(Ux+Uy) \rangle = 0 </math>.

== 单位谱性 ==
任意幺正算符{{mvar|U}}的谱在一个[[单位圆]]上。换言之，对幺正算符谱上的任意复数{{mvar|λ}}都有{{math|{{!}}''λ''{{!}} {{=}} 1}}。

==参见==
*{{le|幺正变换|Unitary transformation}}
*[[反幺正算符]]

==脚注==
{{Reflist}}

==参考文献==
*{{cite book|authorlink=保罗·哈尔莫斯|last = Halmos|first = Paul|title = A Hilbert space problem book|publisher = Springer Verlag|series=Graduate Texts in Mathematics|volume=19|year = 1982|edition=2nd|isbn=978-0387906850}}

*{{cite book |authorlink=塞尔日·兰|last = Lang|first = Serge|title = Differential manifolds|publisher = Addison-Wesley Publishing Co., Inc.|location = Reading, Mass.&ndash;London&ndash;Don Mills, Ont.|year = 1972|isbn=978-0387961132}}

{{泛函分析}}
{{DEFAULTSORT:Y}}
[[Category:算子理论]]
[[Category:酉算子]]

[[de:Unitäre Abbildung]]