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{{Merge to|交运算|discuss=Talk:交运算#請求與并运算合併|time=2021-12-21T18:29:11+00:00}}
{{NoteTA
|1 = zh-cn:并; zh-tw:接; zh-hk:併;
|2 = zh-hans:并且; zh-hant:並且;
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在数学中，集合上的'''并'''（{{Lang-en|join}}）可以用两种方式定义：关于这个集合上的[[偏序集合|偏序]]的唯一[[上确界]]（最小上界），假定这种上确界存在的话；或者是满足[[幂等律]]的[[交换律|交换]][[结合律|结合]][[二元运算]]。在任何一个情况下，这个集合与并运算一起是[[并半格]]。两个定义生成等价的结果，除了[[偏序关系|偏序]]方式有可能直接的定义更一般的元素的集合的并之外。最常见到并运算的领域是[[格 (数学)|格]]。

<math>x</math> 和 <math>y</math> 的并通常被指示为 <math>x \lor y</math>。

==偏序定义==

设 ''A'' 是带有[[偏序关系|偏序]] <math>\leq</math> 的一个集合，-{zh-hans:并; zh-hant:並;}-设 <math>x</math> 和 <math>y</math> 是 ''A'' 中的两个元素。''A'' 中的一个元素 <math>z</math> 是 <math>x</math> 和 <math>y</math> 的并（或最小上界或上确界），如果满足下列两个条件:
:'''1.'''  <math>x \leq z</math> 且 <math>y \leq z</math> （就是说，<math>z</math> 是 <math>x</math> 和 <math>y</math> 的一个上界）
:'''2.'''  对于 ''A'' 中任何 <math>w</math>，使得 <math>x \leq w</math> 且 <math>y \leq w</math>，有着 <math>z \leq w</math> （就是说，<math>z</math> 小于任何其他 <math>x</math> 和 <math>y</math> 的上界）。
如果 <math>x</math> 和 <math>y</math> 有并，则实际上它是唯一的，因为如果 <math>z</math> 和 <math>z'</math> 都是 <math>x</math> 和 <math>y</math> 的最小上界，则 <math>z \leq z' \leq z</math>，因此确实 <math>z = z'\,</math>。如果并存在，它被指示为 <math>x \lor y</math>。''A'' 中的某些对元素可能缺乏并，要么因为它们根本就没有上界，要么因为它们的上界没有一个小于所有其他的。如果所有的元素对都有并，则这个并实际上是在 ''A'' 上的[[二元运算]]，并且容易看出这个运算满足下列三个条件: 对于 ''A'' 中任何元素 <math>x</math>, <math>y</math> 和 <math>z</math> 有
:'''a.'''  <math>x \land y = y \land x</math> ([[交换律]])，
:'''b.'''  <math>x \land (y \land z) =(x \land y) \land z</math> ([[结合律]])，
:'''c.'''  <math>x \land x = x</math> ([[幂等律]])。

==泛代数定义==

通过定义，在集合 ''A'' 上的[[二元运算]] <math>\lor</math> 是并，如果它满足上述三个条件 '''a''', '''b''' 和 '''c'''。有序对 (''A'',<math>\lor</math>) 就是[[并半格]]。此外，我们可以定义在 ''A'' 上的[[二元关系]] <math>\leq</math>，通过声称 <math>x \leq y</math> 当且仅当 <math>x \lor y = y</math>。事实上，这个关系是在 ''A'' 上的[[偏序关系|偏序]]。实际上，对于 ''A'' 中任何元素 <math>x</math>, <math>y</math> 和 <math>z</math> 有
:<math>x \leq x</math>，因为 <math>x \lor x = x</math>，通过公理 '''c'''；
:如果 <math>x \leq y</math> 且 <math>y \leq x</math>，则 <math>y = x \lor y = y \lor x = x</math>，通过公理 '''a'''；
:如果 <math>x \leq y</math> 且 <math>y \leq z</math>，则 <math>x \leq z</math>，因为 <math> x \lor z = x \lor (y \lor z) = (x \lor y) \lor z = y \lor z = z</math>，通过公理 '''b'''。

==两个定义的等价性==
如果 (''A'',<math>\leq</math>) 是[[偏序集合]]，使得 ''A'' 中每对元素都有并，则确实 <math>x \lor y = y</math> 当且仅当 <math>x \leq y</math>，因为在后者情况下 <math>y</math> 的确是 <math>x</math> 和 <math>y</math> 的上界，并且因为明显的 <math>y</math> 是最小上界当且仅当它是上界。因此，以泛代数方式的并定义的偏序一致于最初的偏序。

反过来说，如果 (''A'',<math>\lor</math>) 是并半格，并用泛代数的方式定义偏序 <math>\leq</math>，对于 ''A'' 中某些元素 <math>x</math> 和 <math>y</math> 有 <math>z = x \lor y</math>，则 <math>z</math> 是 <math>x</math> 和 <math>y</math> 关于 <math>\leq</math> 的最小上界，因为 <math>x \lor z = (x \lor x) \lor y = z \;\Rightarrow\; x \leq z</math>，类似的 <math>y \leq z</math>，并且如果 <math>w</math> 是 <math>x</math> 和 <math>y</math> 的另一个上界，则 <math>x \lor w = y \lor w = w</math>，因而 <math>z \lor w = (x \lor y) \lor w = x \lor (y \lor w) = x \lor w = w</math>。所以最初的并定义的偏序定义的并一致于最初的并。

换句话说，这两种方式生成本质上等价的概念，集合配备了二元关系和二元运算二者，使得每个结构都有另一个确定，而且分别满足关于偏序或并的那些条件。

==一般子集的并==

如果 (''A'',<math>\lor</math>) 是并半格，则并可以被扩展为任何非空有限集合的良好定义的并，通过在[[迭代二元运算]]中描述的技术。可作为替代的，并定义或定义自偏序，''A'' 的某个子集的确有关于它的[[上确界]]。对于非空有限子集，这两种方式生成同样的结果，因此任何一个都可以作为并的定义。在 ''A'' 的每个子集都有并的情况下，实际上 (''A'',<math>\leq</math>) 是[[完全格]]；详情请参见[[完全性 (序理论)]]。

==参见==
*[[上确界]]
*[[半格]]
*[[格 (数学)]]
*[[偏序集合]]
*[[交运算]]

[[Category:序理论|B]]
[[Category:抽象代数|B]]
[[Category:二元運算|B]]