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在[[数学]]特别是[[双线性代数]]中，有同样维度的两个[[向量]] <math>\mathbf{u}</math> 和 <math>\mathbf{v}</math> 的'''并矢积'''

:<math>\mathbb{P} = \mathbf{u}\otimes\mathbf{v}</math>

是这些向量的[[张量积]]，而结果是[[张量的阶|阶]]为 2 的[[张量]]。

== 分量 ==
关于选定的[[基 (线性代数)|基]] <math>\{\mathbf{e}_i\}</math>，并矢积 <math>\mathbb{P} = \mathbf{u} \otimes \mathbf{v}</math> 的分量 <math>P_{ij}</math> 可以定义为

:<math>P_{ij} = u_i v_j </math> ,

这里的
:<math>\mathbf{u} = \sum_i u_i \mathbf{e}_i</math> ,
:<math>\mathbf{v} = \sum_j v_j \mathbf{e}_j</math> ,

而
:<math>\mathbb{P} = \sum_{i,j} P_{ij} \mathbf{e}_i \otimes \mathbf{e}_j</math> .

== 矩阵表示==
并矢积可以简单的表示为通过[[列向量]] <math>\mathbf{u}</math> [[矩阵乘法|乘以]][[行向量]] <math>\mathbf{v}</math> 的方块[[矩阵]]。例如，

:<math>
 \mathbf{u} \otimes \mathbf{v}
 \rightarrow
 \begin{bmatrix}
 u_1 \\
 u_2 \\
 u_3 \end{bmatrix}
 \begin{bmatrix} v_1 & v_2 & v_3 \end{bmatrix}
 =
 \begin{bmatrix}
 u_1v_1 & u_1v_2 & u_1v_3 \\
 u_2v_1 & u_2v_2 & u_2v_3 \\
 u_3v_1 & u_3v_2 & u_3v_3
 \end{bmatrix} ,
</math>
这里的箭头指示这只是并矢积关于特定[[基 (线性代数)|基]]的特定表示。在这种表示中，并矢积是[[克罗内克积]]的特殊情况。

==参见==
* [[并矢张量]]
* [[张量积]]
* [[克罗内克积]]
* [[外积]]


[[Category:张量|B]]
[[Category:二元运算|B]]

[[en:Dyadic product]]
[[ru:Умножение двухэлементного тензора]]
[[uk:Множення двохелементного тензора]]