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{{Other uses|subject=[[数学]]上的平面|other=[[语言学]]上的平面|平面 (语言学)}}
[[File:Tisch 17. Jh.jpg|thumb|以人類的尺度而言，桌面可近似地看作一類平面。]]
[[数学]]上，一个'''平面'''（plane）就是基本的[[二维]]对象。直观的讲，它可以视为一个平坦的拥有无穷大面积的纸。多数[[几何]]、[[三角学]]和制图的基本工作都在二维进行，或者说，在平面上进行。

给定一个平面，可以引入一个[[直角坐标系]]以便在平面上用两个数字唯一的标示一个点，这两个数字也就是它的[[坐标]]。

在三维''x''-''y''-''z''坐标系中，可以将平面定义为一个[[方程]]的集：

:<math>ax + by + cz + d = 0</math>,

其中''a'', ''b'', ''c''和''d''是[[实数]]，使得''a'', ''b'', ''c''不全为0。或者，一个平面也可以参数化的表述，作为所有具有'''u''' + ''s'' '''v''' + ''t'' '''w'''形式的点的集合，其中''s''和''t''取遍所有实数，而'''u''', '''v''' 和'''w'''是给定用于定义平面的[[向量]]。

平面由如下组合的任何一个唯一确定

* 三个不[[共线]]的[[点]]（不位于同一[[直线]]上的）
* 一条直线和线外一点
* 一个点和一条[[垂直]]于平面的直线
* 两条[[相交]]的直线
* 两条[[平行]]的直线

在三维空间，两个不同平面或平行或交于一条直线。不和给定平面平行的直线交平面于一点。

== 由一点和一个法向量决定的平面 ==

对于一点<math> P_0 = (x_0,y_0,z_0) </math>和一个向量
<math>\vec{n} = (a, b, c) </math>，平面方程为

:<math> ax + by + cz = a x_0 + b y_0 + c z_0 </math>

这是穿过点<math> P_0 </math>并垂直于向量<math>\vec{n}</math>的平面。

== 通过三点的平面 ==

穿过三点<math> P_1 = (x_1,y_1,z_1) </math>, <math> P_2 = (x_2,y_2,z_2) </math> 和 <math> P_3 = (x_3,y_3,z_3) </math>的平面的方程可以表述为如下[[行列式]]:

:<math> \begin{vmatrix} x - x_1 & y - y_1 & z - z_1 \\
x_2 - x_1 & y_2 - y_1& z_2 - z_1 \\
x_3 - x_1 & y_3 - y_1 & z_3 - z_1 \end{vmatrix} = 0 </math>

== 一点到平面的距离 ==

对于一点<math> P_1 = (x_1,y_1,z_1) </math>和一个平面<math>ax + by + cz + d = 0</math>，从点<math> P_1 </math>到平面的距离是：

:<math> D = \frac{\left | a x_1 + b y_1 + c z_1+d \right |}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}} </math>

== 两个平面的夹角 ==

两个相交平面的[[夹角]]，称为[[二面角]]（dihedral angle），可以用平面方程<math>a_1 x + b_1 y + c_1 z + d_1 = 0</math>和<math>a_2 x + b_2 y + c_2 z + d_2 = 0</math>给出如下：

:<math> \alpha = \arccos{\frac{a_1 a_2 + b_1 b_2 + c_1 c_2}{\sqrt{a_1^2+b_1^2+c_1^2}\sqrt{a_2^2+b_2^2+c_2^2}}} </math>.

== 外部链接 ==
* [http://www.wdl.org/zh/item/2850 减少算术和平面几何的难点] {{Wayback|url=http://www.wdl.org/zh/item/2850 |date=20150210081248 }} 是一个阿拉伯语的手稿，从15世纪，作为一个教程平面的[[几何]]和[[算术]]

{{几何术语}}

[[Category:几何术语]]
[[Category:曲面]]
[[Category:欧几里得几何]]
[[Category:日語借詞]]