查看“︁平衡树”︁的源代码

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{{noteTA
| G1 = IT|zh-cn:编程范型; zh-tw:程式設計法;|zh-cn:编程;zh-hk:編程;zh-tw:程式設計;
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'''平衡树'''是[[计算机科学]]中的一类数据结构，为改进的[[二叉查找树]]。一般的二叉查找树的查询复杂度取决于目标结点到树根的距离（即深度），因此当结点的深度普遍较大时，查询的均摊复杂度会上升<ref name="knuth">
  [[高德纳|Donald Knuth]]. ''[[计算机程序设计艺术|The Art of Computer Programming]]'', Volume 3: ''Sorting and Searching'', Second Edition. Addison-Wesley, 1998. {{ISBN|0-201-89685-0}}. Section 6.2.3: Balanced Trees, pp.458–481.
</ref>。为了实现更高效的查询，产生了'''平衡树'''。[[File:Unbalanced_binary_tree.svg|thumb|240px|不平衡的[[树_(数据结构)|树结构]]]]

在这里，平衡指所有叶子的深度趋于平衡，更广义的是指在树上所有可能查找的均摊复杂度偏低。

[[File:AVLtreef.svg|thumb|240px|平衡的[[树_(数据结构)|树结构]]]]

==基本操作==
旋转（rotate）：几乎所有平衡树的操作都基于[[树旋转]]操作（也有部分基于重构，如[[替罪羊树]]），通过旋转操作可以使得树趋于平衡。对一棵查找树（search tree）进行查询、新增、删除等动作，所花的时间与树的高度h成比例，并不与树的容量n成比例。如果可以让树维持平衡，也就是让h维持在<math>O(\log{n})</math>的左右，就可以在<math>O(\log{n})</math>的复杂度内完成各种基本操作<ref name="knuth" />。

插入（insert）：在树中插入一个新值。

删除（delete）：在树中删除一个值。

查询前驱（predecessor）：前驱定义为小于''x''，且最大的数。

查询后继（successor）：后继定义为大于''x''，且最小的数。

在维护节点大小（size）后，可以支持以下操作：

查询排名（rank）：排名定义为比x小的数的个数加一。

查询第k大：即排名为''k''的数。

==各种平衡树==
*[[AVL树]]：是最早被发明的[[自平衡二叉查找树]]。在AVL树中，任一节点对应的两棵子树的最大高度差为1，因此它也被称为高度平衡树。查找、插入和删除在平均和最坏情况下的[[时间复杂度]]都是<math>O(\log{n})</math>。增加和删除元素的操作则可能需要借由一次或多次[[树旋转]]，以实现树的重新平衡。AVL树得名于它的发明者[[格奥尔吉·阿杰尔松-韦利斯基|G. M. Adelson-Velsky]]和Evgenii Landis，他们在1962年的论文''An algorithm for the organization of information'' 中公开了这一数据结构。 节点的平衡因子是它的左子树的高度减去它的右子树的高度（有时相反）。带有平衡因子1、0或 -1的节点被认为是平衡的。带有平衡因子 -2或2的节点被认为是不平衡的，并需要重新平衡这个树。平衡因子可以直接存储在每个节点中，或从可能存储在节点中的子树高度计算出来。
*[[树堆]]（Treap）：是有一个随机附加域满足[[堆]]的性质的[[二叉搜索树]]，其结构相当于以随机数据插入的[[二叉搜索树]]。其基本操作的期望[[时间复杂度]]为<math>O(\log{n})</math>。相对于其他的[[平衡二叉搜索樹|平衡二叉搜索树]]，Treap的特点是实现简单，且能基本实现随机平衡的结构。
*[[伸展树]]（Splay tree）：能在均摊<math>O(\log{n})</math>的时间内完成基于伸展（Splay）操作的插入、查找、修改和删除操作。它是由丹尼尔·斯立特（Daniel Sleator）和[[羅伯特·塔揚|罗伯特·塔扬]]在1985年发明的。在伸展树上的一般操作都基于伸展操作：假设想要对一个二叉查找树执行一系列的查找操作，为了使整个查找时间更小，被查频率高的那些条目就应当经常处于靠近树根的位置。于是想到设计一个简单方法，在每次查找之后对树进行调整，把被查找的条目搬移到离树根近一些的地方。伸展树应运而生。伸展树是一种自调整形式的二叉查找树，它会沿着从某个节点到树根之间的路径，通过一系列的旋转把这个节点搬移到树根去。 它的优势在于不需要记录用于平衡树的冗余信息。
*[[红黑树]] （Red–black tree）：在1972年由[[鲁道夫·贝尔]]发明，被称为"'''对称二叉B树'''"，它现代的名字源于Leo J. Guibas和[[Robert Sedgewick]]于[[1978年]]写的一篇论文。红黑树的结构复杂，但它的操作有着良好的最坏情况[[算法分析|运行时间]]，并且在实践中高效：它可以在<math>O(\log{n})</math>时间内完成查找，插入和删除，这里的n是树中元素的数目。
*[[加权平衡树]]（Weight balanced tree）：加权平衡树的每个结点储存这个结点下子树的大小，可以用来实现[[顺序统计树]]操作。优势在于占用空间相对较小。
*[[2-3树]]：其内部节点（存在子节点的节点）要么有2个孩子和1个数据元素，要么有3个孩子和2个数据元素，叶子节点没有孩子，并且有1个或2个数据元素。2–3树和[[AA树]]是[[等距同构]]的，换句话说，对于每个2–3树，都至少有1个AA树和它的元素排列是相同的。
*[[AA树]]：AA树是[[紅黑樹|红黑树]]的一种变种，是Arne Andersson教授在1993年年在他的论文"Balanced search trees made simple"中介绍，设计的目的是减少[[紅黑樹|红黑树]]考虑的不同情况，区别于红黑树的是，AA树的红节点只能作为右叶子，从而大大简化了维护[[2-3树]]的模拟。
*[[替罪羊树|替罪羊樹]]：其平衡基于部分重建，在非平衡的[[二叉搜索树]]中，每次操作以后检查操作路径，找到最高的满足左右子树大小大于平衡因子（alpha）乘以自身大小的结点，重建整个子树。这样就得到了替罪羊树，而被重建的子树的原来的根就被称为替罪羊节点。

==其他类型==
以下数据结构支持平衡树大多数操作，但实现有根本不同:

*[[跳表]]
*有序[[Vector (STL)|向量]]
*值域[[线段树]]
*[[Trie|数字搜索树]]（DigitalSearchTree）

==应用==
用于表示有序的线性数据结构，如[[优先队列]]、[[关联数组]]、键(key)-值(value)的[[映射]]等。自平衡的二叉查找树与哈希表的相比，各有优缺。平衡树在按序遍历所有键值时是量级最优的，哈希表不能。自平衡二叉查找树在查找一个键值时，最坏情况下时间复杂度优于哈希表， <math>O(\log n)</math>对比<math>O(n)</math>；但平均时间复杂度逊于hash表，<math>O(\log n)</math>对比<math>O(1)</math>。

平衡树的排序方法，虽然在平均时间复杂度上也是<math> O(n\log n) </math>，但由于cache性能、树的调整操作等，性能上不如[[快速排序]]、[[堆排序]]、[[归并排序]]等同为<math> O(n\log n) </math>复杂度的排序。

==参考文献==
{{reflist}}
==外部链接==
* [https://xlinux.nist.gov/dads/HTML/heightBalancedTree.html Dictionary of Algorithms and Data Structures: Height-balanced binary search tree] {{Wayback|url=https://xlinux.nist.gov/dads/HTML/heightBalancedTree.html |date=20181013023402 }}
* [http://adtinfo.org/ GNU libavl] {{Wayback|url=http://adtinfo.org/ |date=20090516003720 }}, a LGPL-licensed library of binary tree implementations in C, with documentation
{{计算机科学中的树}}
{{Data structures}}

[[Category:数据结构]]
[[Category:树结构]]