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在[[数学]]中，'''平稳过程'''（{{lang-en|Stationary process}}），又稱'''严格平稳过程'''（{{lang-en|Strict(ly)  stationary process}}）或'''強平穩過程'''（{{Lang-en|Strong(ly) stationary process}}）是一種特殊的[[隨機過程]]，在其中任取一段期間或空間（<math>t=t_1,t_k</math>）裡的[[联合概率分布|聯合機率分佈]]，與將這段期間任意'''平移後'''的新期間（<math>t=t_1+\tau-t_k+\tau</math>）之'''聯合機率分佈相等'''。这样，[[数学期望]]和[[方差]]这些参数也不随时间或位置变化。

例如，[[白噪声]]（[[AWGN]]）就是平稳过程，[[鐃鈸 (中樂)|鐃鈸]]的敲击声是非平稳的。尽管铙钹的敲击声基本上是[[白噪声]]，但是这个噪声随着时间变化：在敲击前是安静的，在敲击后声音逐渐减弱。

在[[时间序列分析]]中稳态作为一个工具使用，在这里原始数据经常被转换为平稳态，例如[[经济学]]数据经常随着季节或者价格水平变化。如果这些过程是平稳过程与一个或者多个呈现一定[[趋势]]的过程的线性组合，那么这些过程就可以表述为''趋势平稳''。将这些数据进行转换保留平稳数据用于分析的过程称为'''解趋势'''（de-trending）。

采样空间也是离散的[[离散时间]]平稳过程称为[[Bernoulli scheme]]，离散采样空间中每个随机变量可能取得 ''N'''个可能值中的任意一个。当 ''N'' = 2 的时候，这个过程叫做[[伯努利过程]]。

== 定義 ==
如果有一個訊號<math>X</math>對於所有<math>k</math>都滿足以下條件，則它就是一個平穩過程：

:<math>p(x_{n+k}, n+k, x_{m+k}, m+k) = p(x_n, n, x_m, m),</math>

其中，<math>p(x_n, n, x_m, m)</math>表示訊號在時刻<math>m</math>取值<math>x_m</math>，且時刻<math>n</math>取值<math>x_n</math>的概率。也就是說，<math>X_n</math>和<math>X_m</math>的[[聯合分佈|聯合機率分布]]，只和<math>m</math>和<math>n</math>的時間差有關，和其他參數都沒有關係。

另外，上述對於平穩過程的定義，在<math>m</math>等於<math>n</math>的情況下，也同樣會滿足上述情況，因此，如果是一個平穩隨機過程的話，應該也滿足以下條件：

:<math>p(x_{n+k}, n+k) = p(x_n, n),</math>

也就是說，一個平穩過程的[[機率密度函數]]（PDF）在任意時間點<math>n</math>都是相同的，也就是說，這會是一個[[非時變系統|非時變函數]]，即與當下時間點沒有關係（{{lang|en|time independent}}）。

因此，根據上面的定義，可以推導出，對於平穩過程的[[自相關函數]]也只和時間差有關，和本身的時間點沒有關係。如果假設時間差是<math>k</math>，則可以得到公式如下：

:<math>\phi_{XX}(n+k, n) = \phi_{XX}(k) = \mathbb E(X_{n+k}X_n^*).</math>

此外，藉由這些公式也可以得知，平穩過程的[[平均數]]和[[變異數]]也都和時間點<math>n</math>沒有關係，在任意時間點的值都是相同的，可以表示成：

:<math>\begin{align}\mu_X &= \mu_{X_n} = \mathbb E(X_n), \\
\sigma^2_{X} &= \mathbb E((X_n - \mu_n)^2). \end{align}</math>

== 範例 ==
舉例來說，白噪音，又稱為白雜訊（white noise）就是一個典型的平穩過程，而且它的時間是連續的，並且功率譜密度是常數，也就是說，它的每個頻段的功率是一樣的。雖然說鐃鈸的敲擊如果只有一下，則因為是能量會隨著時間衰減，而不是一個平穩過程，然而當它被打擊時，是有可能產生白雜訊的響應，假設它是在一個均勻穩定的-{zh-hans:泊松过程;zh-hk:泊松過程;zh-tw:卜瓦松過程;}-（'''Poisson process'''）下敲擊的話，這個訊號則會形成白雜訊。

而如果是離散時間的平穩過程，同時又是在離散空間樣本下的話，則是有像是Bernoulli scheme的例子。

而在離散時間又是在連續空間樣本之下的話，則是有自回歸滑動平均模型（Autoregressive moving average model），這是研究時間序列的重要方法，是由自迴歸模型（AR模型）與滑動平均模型（MA模型）為基礎所「混合」構成。

此外，還可以假設Y是任意的隨機變數（Random variable），則同時定義一個時間數列{X<sub>t</sub>}，對於所有的t，有以下性質：

X<sub>t</sub> = Y

而{X<sub>t</sub>}就是一個平穩時間數列。

==广义平稳（弱平穩）==

[[信号处理]]中常用的弱平稳也被称为'''广义平稳'''（Wide-sense stationary,WSS）或者'''协方差平稳'''。WSS 随机过程仅仅要求一阶和二阶[[zh-cn:矩 (数学)|矩]]不随时间变化。

这样，一个 WSS 的[[连续]]时间[[随机过程]] ''x''(''t'') 有下述[[数学期望]]函数

:1. <math>\mathbb{E}\{x(t)\} = m_x(t) = m_x(t + \tau) \,\, \forall \, \tau \in \mathbb{R}</math>

与[[相关]]函数

:2. <math>\mathbb{E}\{x(t_1)x(t_2)\} = R_x(t_1, t_2) = R_x(t_1 + \tau, t_2 + \tau) = R_x(t_1 - t_2, 0) \,\, \forall \, \tau \in \mathbb{R}.</math>

第一个属性表明数学期望函数 ''m''<sub>''x''</sub>(''t'') 必须是常数。第二个属性表明相关函数仅仅与 <math>t_1</math> 和 <math>t_2</math> 之间的''差值''相关，并且可以仅仅用一个变量而不是两个变量来表示。这样，

:<math>\,\!R_x(t_1 - t_2, 0),</math>

通常可以简化为

:<math>\,\!R_x(\tau) </math>，其中：<math>\,\!\tau = t_1 - t_2</math>。

当使用[[線性關係|线性]]、[[时不变系统|时不变]]（[[线性时不变系统理论|线性时不变系统]]）[[电子滤波器|滤波器]]处理广义平稳随机信号的时候，将相关函数作为[[线性算子]]是很有帮助的。由于它是[[循环矩阵]]运算，只与两个变量之间的差值有关，所以它的[[本征函数|特征函数]]是[[傅里叶级数]][[复数 (数学)|复数]][[指数函数]]。另外，由于线性时不变系统算子也是复指数函数，广义平稳随机信号的线性非时变处理非常易于操作——所有的运算都可以在[[频域]]进行。另外，根據線性非時變系統的特徵，也可以知道，當輸入訊號是一個廣義平穩過程時，輸出訊號也會是一個廣義平穩過程。因此，广义平稳假设在[[信号处理]]算法中得到了广泛应用。

===二阶平稳过程===

'''二阶平稳过程'''是指在实际使用中，仅需一对变量（2个）在时序变化中保持平稳特性时所提出的。二阶平稳过程的定义可以推广至'''N阶'''平稳过程，所谓'''严格平稳过程'''(SSS)具体表现为全阶平稳。

当概率密度函数的一阶和二阶表达式对于所有可能的<math> t_1 </math>, <math>t_2</math> 和 <math>\Delta</math> 满足以下条件时，被称为二阶平稳过程。

:<math> f_X(x_1 : t_1 ) = f_X(x_1 : t_1 + \Delta), \, </math>  

:<math> f_X(x_1 ,x_2 : t_1, t_2 ) = f_X(x_1 ,x_2 : t_1 + \Delta, t_2 +\Delta ), \, </math>

当其均值（mean）和相关函数（correlation function）都是有限的时候，这样的过程可以称为广义平稳（WSS），同时，一个广义平稳不一定是二阶平稳。

==参见==
* [[循环平稳过程]]

[[Category:随机过程]]
[[Category:信号处理]]
[[Category:时间序列]]