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'''平稳相近似'''是一种处理在给定区间内被积分函数快速振荡的定积分的近似法。下列[[积分|定积分]]<ref>Richards p532</ref>

<math>\int_{a}^{b} f(t,x)*e^{ivh(t)}dt  </math>

被积分函数<math> f(t,x)*e^{ivh(t)}</math>在{a,b}区间快速振荡，而位相在此区间内的变化相对缓慢。这类积分用[[拉普拉斯方法|拉普拉斯]]近似无效，必须用平稳相近似法<ref>Frank  p45 section 2.3(iv)　Method of Stationary Phase</ref>。

==原理==
[[File:Oscillatory integrand and slow varying phase.png|thumb|300px|绿线代表振荡的被积分函数，红线代表位相]]
[[File:Contribution of statinary phase region.png|thumb|主要贡献来自平稳位相区]]
<math>F(v,x)=\int_{0}^{\pi} cos(v*h(t) dt</math>

位相：<math>v*h(t)=v*(t-xsin(t))</math>

被积分函数：<math>cos(v(t-xsin(t))</math>

位相的平稳点由下列微分方程给出：

<math>\frac{d}{dt}(v*(t-xsin(t))=0</math>,令<math>v=5,x=35</math>得平稳相点：

<math>t_s=t = arccos(1/35)=1.54</math>

将积分F(v,x)分为三段：

<math>sf := \int_{0}^{1}cos(5*t-5*x*sin(t))dt +\int_{1}^{2}cos(5*t-5*x*sin(t))dt +\int_{2}^{\pi}cos(5*t-5*x*sin(t))dt </math>

由图可见，在平稳相点左右区间[1,2]，位相平稳，这个平稳相区间贡献了定积分的主要部分，在平稳相区间之外[0,1]和<math>[2,\pi]</math>，由于被积分函数振荡激烈，正负相消，因此贡献可以忽略不计。这就是平稳相近似的原理<ref>Richards  p532-535</ref>

==一阶近似展开==
设有下列积分

<math>F(v)=\int_{a}^{b}e^{ivh(t)}f(t)dt </math>,

并设<math>h(t)</math>的平稳相点为<math>t_k</math>

将<math>h(t)</math>作泰勒展开：

<math>h(t)\approx h(t_k)+\frac{1}{2}*(t-t_k)^2h''(t_k)+\cdots</math>

于是

<math>F_{k}(v) \approx e^{ivh(t)}f(t_k)</math><math>\int_{-\infty}^{\infty}e^{ivs^{2}h''(t_k)/2}ds</math>

将所有平稳相点<math>k=1\cdots N </math>的贡献相加得<ref name="#1">Richards, p540</ref>

<math>F(v) \approx \sqrt{\frac{2*\pi}{abs(v)}}</math><math>\sum_{k=1}^{N}</math><math>\frac{f(t_k)}{\sqrt{abs(h''(t_k))}}exp{(i(vh(t)+\frac{\pi}{4}sgn(vh''(t_k)))}</math>

一般情形被积分函数是不是积分区间的周期函数，因此积分区间两头的贡献也必须补入<ref name="#1"/>，

<math>F(v) \approx \sqrt{\frac{2*\pi}{abs(v)}}</math><math>\sum_{k=1}^{N}</math><math>\frac{f(t_k)}{\sqrt{abs(h''(t_k))}}exp{(i(vh(t)+\frac{\pi}{4}sgn(vh''(t_k)))}</math><math>+\frac{i}{v}(\frac{e^{ivh(a)}f(a)}{h'(a)}-\frac{ivh(b)f(b)}{h'(b)})</math>

==参考文献==
{{references|2}}
*D.Richards  Advanced Mathematical Methods with Maple,Cambridge 2002.
*Frank J. Oliver, NIST Handbook of Mathematical Functions,Cambridge 2010

[[Category:定积分]]
[[Category:数学近似]]