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{{NoteTA
| G1=Math
}}
在数学中，'''平方可积函数'''（{{lang-en|'''square-integrable function'''}}）是[[绝对值]]平方的[[积分]]为有限值的[[实数|实]]值或[[复数 (数学)|复]]值[[可测函数]]。因此，若
: <math> \int_{-\infty}^\infty |f(x)|^2 \, \mathrm dx < \infty, </math>

则我们说 ''f'' 在实直线 <math>(-\infty,+\infty)</math> 上是平方可积的。平方可积一词也可以用于有限区间如[0,&nbsp;1]。<ref>{{cite book
 | title = Orthogonal Functions
 | url = https://archive.org/details/orthogonalfuncti00sans
 | author = G.Sansone
 | publisher = Dover Publications
 | year = 1991
 | isbn = 978-0-486-66730-0
 | pages = [https://archive.org/details/orthogonalfuncti00sans/page/n5 1]–2
 }}</ref>

一个等价的定义是，函数本身的平方（而非它的绝对值）是[[勒贝格可积]]的。要想使其为真，实部的正和负的部分的积分都必须是有限的，虚部也是如此。

通常这个术语不是指某个特定函数，而是指[[几乎处处]]相等的一组函数。

== 性质 ==
平方可积函数（这里的“函数”实际上意味着几乎处处相等的一组函数）通过[[内积]]构成一个[[内积空间]]，
: <math> \langle f, g \rangle = \int_A \overline{f(x)}g(x)\, \mathrm dx </math>

其中
* ''f'' 和 ''g'' 都是平方可积函数，
* {{overbar|''f''(''x'')}} 是 ''f'' 的[[复共轭]]
* ''A'' 是积分区间——在上述的第一种情况中，''A'' 就是<math>(-\infty,+\infty)</math>；在第二种情况中 ''A'' 是 [0,&nbsp;1]。

由于 |''a''|<sup>2</sup>&nbsp;=&nbsp;''a&nbsp;{{overbar|a}}''，平方可积性之要求也即
: <math> \langle f, f \rangle < \infty. \, </math>

可以证明，平方可积函数在上述定义的内积导出的度量下构成一个[[完备度量空间]]。完备度量空间也被称为[[柯西空间]]，因为在这样的度量空间中，数列收敛当且仅当其为[[柯西序列]]。由一个范数导出的度量下的完备空间是[[巴拿赫空间]]。因此，平方可积函数的空间是由该范数导出的度量下的巴拿赫空间，而范数又是由内积导出的。由于内积的补充性质，这（空间）其实就是一个[[希尔伯特空间]]，因为空间在由内积导出的度量下是完备的。

这个内积空间通常记为 <math>\left(L_2, \langle\cdot, \cdot\rangle_2\right)</math>，并经常缩写为 <math>L_2</math>。注意 <math>L_2</math> 表示的是平方可积函数的集合，但该记号没有指明选择的度量、范数或内积。该集合需要连同特定的内积 <math>\langle\cdot, \cdot\rangle_2</math>，来确定内积空间。

平方可积函数构成的空间也是一个 [[Lp 空间|''L''<sup>''p''</sup> 空间]]，其中 ''p'' = 2。

== 参见 ==
* [[Lp 空间|''L''<sup>''p''</sup> 空间]]

== 参考文献 ==
{{Reflist}}

{{DEFAULTSORT:Quadratically Integrable Function}}
[[Category:泛函分析]]